2025-2026学年下学期安徽省黄山屯溪一中高一数学2026年5月底期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期安徽省黄山屯溪一中高一数学2026年5月底期中试卷含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若z=2+i1−i（i为虚数单位），则|z|=（ ）
A．52B．2
C．102D．32
2. 如图所示，已知在∆ABC中，D是线段AB上的靠近A的三等分点，则CD→=（ ）
A．BC→−23BA→B．−BC→+23BA→
C．−BC→−23BA→D．BC→+23BA→
3. 如图，长方体ABCD−A'B'C'D'中被截去一小部分，其中EH∥A'D'，FG∥BC，则剩下的几何体是（ ）
A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱
4. 已知a，b，c分别为∆ABC三个内角A，B，C的对边，且B=π6，a=43，若该三角形有两解，则b的取值范围是（ ）
A．(23,+∞)B．(23,43)
C．(6,43)D．(6,+∞)
5. 如图，在河岸CD上测量河对面A，B两点间的距离，测得∠ACD=60°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠ADB=30°，CD=4，则AB=（ ）
A．22B．23
C．4D．26−22
6. 如图∆ABO的斜二测直观图是∆A'B'O'，其中O'A'=O'B'=22，∠B'O'y'=90°，则∆ABO的面积是（ ）
A．1B．2C．4D．8
7. 等腰梯形ABCD中AB平行于CD，AB=4，CD=2，∠DAB=π4，P为线段AD上任意一点，则|PB→+2PA→|
的最小值是（ ）
A. 342B. 22
C.4D. 10
8. 棱长为a的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则a的取值范围为（ ）
A. a≥3B. a≥3+2
C. a≥3+3D. a≥6
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知单位向量a，b，c满足a+b+c=0，则下列结论正确的是（ ）
A. ⟨a，b⟩=2π3
B. |b+c|=1
C. a·(b+c)=1
D. a在b+c上的投影向量为a
10. 设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，∆ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D−ABC的体积可能为（ ）
A. 123B. 183
C. 243D. 543
11. 在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，c2+2b2=9，则下列说法正确的是（ ）
A. ∆ABC为钝角三角形
B. 2AB·CA=CB·CA
C. 若M为边BC的中点，则|AM|的取值范围为12,32
D. sinA≥3sinCsinB
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的侧面积为 .
13. 已知e1，e2是两个互相垂直的单位向量，若两向量2e1+λe2与−e1+3e2的夹角为钝角，求实数λ的取值范围 .
14. 若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知复数z=2+bi(b∈R)，且(2+3i)·z+2为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数ω=z4−2i，求复数ω¯+45i的模．
16. 在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m=(a,c−2b)，n=(csC,csA)，且m⊥n.
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=5，∆ABC的面积为3，求∆ABC的周长.
17. 在Rt∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中C=90°，分别以Rt∆ABC的两条直角边、斜边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，其体积分别是V1，V2，V3.
（1）若c=12，求：V3的最大值；
（2）探究V1，V2，V3的关系；依据探究所得，若V3=1，求V12+2V22的最小值
18. 在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a(3sinB+csB)=b+c.
（1）求角A.
（2）D为边BC上一点，且AD=2.
①若BD=2DC，求当BC取最小值时cb的值；
②若AD为角平分线，求AB+3BD的取值范围.
19. 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元n(n∈N∗)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N∗)次复系数多项式f(x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）.
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)
在复数集C内的根为x1、x2，容易得到{x1+x2=−a1a2x1x2=a0a2
设实系数一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)①
在复数集C内的根为x1、x2、x3，可以得到，方程①可变形为a3(x−x1)(x−x2)(x−x3)=0
展开得：a3x3−a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x1x3+x2x3)x−a3x1x2x3=0②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：{x1+x2+x3=−a2a3x1x2+x1x3+x2x3=a1a3x1x2x3=−a0a3
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
已知函数f(x)=x3+3x2，函数f(x)的图象上有四个不同的点A、B、C、D。
（1）对于方程f(x)−x+5=0在复数集C内的根为x1、x2、x3，求x12+x22+x32的值；
（2）已知函数g(x)=f(x)−3x2+bx+2，对于方程g(x)=k在复数集C内的根为z1、z2、z3，当k∈[0,1]时，
求z12+z22+z32的取值范围。
（3）若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设A(m,f(m))，B(n,f(n))，求代数式(m2+2m−2)(n2+2n−2)的
值。
参考答案
1．C
z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i，所以，|z|=122+322=102.
2．B
因D是线段AB上的靠近A的三等分点，则CD→=BD→−BC→=23BA→−BC→.
3．C
依题意，AD∥A'D'∥EH∥FG∥BC，且AD=A'D'=EH=FG=BC，
又平面AA'EFB∥平面DD'HGC，
所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.
4．B
因为该三角形有两解，所以asinB(b−3)2，解得0