2025-2026学年下学期江苏省盐城高三数学2026年5月考前指导试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期江苏省盐城高三数学2026年5月考前指导试卷含答案，共15页。试卷主要包含了 已知点O，A，若直线l， 设 F 为双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
1. 本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={−4,−2,0,2,4}，B={x|x2−2x−3>0}，则A∩B=
A. {−2,0,2} B. {0,2}
C. {−4,−2} D. {−4,−2,4}
2. 若复数z满足(1+i)z=2i，其中i为虚数单位，则z的虚部为
A. −1 B. 1
C. i D. −i
3. 2x2−1x5的展开式中含x4项的系数为
A. 80 B. −80
C. 10 D. −10
4. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是θ1 °C，空气的温度是θ0 °C，则t min后物体的温度θ °C满足公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）。某天小明同学将温度是80 °C的牛奶放在20 °C的空气中，冷却2 min后牛奶的温度是50 °C，则k=
A. 3ln2 B. 2ln2
C. 12ln2 D. 13ln2
5. 已知函数f(x)=2csωx+π3（ω>0）在x=2π9处取得最小值，则ω的最小值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6. 已知函数f(x)=ex−e−x+2sinx，若f(aex)+f(−x)>0恒成立，则a的取值范围为
A. −∞,1e2 B. −∞,1e
C. 1e2,+∞ D. 1e,+∞
7. 已知点O(0,0)，A(2,0)，若直线l：x+3y−m=0（m>0）上存在点P，使得∠OPA=π6，则正实数m的取值范围为
A. (0,6] B. (0,8]
C. [2,6] D. [2,8]
8. 在∆ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足BP→=13BA→+12BC→，则S∆BPES∆BPD=
A. 23 B. 32
C. 34 D. 43
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，∠DAB=∠DAA1=∠BAA1=π3，AA1=AB=AD=2，则下列说法正确的是
A. AA1⊥BD
B. 若 AC1→=xAB→+yAD→+zAA1→，则 x+y+z=2
C. |AC1→|=23
D. cs⟨AC1→，BD1→⟩=33
10. 设 F 为双曲线 C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点，经过原点且斜率大于0的直线 l 交 C 于 A，B 两点，AF 与 x 轴垂直，∠AFB=3π4，则
A. |AF|=b2a
B. 双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x
C. 双曲线 C 的离心率为 1+2
D. 直线 l 的斜率为2
11. 设函数 f(x)，g(x) 满足：∀x∈R，恒有 f(x)+g(x)=x3−x2−2x，则下列结论可能成立的有
A. f(x)，g(x) 均为 R 上的增函数
B. f(x) 为 R 上的减函数且 g(x) 为 R 上的增函数
C. f(x) 的极小值点与 g(x) 的极大值点相同
D. f(x) 存在最小值且 g(x) 存在最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y=x3−3x+1 上且在第三象限内。若曲线 C 在点 P 处的切线为 y=9x+b，则实数 b= 。
13. 甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3。现分别从这两个盒子中随机取一个球，用 X 表示两球上的数字之和，设 X 的期望为 E(X)，则 E(3X+1)= 。
14. 已知正四棱锥 P−ABCD 的棱长为1，平面 α 满足 PC⊥α，且棱 PB，PC，PD 与 α 的交点分别为 E，F，G，则四面体 BEFG 体积的最大值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在∆ABC中，tanA=12，B=π4.
（1）求tanC；
（2）若D为AB的中点，且CD=25，求∆ABC的面积.
16.（15分）
如图，在四棱锥S−ABCD中，BC∥AD，AB=BC=1，点E在AD上，且SE⊥AD，AE=1，DE=2.
（1）设平面BCGF与SD，SE分别交于点G，F，且BF∥平面SCD，证明：F为线段SE的中点；
（2）若AB⊥平面SAD，SD与平面SAB所成角的余弦值为1010，求SD的长度.
17.（15分）
已知正项等比数列{an}满足a3−5a1=12且−3a1，a2，a3成等差数列.
（1）求an及其{an}的前n项和Sn；
（2）从a1，a2，a3，⋯，a10中任取三项，求这三项按照原顺序排列依然构成等比数列的概率；
（3）设每项均不为0的数列{bn}满足{an+bn}、{an−bn}均为等比数列. 证明：{bn}为等比数列.
