中考数学二轮复习：锐角三角函数练习题（含答案）

这是一份中考数学二轮复习：锐角三角函数练习题（含答案），共7页。试卷主要包含了如图，斜面AC的坡度，图1是一个地铁站入口的双翼闸机，在△ABC中，等内容，欢迎下载使用。
1．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝35米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米B．6米C．8米D．（3+5）米
2．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则csA＝（ ）
A．52B．12C．255D．55
3．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．45B．43C．34D．35
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=32，AC＝23，则AB的长是（ ）
A．4B．3+3C．5D．2+23
5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=43，则CD的值为（ ）
A．43B．25C．65D．2
6．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cs∠C＞cs∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cs∠BDC=35，则BC的长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
8．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）
A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里
9．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．(543+10)cmB．(542+10)cm
C．64cmD．54cm
10．在△ABC中，（2csA−2）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
二．填空题（共5小题）
11．如图，一山坡的坡度为i＝1：3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 米．
12．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 ．
13．（按课改要求命制）如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝1，PB＝2，PC=5，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点P旋转到P′外，则sin∠PCP′的值是 （不取近似值）．
14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
15．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC=34，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，ct68°≈0.40）
18．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BE=13AB，试管倾斜角α为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度．
（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
19．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
20．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，精确到0.1m．）
2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝35米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米B．6米C．8米D．（3+5）米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【答案】A
【分析】设CD＝x，则AD＝2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：设CD＝x，则AD＝2x，
由勾股定理可得，AC=x2+(2x)2=5x，
∵AC＝35米，
∴5x＝35，
∴x＝3米，
∴CD＝3米，
∴AD＝2×3＝6米，
在Rt△ABD中，BD=102−62=8米，
∴BC＝8﹣3＝5米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．
2．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则csA＝（ ）
A．52B．12C．255D．55
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】D
【分析】首先根据∠B＝90°，BC＝2AB，可得AC=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB，然后根据余弦的求法，求出csA的值是多少即可．
【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝2AB，
∴AC=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB，
∴csA=ABAC=AB5AB=55．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
（2）此题还考查了直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
3．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．45B．43C．34D．35
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC=BDAD=34，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=32，AC＝23，则AB的长是（ ）
A．4B．3+3C．5D．2+23
【考点】解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】C
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=3，AD＝3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝23，
∴CD=12AC=3，AD=3CD＝3，
在Rt△BCD中，tanB=CDBD，
∴3BD=32，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．不是直角三角形作辅助线构造出直角三角形
5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=43，则CD的值为（ ）
A．43B．25C．65D．2
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】延长AD、BC，两线交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根据勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA=43=OBAB，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴DCAB=OCOA，
∴DC3=25，
解得：DC=65，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线（构造出直角三角形）是解此题的关键．
6．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cs∠C＞cs∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
【考点】锐角三角函数的增减性；圆周角定理．
【答案】D
【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，因为∠AEB＝∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角函数的增减性，即可判断．
【解答】解：如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cs∠C＜cs∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是比较出∠C＞∠D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cs∠BDC=35，则BC的长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD＝AD，再利用cs∠BDC=CDBD=35，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD＝AD，
∴CD+BD＝8，
∵cs∠BDC=CDBD=35，
∴CD8−CD=35，
解得：CD＝3，BD＝5，
∴BC＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD＝BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
8．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）
A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】几何图形问题．
【答案】C
【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．
【解答】解：如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，
∴∠DAB＝15°，
∴∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝90°．
又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA+∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBA＝45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC=ACBC=40×12BC=22，
∴BC＝202海里．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．
9．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．(543+10)cmB．(542+10)cm
C．64cmD．54cm
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】C
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=12AC=12×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
10．在△ABC中，（2csA−2）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【答案】D
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
【解答】解：由（2csA−2）2+|1﹣tanB|＝0，得
2csA=2，1﹣tanB＝0．
