中考数学专题复习反比例函数综合部分重难点专项练习

这是一份中考数学专题复习反比例函数综合部分重难点专项练习，共7页。
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)求的面积．
2．如图，已知反比例函数的图象与一次函数（）的图象交于，两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点与点关于原点对称，过点作轴的平行线交直线于点，连接，，求的面积．
3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且点，分别为一次函数与轴，轴的交点．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若点为该反比例函数图象上的一点，连接，求点的坐标．
4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式，并直接写出，两点的坐标；
(2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
5．如图，矩形的顶点的坐标为，顶点落在轴的负半轴上，顶点落在轴的正半轴上．反比例函数的图象与，分别交于点，，且．连接，作射线．
(1)求反比例函数表达式；
(2)写出与的位置关系，并说明理由；
(3)若点在射线上，点是平面直角坐标系中的一点，当四边形为菱形时，请求出点的坐标，并判断点是否落在反比例函数图象上．
6．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若，请直接写出关于的不等式的解．
(3)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标．
7．如图，的边在y轴上，，，，边和与反比例函数的图象分别交于点E、F，若点B的坐标为，且．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的值．
8．如图，点，是反比例函数图象上的两点，点，的横坐标分别为，，直线与轴交于点，若的面积为．
(1)求的值；
(2)求的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若x轴上存在点，使，求点的坐标；
(3)直接写出时的取值范围．
10．如图，四边形是菱形，，点，双曲线经过点C，与边交于点 D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)连接，求的面积．
11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点．
(1)若，求点的坐标；
(2)连接，若，求反比例函数解析式．
12．如图，点为反比例函数图象上一动点，过点作轴于点，轴于点，在射线上取一点，连接，使，当时，．
(1)求反比例函数表达式；
(2)当点在轴正半轴上，且时，求线段的长．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C．
(1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
(2)结合图象，请直接写出不等式的解集；
(3)若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上有一点A的坐标为，点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接，且．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出时，x的取值范围；
(3)点P从点A出发沿射线移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
1．(1)，
(2)
【分析】1）根据待定系数法直接求解双曲线表达式，然后求出点坐标，再由待定系数法求解直线表达式；
（2）设直线与轴交于点，先求出，再由求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，双曲线经过点，
∴，
∴双曲线表达式为；
由题意得，点横坐标为，
将代入，得，
∴，
将点，代入，
则
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：设直线与轴交于点，
对于，当时，，
解得，
∴，
∵，
∴
．
2．(1)
(2)
【分析】（）利用反比例函数解析式求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解；
（）根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，进而求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可求解；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关于原点对称的点的坐标特征，反比例函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得，
∴，
∴，
把点代入反比例函数，得，
∴，
把和代入一次函数，得
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
把代入一次函数，得，
∴，
∴，
∴．
3．(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法求出点坐标，进而代入反比例函数解析式解答即可求解；
（2）设点的横坐标为，由得，解方程求出进而即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，设点的横坐标为，
∵，
∴
解得，
把代入得，，
把代入得，，
∴或．
4．(1)，，，
(2)
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式，再根据一次函数解析式先求出点C、D坐标即可；
（2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将代入得，，
，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为，
将点和点的坐标代入得，
，解得，
一次函数的解析式为；
，；
（2）解：的坐标为，
，
，
点的坐标为，
，
解得，
点在第三象限，
，
将代入得，，
点坐标为．
5．(1)
(2)，见解析
(3)点的坐标为或，均在反比例函数图象上
【分析】（1）根据矩形的性质得到点的坐标为，进而求出点M坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）令，求出的长，证明，进而得到，从而得到；
（3）分情况讨论：当点在点的右边或点在点的左边时，延长交轴于点，在中，根据得到，进而求出和，求出点P的坐标，将点P坐标代入反比例函数解析式判断是否在函数图象上即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，点的坐标为，
，；，，
，
，
，
将点代入反比例函数得：，
解得：，
反比例函数表达式为；
（2）解：，理由如下：
令，
解得：，
，
，
，且，
，
，
；
（3）解：如图，当点在点的右边时，延长交轴于点，
四边形是矩形，
．
四边形为菱形，
，，
，
在中，，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
将代入得：，
点在反比例函数图象上．
当点在点的左边时，同理可得：，
此时点也在反比例函数图象上．
综上，点的坐标为或，均在反比例函数图象上．
【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
6．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
