中考数学冲刺相似三角形中档题练习

这是一份中考数学冲刺相似三角形中档题练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是( )
A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16
2.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长是( )
A. 80cmB. 60cmC. 50cmD. 40cm
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若OCOB=ODOA，则图中一定相似的三角形是( )
A. ▵BOA∽▵BADB. ▵BOA∽▵COD
C. ▵BOC∽▵BCDD. ▵COB∽▵CBA
4.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点(网格线的交点)上，AC与BD相交于点O，则AO的长为( )
A. 293B. 263C. 292D. 262
5.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6，则线段CM的长为 ( )
A. 132B. 7C. 152D. 8
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，则点B(−2,4)的对应点B′的坐标为 ( )
A. (−4,8)B. (8,−4)C. (−8,4)D. (4,−8)
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AE:CE=1:2，F是BE的中点，连接AF并延长交BC于点D，则BD:CD的值为( )
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 2:3
8.如图AB/​/CD/​/EF，AF、BE相交于O，若AO=OD=DF=3cm，BE=10cm，则BO的长为( )
A. 103cmB. 5cmC. 52cmD. 3cm
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.如果两个相似三角形的面积之比为4:25，则它们的周长之比为 ．
10.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点F.若AEEB=23，则S▵ADFS▵AEF= ．
11.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E.如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD= 米．
12.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.若AB=36 cm，A′B′=24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm．
13.如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 ．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且ADAC=ACAB.若AD=3，BD=2，则CD的长是 ．
15.如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE//CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF= ．
16.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC=3，AD=165，则AB的长为 ．
17.如图，在▵ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE//BC，若DEBC=13，则S▵ADES▵ABC= ．
18.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
在Rt▵ABC中，∠BAC=90∘，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：▵ABD∽▵CBA；(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC∽△ADE，AE=5 cm，EC=3 cm，BC=7 cm，∠BAC=45°，∠C=40°．
(1)求∠AED和∠ADE的度数；
(2)求DE的长．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出以点O为位似中心，把△ABC按相似比2:1放大后的△A2B2C2．
22.(本小题8分)
如图，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，连接EB，GD．
(1)求证：EB=GD；
(2)若∠DAB=60°，AB=2，求GD的长．
23.(本小题8分)
在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AB上一点．

(1)如图 ①，若E是AB的中点，连接CE与AD交于点O，求证：AO=2OD;
(2)如图 ②，F为AC上一点，连接EF交AD于点O，若AFFC=32，AO=2OD，求AEBE的值．
24.(本小题8分)
如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD(不计折射)，AB//CD．
(1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP=36cm，PA=18cm，AB=18cm，桌面的高度为60cm.在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为______cm．
25.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
(1)求证：FD是圆O的切线：
(2)若BC=4，FB=8，求AB的长．
26.(本小题8分)
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”.例如，如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“华益美三角”．
(1)如图2，在△ABC中，BC= 2AB，求证：△ABC为关于边BC的“华益美三角”．
(2)如图3，已知△ABC为关于边BC的“华益美三角”，点D是△ABC的边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．
①求证：直线CA与⊙O相切；
②若⊙O的直径为2 6，求线段AB的长．
(3)已知△ABC为关于边BC的“华益美三角”，BC=4，∠B=30°，求△ABC的面积．
2026年广州中考冲刺相似三角形中档题练习参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是( )
A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16
【答案】B
【解析】∵两个相似三角形周长的比为1:4，
∴由相似三角形周长的比等于相似比得这两个三角形对应边的比为1:4.故选B．
2.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长是( )
A. 80cmB. 60cmC. 50cmD. 40cm
【答案】B
【解析】略
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若OCOB=ODOA，则图中一定相似的三角形是( )
A. ▵BOA∽▵BADB. ▵BOA∽▵COD
C. ▵BOC∽▵BCDD. ▵COB∽▵CBA
【答案】B
【解析】略
4.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点(网格线的交点)上，AC与BD相交于点O，则AO的长为( )
A. 293B. 263C. 292D. 262
【答案】A
【解析】略
5.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6，则线段CM的长为 ( )
A. 132B. 7C. 152D. 8
【答案】C
【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=12BC=12×6=3，∴△DEF∽△BMF，∴DEBM=DFBF=2BFBF=2，∴BM=32，∴CM=BC+BM=152.故选C．
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，则点B(−2,4)的对应点B′的坐标为 ( )
A. (−4,8)B. (8,−4)C. (−8,4)D. (4,−8)
【答案】A
【解析】略
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AE:CE=1:2，F是BE的中点，连接AF并延长交BC于点D，则BD:CD的值为( )