18.（17分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆G：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的焦距为2，离心率为22。
（1）求G的方程；
（2）设F为G的上焦点，点A在G上且位于第一象限，A关于x轴的对称点为B。
（ⅰ）若直线BF与x轴、OA的交点分别为C、D，且|BC|=|DF|，求|AB|；
（ⅱ）直线AF、BF分别交G于另一点M、N，求∆MNF面积的最大值。
19.（17分）
定义函数q(x)=p'(x)·xp(x)（p(x)≠0）为p(x)的“伴生函数”，其中p'(x)为p(x)的导函数。若区间D满足∀x∈D，都有q(x)>1成立，则称p(x)在D上具有“伴生性质”且D为p(x)的“伴生区间”。已知f(x)=xex（x≠0），设f(x)的“伴生函数”为g(x)。
（1）请求出f(x)的一个“伴生区间”；
（2）若方程exx−lnx−t(g(x)−1)=1有两个不同的实数解x1，x2（x10．
依题意得{2a1q=a1q2−3a1,a1q2−5a1=12，解得{q=3a1=3。2分
所以an=3n，Sn=3(1-3n)1-3=3n+1-32。4分
（2）记事件A=“这三项按照原顺序排列依然构成等比数列”，则事件A包含如下基本事件：a1，a2，a3；a2，a3，a4；……；a8，a9，a10；
a1，a3，a5；a2，a4，a6；……；a6，a8，a10；
a1，a4，a7；a2，a5，a8；a3，a6，a9；a4，a7，a10；
a1，a5，a9；a2，a6，a10；
则n(A)=8+6+4+2=20，7分
于是P(A)=20C103=20120=16。9分
（3）因为{an+bn}、{an−bn}均为等比数列，
所以{(3n+1+bn+1)2=(3n+bn)⋅(3n+2+bn+2)(3n+1−bn+1)2=(3n−bn)⋅(3n+2−bn+2)，13分
整理得{2⋅3n+1⋅bn+1+bn+12=3nbn+2+3n+2bn+bnbn+2−2⋅3n+1⋅bn+1+bn+12=−3nbn+2−3n+2bn+bnbn+2，
上述两式相加得bn+12=bnbn+2，
又数列{bn}的每项均不为0，所以{bn}为等比数列。15分
18. 解：（1）设椭圆G的半焦距为c，依题意得{2c=2ca=22，解得{c=1a=2，
所以b=a2−c2=1，
所以椭圆G的方程为y22+x2=1。4分
（2）（ⅰ）依题意设A(m,n)，则B(m,−n)，其中m>0，n>0。
由F(0,1)，B(m,−n)可得直线BF的方程为y=1+n−mx+1，
令y=0，得xC=m1+n。
又直线OA的方程为y=nmx，
联立方程y=1+n-mx+1及y=nmx，解得xD=m2n+1。6分
因为|BC|=|DF|及B，C，D，F共线，
所以xD−xF=xB−xC，
所以m2n+1=m−m1+n，解得n=22，
所以|AB|=2。9分
（ⅱ）联立直线AF与椭圆G的方程得{y=n−1mx+1y22+x2=1，消去y，得
(2m2+n2−2n+1)x2+2m(n−1)x−m2=0。
因为A在椭圆G上，所以n22+m2=1，
所以(3−2n)x2+2m(n−1)x−m2=0。
由根与系数的关系得xM·m=−m23−2n，解得xM=m2n−3。⋯⋯⋯11分
同理可得xN=−m−2n−3。
因为∠MFN=∠AFB，
所以S∆MNFS∆ABF=MF·NFAF·BF=MFAF·NFBF=m3−2nm·m3+2nm=19−4n2。
又S∆ABF=12·2n·m=mn，
所以S∆MNF=mn9−4n2。⋯⋯⋯14分
因为n22+m2=1，
所以mn9−4n2=mn9n22n2+m2n2−4n2=2mn18m2+n2≤2mn218m2n2=26，
当且仅当18m2=n2，即m=1010，n=355时，等号成立。
综上，∆MNF面积的最大值为26。⋯⋯⋯17分
19. 解：（1）当f(x)=xex(x≠0)时，
f(x)的“伴生函数”为g(x)=f'(x)·xf(x)=x(ex+xex)xex=1+x(x≠0)，
⋯⋯⋯1分
g(x)−1=x>0，
当x∈(0,+∞)时，g(x)−1>0，g(x)>1，f(x)具有“伴生性质”。
故f(x)的一个“伴生区间”为(0,+∞)。⋯⋯⋯3分
提醒： (0,+∞)的子区间都对，答案不唯一
（2）（ⅰ）exx−lnx−t[g(x)−1]=1
故ex−1x−lnx−t=0，………4分
设k(x)=ex−1x−lnx−t，
k'(x)=xex−ex−1x2−1x=(x−1)ex−1x2
令k'(x)>0，解得x>1；令k'(x)m'(1)=e−2>0，则m(x)在(1,+∞)上单调递增，
则m(x)>m(1)=e−1>0，即当x>1时，ex>x2．
若n(x)=lnx−12x+12x，(x>1)，
所以n'(x)=1x−12−12x2=−x2+2x−12x2x2−1x−lnx−t=x−lnx−1x−t>12x−12x−t．
当x0=t+1+t2+1时，12x0−12x0−t>0，即k(x0)>0．
因为k(1)k(x0)1时，M'(x)>0，故M(x)在(1,+∞)上单调递增，
则M(x)>M(1)=e−2−22≈2.718−2−1.4142≈0.011>0．…………13分
设h(x)=exx−lnx−1x，(x>1)，
令Q(x)=h(x)−h(1x)，(x>1)，
Q'(x)=h'(x)+1x2h'1x=(x−1)ex−xe1x+x−1x2，
令G(x)=ex−xe1x+x−1，(x>1)，
则G'(x)=ex−e1x+1xe1x+1．
因为x>1，所以x>1x，则ex>e1x，所以G'(x)>0．
则G(x)在(1,+∞)上单调递增，G(x)>G(1)=0，即Q'(x)>0，
则Q(x)在(1,+∞)上单调递增，所以Q(x)>Q(1)=0，
即h(x)>h1x,∀x∈(1,+∞)\)成立，…………15分
因为0