(3)或
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求得的值，从而可得反比例函数的解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得点的坐标，再将点、的坐标代入一次函数解析式中即可得解；
（2）确定一次函数的图象在反比例函数图象的下方时的取值范围即可得解；
（3）设直线与 直线的交点为，求出点的坐标， 设， 根据三角形的面积公式表示出，列方程求解即可．
【详解】（1）解：在反比例函数的图象，
，
反比例函数解析式为，
将代入， 得，
．
将，两点分别代入，得
， 解得，
一次函数解析式为；
（2）解：观察图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集为或．
（3）解：如图，设直线与 直线的交点为，
把代入得， ，即，
设，
的面积为，
，
， 解得或，
点的坐标为或 ．
7．(1)反比例函数的解析式为
(2)1
【分析】（1）根据题意，求出点的坐标，再根据待定系数法，即可求解；
（2）过点F作轴于点D，根据题意，求出点的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，联立方程，求出交点的坐标，最后根据正切的定义，计算即可．
【详解】（1）解：，，
，则，，
，，
，则，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点F作轴于点D，
，，，，
，
设直线的解析式为，
过，，
，解得，
直线的解析式为，
令，解得或(不符合题意，舍去)，
，
，，则，
在中，，
则的值为1．
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用反比例函数上点的坐标特征，表示出点，的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，结合直线与轴的交点，根据的面积列方程，求出的值；
（2）根据（1）的结果得到点，的坐标，计算出、的长度，再通过三角形面积差求出的面积，进而求出点到直线的距离，最后根据正弦函数的定义计算的值．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
由题知点，，
把，两点代入中得，解得，
直线的函数表达式为，
令，即，解得，
点的坐标为，
的面积为，
，
解得；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，
由（1）知，，
，，
，即，
，
．
9．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可；
（）由勾股定理可知，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，再结合题意可得点的坐标；
（）结合函数的性质，根据图象观察可得一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可写出的取值范围．
【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：，由图象的对称性，可知，
由勾股定理，得．
又，
．
又点在轴上，
点的坐标为或．
（3）解：结合函数图象，一次函数图象在反比例函数上方的区间为：或．
10．(1)
(2)
【分析】（1）如图，过点B作轴于点E．根据菱形的性质、等边对等角以及相关已知条件可得，利用勾股定理可得，进而得到，即；再结合图形确定，然后代入解析式求得k的值即可；
（2）如图，过点D作轴于点F．易得，设，则，即．代入函数解析式可求得n的值，即的长度，最后运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点E．
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∴．
，
∴．
∵，
∴
，
在中，根据勾股定理，得

∴．
∴，
∴，
∴点C的横坐标为
∴，
将点代入得：
∴双曲线的解析式为．
（2）解：如图，过点D作轴于点F．
∴．
∴．
设，则．
∴．
将点代入得，
解得 (不合题意，舍去)．
∴，
．
11．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用线段比例关系确定点坐标与点坐标的关系，再由求出参数，进而确定反比例函数解析式，求出点坐标．
（2）用参数表示出点、、的坐标，计算的长度和点到直线的距离，利用三角形面积公式建立方程求解．
【详解】（1）解：点在上，
设点的坐标为，
过点C作轴于点E，
∴，
又点在线段上，且，
∴，
点的坐标为，
轴于点，
点的坐标为，
，
，
，
，
点的坐标为，
点在反比例函数上，
，
反比例函数解析式为，
点在直线上，且点的横坐标为，
点的横坐标为，
，
点的坐标为．
（2）解：由(1)可知，点的坐标为，点的坐标为，
，
直线的方程为，点的坐标为，
点到直线的距离为，
，
，
，
，
，
反比例函数解析式为．
12．(1)
(2)
【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解即可；
（2）设，则，然后解，用的代数式表示点，再代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵轴，轴，当，．
∴，
∵点为反比例函数图象上一点
∴
∴反比例函数表达式为；
（2）解：设，则，
∵轴，轴，
∴四边形为矩形，
∴
∵，
∴，
∴此时，
∵点在反比例函数图象上，
∴
解得或（舍去）
∴
∴
13．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集；
（3）先求出点C坐标，然后分两种情况讨论，利用割补法表示三角形面积即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
．
解得，．
反比例函数解析式为．
在一次函数的图象上，
解得
一次函数解析式为：；
（2）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或．
（3）解：由题意设，
对于，当时，，解得，
∴，
当点在点下方时，
∴，解得，
∴；
当点在点上方时，
∴，解得，
∴
综上：P点坐标为或．
14．(1)，
(2)或
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）由、，即可求出，则，进而即可求出反比例函数解析式；将、代入一次函数，进而即可求出一次函数解析式；
（2）联立，得出、，再结合函数图像，反比例函数图像在一次函数下方时，则可求出的取值范围；
（3）设、，分两种情况：与为对角线和与为对角线，由中点公式列方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵点，．
∴，
∴，即，
∵反比例函数过，
∴
解得，
∴反比例函数解析式为，
∵一次函数过和，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由题意，联立解析式得
解得，，
当时，，
∴点B为，
由图可得，当时，反比例函数图像在一次函数下方，满足；
当时，反比例函数图像在一次函数下方，满足．
∴x的取值范围为或；
（3）解：∵点P在射线上，点Q为第三象限双曲线上一点，
∴设，，
∵当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，
∴当与为平行四边形的对角线时，
∴
解得，
解得或（舍去，不符合第三象限）；
∴此时Q的坐标为；
当与为平行四边形的对角线，
∴
解得，
解得或（舍去，不符合第三象限）；
∴此时Q的坐标为：，
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】第3问通过分类讨论对角线的情况，利用中点公式列方程求解，关键是坐标与几何性质的转化．