A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 2:3
【答案】B
【解析】解法一：如解图 ①，根据“飞鱼”模型，过点E作EG//AD交BC于点G，∵F是BE的中点，∴BF=EF，∴BD=DG，∴BD:BG=1:2，∵AE:EC=1:2，∴DG: CG=1:2，∴BD:CD=1:3．


解法二：如解图 ②，根据“飞鱼”模型，过点E作EG/​/BC交AD于点G，∴△AEG∽△ACD，∠EGF=∠BDF，∵AE:EC=1:2，∴AE:AC=1:3，∴EG:CD=1:3，∵F是BE的中点，∴BF=EF，在△BDF和△EGF中，．
解法三：如解图 ③，根据“飞鱼”模型，取EC的中点G，连接FG，∵F是BE的中点，∴FG/​/BC，∵AE:EC =1:2，∴AE=EG=CG，∴FG:CD=AG:AC=2:3，FG: BC=EG:CE=1:2，∴CD:BC=3:4，∴BD:CD=1:3.

8.如图AB/​/CD/​/EF，AF、BE相交于O，若AO=OD=DF=3cm，BE=10cm，则BO的长为( )
A. 103cmB. 5cmC. 52cmD. 3cm
【答案】A
【解析】解：：AB/​/CD/​/EF，AF，BE相交于O，AO=OD=DF，
∴由B平行线等分线段定理得：OB=OC=CE，
∴BO=13BE=103，
故选：A．
由平行线等分线段定理得：OB=OC=CE，由此利用BE=10cm，能求出BO．
本题考查线段长的求法，考查平行线等分线段定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.如果两个相似三角形的面积之比为4:25，则它们的周长之比为 ．
【答案】2:5
【解析】略
10.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点F.若AEEB=23，则S▵ADFS▵AEF= ．
【答案】52
【解析】略
11.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E.如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD= 米．
【答案】3
【解析】略
12.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.若AB=36 cm，A′B′=24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm．
【答案】20
【解析】设小孔O到A′B′的距离为x cm.由题意，得▵A′B′O∽▵ABO，则A′B′AB=2436=x30，解得x=20．
13.如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 ．
【答案】13
【解析】略
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且ADAC=ACAB.若AD=3，BD=2，则CD的长是 ．
【答案】 6
【解析】略
15.如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE//CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF= ．
【答案】3
【解析】∵CD=CA，DE//CB，∴AF=EF，∴CF是△ADE的中位线，∴DE=2CF=2，∵DE=DC，∴AC=2CF=2，∵∠CAB=∠CFA，∠ACF=∠ACB，∴△CAF∽△CBA，∴AC:BC=CF:AC，∴2:BC=1:2，∴BC=4，∴BF=BC−FC=3．
16.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC=3，AD=165，则AB的长为 ．
【答案】4
【解析】略
17.如图，在▵ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE//BC，若DEBC=13，则S▵ADES▵ABC= ．
【答案】19
【解析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明▵ADE∽▵ABC，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵DE//BC
∴▵ADE∽▵ABC，
∴S▵ADES▵ABC=DEBC2=132=19
故答案为：19．
18.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为______．
【答案】11.8米
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．据此可构造出相似三角形．
【解答】
解：根据题意可构造相似三角形模型如图，
其中AB为树高，EF为树影在第一级台阶上的影长，BD为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知BC即为树影在地上的全长；
延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF，
∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.4
∴GF=0.4AG
又∵GF=GE+EF，BD=GE=4.4m，EF=0.2m，
∴GF=4.6m，
∴AG=11.5m，
∴AB=AG+GB=11.8，即树高为11.8米．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
在Rt▵ABC中，∠BAC=90∘，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：▵ABD∽▵CBA；
(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．
【答案】(1)∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA=90∘.∵∠BAC=90∘，∴∠BDA=∠BAC.又∵∠B为公共角，∴▵ABD∽▵CBA.
(2)由（1）知▵ABD∽▵CBA，∴BDBA=BABC，∴BD6=610，∴BD=3.6.
【解析】1. 略
2. 略
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC∽△ADE，AE=5 cm，EC=3 cm，BC=7 cm，∠BAC=45°，∠C=40°．
(1)求∠AED和∠ADE的度数；
(2)求DE的长．
【答案】(1)解：∠AED＝40°，∠ADE＝95°．
(2)∵△ABC∽△ADE，∴AEAC=DEBC，即55+3=DE7．∴DE=358cm．
【解析】1. 略
2. 略
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出以点O为位似中心，把△ABC按相似比2:1放大后的△A2B2C2．
【答案】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求.