解得A＝45°，B＝45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，一山坡的坡度为i＝1：3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 100 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】应用题．
【答案】100
【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=BCAC=33，∠A＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：根据题意得tan∠A=BCAC=13=33，
所以∠A＝30°，
所以BC=12AB=12×200＝100（m）．
故答案为100．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
12．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 21 ．
【考点】解直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】21
【分析】如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ．首先证明∠EDC＝90°，解直角三角形求出DE，AE，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ．
∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，
∵AD＝2CD，CE＝2BE，
∴EC＝2CD，
∵EJ＝JC，
∴CD＝CJ，
∵∠DCJ＝60°，
∴△DCJ是等边三角形，
∴DJ＝JE＝JC，
∴∠CDE＝90°，
∴DE=3CD=733，
∴AE=AD2+DE2=(143)2+(733)2=773，
在△ABE和△CBD中，
BA=CB∠ABE=∠BCDBE=CD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠APD＝∠BAE+∠ABP＝∠CBD+∠ABP＝60°，
∴∠APD＝∠ACE＝60°，
∵∠PAD＝∠CAE，
∴△PAD∽△CAE，
∴APCA=ADAE，
∴APAD=ACAE，
∴△ADE∽△APC，
∴DEPC=AEAC，
∴733PC=7737，
∴PC=21，
故答案为：21．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．（按课改要求命制）如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝1，PB＝2，PC=5，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点P旋转到P′外，则sin∠PCP′的值是 55 （不取近似值）．
【考点】解直角三角形；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质．
【专题】压轴题．
【答案】55
【分析】根据题意，旋转角度为60°．易证明△APP′是等边三角形，PP′＝1；由CP′＝BP＝2，PC=5可证明△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．根据三角函数的定义求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°．
根据旋转的性质，有
∠PAP′＝60°，AP′＝AP＝1，CP′＝BP＝2．
∴△APP′是等边三角形，PP′＝1．
在△PCP′中，
PC=5，PP′＝1，CP′＝2．
∴PC2＝P′P2+P′C2．
∴△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．
∴sin∠PCP′=15=55．
【点评】此题考查了旋转的性质及直角三角形的判定和三角函数等知识点，有一定的综合性．
14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 55 ．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】网格型．
【答案】55
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO=AC2+OC2=42+22=20=25，
∴sin∠OAB=OCOA=225=55．
故答案为：55．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC=34，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S=−325x2+32x ．
【考点】解直角三角形；函数关系式．
【专题】三角形．
【答案】S=−325x2+32x
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
【解答】解：在Rt△CDE中，tanC=34，CD＝x
∴DE=35x，CE=45x，
∴BE＝10−45x，
∴S△BED=12×（10−45x）•35x=−625x2+3x．
∵DF＝BF，
∴S=12S△BED=−325x2+32x，
故答案为S=−325x2+32x．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
16．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=上升的高度时间”进行解答即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，则BD＝CD＝9米．
在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，则AD＝CD•tan37°≈9×0.75＝6.75（米）．
所以，AB＝AD+BD＝15.75米，
整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25＝13.5（米），
因为耗时45s，
所以上升速度v=13.545=0.3（米/秒）．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
17．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，ct68°≈0.40）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】常规题型；解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHct68°＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解之求得CH的长，再由EF＝BEsin68°＝3.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHct68°＝0.4x，
由AB＝49知x+0.4x＝49，
解得：x＝35，
∵BE＝4，
∴EF＝BEsin68°＝3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），
答：点E到地面的距离约为66.7cm．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．
18．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BE=13AB，试管倾斜角α为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度．
（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点E作EG⊥AC于点G，直接利用α的余弦即可求出GE，从而得到CD的长度；
（2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，先在Rt△EBP中求出BP，EP，进而求出BQ，QM，利用DN＝DH+HN＝BP+QM即可解决问题．
【解答】解：（1）过点E作EG⊥AC于点G，
∵AB＝30cm，BE=13AB，
∴BE＝10cm，AE＝20cm，
∵∠AEG＝α＝10°，
∴GE＝AE•csα＝20×cs10°≈19.6（cm），
∴CD＝GE＝19.6cm，
答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm；
（2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，
则BP＝BE•csα＝10×cs10°≈9.8（cm），
EP＝BE•sinα＝10×sin10°≈1.7（cm），
∵DE＝21.7cm，
∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.7＝20（cm），
∴BH＝20cm，
∵MN＝8cm，
∴QH＝8cm，
∴BQ＝BH﹣QH＝20﹣8＝12（cm），
∵∠ABM＝145°，
∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10°﹣90°＝45°，
∴QM＝BQ＝12cm，
∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝9.8+12＝21.8（cm），
答：线段DN的长度为21.8cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
19．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据∠1＝30°，∠2＝60°，可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．
（2）延长BC交l于T，比较AT与AM、AN的大小即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠1＝30°，∠2＝60°，
∴△ABC为直角三角形．
∵AB＝40km，AC=83km，
∴BC=AB2+AC2=402+(83)2=167（km）．
∵1小时20分钟＝80分钟，1小时＝60分钟，
∴16780×60＝127（千米/小时）．
（2）能．
理由：作线段BR⊥AN于R，作线段CS⊥AN于S，延长BC交l于T．
∵∠2＝60°，
∴∠4＝90°﹣60°＝30°．
∵AC＝83（km），
∴CS＝83sin30°＝43（km）．
∴AS＝83cs30°＝83×32=12（km）．
又∵∠1＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°．
∵AB＝40km，
∴BR＝40•sin60°＝203（km）．
∴AR＝40×cs60°＝40×12=20（km）．
易得，△STC∽△RTB，
所以STRT=CSBR，
STST+20+12=43203，
解得：ST＝8（km）．
所以AT＝12+8＝20（km）．
又因为AM＝19.5km，MN长为1km，∴AN＝20.5km，
∵19.5＜AT＜20.5
故轮船能够正好行至码头MN靠岸．
【点评】此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
20．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，精确到0.1m．）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点E作EF⊥AC于F，得出EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，得出CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，根据tan∠EBF=EFBF，代值计算即可求出x的值．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，
∴EF＝CD，CF＝DE＝10m，
设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，
在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF=EFBF，
∴xx−16=3，
∴x＝24+83≈37.8．
答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键