(2)解：如图所示，△A2B2C2​​​​​​​即为所求．​​​​​​​

【解析】1. 略
2. 略
22.(本小题8分)
如图，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，连接EB，GD．
(1)求证：EB=GD；
(2)若∠DAB=60°，AB=2，求GD的长．
【答案】(1)解：证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴AE＝AG，AB＝AD，∠EAG＝∠BAD．∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，即∠EAB＝∠GAD．∴△AEB≌△AGD(SAS)．∴EB＝GD．
(2)连接BD，交AC于点P，则BP⊥AC．∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°．∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，AB＝2，∴AE= 3，BP=12AB=1．∴AP=​​​​​​​ AB2−BP2= 3．∴EP=2 3．∴EB= EP2+BP2= 13．∴GD= 13．
【解析】1. 略
2. 略
23.(本小题8分)
在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AB上一点．

(1)如图 ①，若E是AB的中点，连接CE与AD交于点O，求证：AO=2OD;
(2)如图 ②，F为AC上一点，连接EF交AD于点O，若AFFC=32，AO=2OD，求AEBE的值．
【答案】(1)证明:如图,过点D作DG//CE交AB于点G.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴BG=EG.∵E是AB的中点,∴BE:EA=1:1,∴AO:OD=AE:EG=2:1(“飞鱼”模型),∴AO=2OD;


(2)解:如图,延长FE与CB的延长线交于点
M,过点D作DN//EF交AC于点N,则△AOF∽△ADN,△CMF∽△CDN,∴AF:FN=AO:OD=2:1=6:3.∵AF:FC=3:2=6:4,∴MD:DC=FN:NC=3:1(“飞鱼”模型) .∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∴MD:CD=MD:BD=3:1.过点B作BP//EF交AD于点P,则△AOE∽△APB,△BDP∽△MDO,∴OP:PD=MB:BD=2:1,​​​​​​​∵AO:OD=2:1=6:3,∴AO:OP=6:2=AE:EB=3:1(“飞鱼”模型),∴AEBE=3.


【解析】1. 略
2. 略
24.(本小题8分)
如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD(不计折射)，AB//CD．
(1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP=36cm，PA=18cm，AB=18cm，桌面的高度为60cm.在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为______cm．
【答案】解：(1)设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．
∵AB//CD，
∴△OAB～△OCD，
△OEF～△OMN，
△OEB～△OMD，
∴ABCD=0B0D，EFMN=0E0M，0B0D=0E0M，
∴EFMN=ABCD，
∵EF=AB，
∴MN=CD，
∴沿着AB方向平移时，CD长度不变．
(2)①以A为圆心，AB长为半径画圆，
当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ．
此时AB所在位置为AH．
②∵∠HGA=∠PGO，∠AHG=∠OPG=90°，
∴△GHA～△GPO，
∴GAG0=AH0P=1836=12，
∴设GA=x，则GO=2x，
在Rt△OPG中，
OP2+PG2=OG2，
∴362+(18+x)2=(2x)2，
∴x2−12x−540=0，
∴x1=30，x2=−18(舍去)，
∴AG=30，
由①OPOR=AGCQ，
∴3636+60=30CQ，
∴CQ=80，
即CD的长度的最大值为80cm．

【解析】略
25.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
(1)求证：FD是圆O的切线：
(2)若BC=4，FB=8，求AB的长．
【答案】(1)证明：
连接OD，
由题可知∠ABC═90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB═∠BDC═90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE=12BC=BE=EC，
∴∠EDC═∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD═90°，∠ABD+∠CBD═90°，
∴∠ECD═∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB═∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE═∠EDC+∠BDE═90°，
即∠ODE═90°，
故：FE是⊙O的切线．
(2)由(1)可知BE═EC═DE═12BC═2，
在Rt△FBE中，FE═ FB2+BE2═ 82+22═2 17，
∴FD═FE−DE═2 17−2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO═∠FBE═90°，∠OFD═∠EFB，
∴△FDO∼△FBE，
∴FDOD=FBBE，即2 17−2OD=82，
求得OD═ 17−12，
∴AB═2OD═ 17−1，
故：AB长为 17−1．
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由线段之间的关系推出角的关系，再利用圆的切线判定定理求证即可；
(2)利用相似三角形的对应边成比例，求得目标线段的长度．
本题主要考查圆的切线的判定，以及相似三角形的性质，其解题突破口是理清各个角之间的关系．
26.(本小题8分)
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”.例如，如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“华益美三角”．
(1)如图2，在△ABC中，BC= 2AB，求证：△ABC为关于边BC的“华益美三角”．
(2)如图3，已知△ABC为关于边BC的“华益美三角”，点D是△ABC的边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．
①求证：直线CA与⊙O相切；
②若⊙O的直径为2 6，求线段AB的长．
(3)已知△ABC为关于边BC的“华益美三角”，BC=4，∠B=30°，求△ABC的面积．
【答案】(1)解：证明：如图，取BC边的中点D，连接AD．
∵AD是中线，BC= 2AB，∴BD=12BC= 22AB，∴BDAB=ABCB= 22， 又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．∴△ABC为关于边BC的“华益美三角”．

(2)①证明：如图，连接OA．
∵△ABC为关于边BC的“华益美三角”，∴△CAD∽△CBA．∴∠CAD＝∠CBA．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠CBA．∴∠CAD＝∠OAB．∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠OAB+∠OAD＝90°．∴∠CAD+∠OAD＝90°．∴OA⊥AC．∵OA是⊙O的半径，∴直线CA与⊙O相切． ②∵△CAD∽△CBA，点D为BC的中点，BD=2 6，∴AC2=CD⋅BC=2 6×4 6=48，∴AC=4 3．∴ADAB=ACBC=4 34 6= 22． 设AD= 2x，则AB＝2x． 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2+AD2＝BD2， 即4x2+2x2＝24，∴x＝2（负值舍去）．∴AB＝4．

(3)如图，点D为BC的中点，过点A作AE⊥BC于点E．
①若△BAD∽△BCA，∴AB2＝BD·BC，∴AB=2 2， 在Rt△ABE中，∠B＝30°，∴AE=12AB= 2，∴S△ABC=12AE⋅BC=2 2； ②若△CAD∽△CBA，∴AC2＝CD·BC，∴AC=2 2， 在Rt△ABE中，∠B＝30°，设AE＝m，则BE= 3m，∴CE=4− 3m， 在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC2＝AE2+CE2，∴8=m2+(4− 3m)2，解得m= 3±1，∴S△ABC=12AE⋅BC=2 3±2． 综上所述，△ABC的面积为2 2或2 3+2或2 3−2．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略