中考数学二轮复习：锐角三角函数练习题（含答案） (1)

这是一份中考数学二轮复习：锐角三角函数练习题（含答案） (1)，共7页。试卷主要包含了如图为路桥区域局部示意图，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，对于题目等内容，欢迎下载使用。
1．“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知PA，PB分别与ANB所在圆相切于点A，B，点N是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是5cm，∠P＝60°，正方形CDEF边长为2cm．所有正确结论的序号是（ ）
①无论不倒翁如何摇晃∠ANB的度数始终不变且为60°；
②AP=BP=53cm；
③点P到CF的距离为(6+26)cm；
④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为180°的扇形．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（ ）
A．23B．34C．74D．73
3．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，以A为圆心，AD长为半径作弧，与线段CD交于点E．若△ABD和△AEC的面积之比为3：1，则tanB的值为（ ）
A．12B．13C．22D．33
4．如图为路桥区域局部示意图（各地点用点表示），中央山公园位于汽车南站的北偏东45°方向的4个单位长度处．若以汽车南站为原点建立平面直角坐标系，则中央山公园所在位置的坐标为（ ）
A．（2，2）B．(2，2)
C．(22，22)D．(2+1，2+1)
5．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD＝（ ）
A．22B．223C．255D．325
6．九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方，它是由9个正方形组成的图案，如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC 的值为（ ）
A．12B．55C．13D．33
7．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（ ）米．
A．42B．210C．45D．410
8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠B和∠C均为锐角，若c•csB＝b•csC，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
9．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，伞圈D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝30cm；如图2，伞完全收拢时，伞圈D滑动到D′的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度DD′可表示为（ ）
A．60﹣30sin65°B．60﹣30cs65°
C．60﹣60sin65°D．60﹣60cs65°
10．对于题目：“如图，∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OA上存在两点M，N，OM＝MN＝2，P为OB上一点，当△MNP为等腰直角三角形时，求tanα的值．”对于其答案，甲答：tanα＝1．乙答：tanα＝2．丙答：tanα=12或13．则正确的是（ ）
A．只有甲答案对
B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
二．填空题（共5小题）
11．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，则点C离地面的高度升高了约 cm．（结果保留整数，参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6）
12．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，以AB为边在AB上方作△ADB，使得tan∠ABD=33，BD=27，连接CD，交AB于点E，则BE的长为 ．
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M，过点C作CE⊥AF于点E．若CE＝1，CD＝2，则tanF＝ ．
14．在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG，若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9，则tan∠EGD＝ ．
15．如图，△ABC与△EBD均为直角三角形，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝6，BC＝3，EB＝25，BD=5，射线AE与直线CD交于点P．若AB∥ED，则tan∠PAC的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，AC为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由CD，DE，EB三段组成（其中DE平行于地面AB）．数学兴趣小组测得BE＝20m，DE＝60m，∠B＝45°，∠CDE＝145°，从E处看C的仰角为20°（即∠CED＝20°），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点C离地面AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，2≈1.41．）
17．南宁市某中学九年级学生在课外实践活动中，要利用测角仪测量青山塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6米，CD的坡度为i=1：3，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（结果保留个位）
（参考数据：tan27°≈0.5，3≈1.7)
18．项目式学习
背景：位于山西大同的魁星楼作为晋北地区极具代表性的明清古建筑，不仅承载着当地崇文重教的文化传统，还是市民日常游览打卡的地标．为深化对古建筑的保护与研究，同时落实数学学科实践育人的要求，特开展本次项目式学习．
请根据以上信息，计算魁星楼的高度AB（结果精确到1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
19．如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°．
（1）在图2中，∠BCD＝ ；
（2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm．
①∠ACD＝ °；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43，sin37°≈35，sin53°≈45)
20．在很多景区，我们都可以看到类似图①这种凉亭，供游人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点A到地面的距离．如图②，已知∠BAC＝120°，AB＝AC，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为2.8m，当太阳光恰好能照射到石桌中心点E处，此时太阳光与桌面的夹角为53°．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度DE为0.5m，M，N为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点A到地面的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，3≈1.73）
2026年中考数学二轮复习：锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知PA，PB分别与ANB所在圆相切于点A，B，点N是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是5cm，∠P＝60°，正方形CDEF边长为2cm．所有正确结论的序号是（ ）
①无论不倒翁如何摇晃∠ANB的度数始终不变且为60°；
②AP=BP=53cm；
③点P到CF的距离为(6+26)cm；
④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为180°的扇形．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】解直角三角形的应用；简单组合体的三视图；由三视图判断几何体；三角形的重心；勾股定理的应用；圆周角定理；切线的性质；圆锥的计算；轴对称图形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】①设圆心为O，连接OA，OB，根据切线的性质求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理可得出∠ANB的度数，则可判断正误；②先证得PO平分∠APB，则有∠APO=12∠APB=30°，再根据锐角三角函数解直角三角形即可求得AP，BP的长度；③利用垂径定理求得点O到DE的距离，取DE的中点Q，CF的中点为M，点P到CF的距离为PM＝PO+OQ﹣DM，计算出长度即可；④分别求出圆锥底面半径，圆锥的母线长，圆锥底面周长，再根据弧长公式求展开图扇形的圆心角即可判断．
【解答】解：①如图1，设圆心为O，连接NA，NB，OP，OA，OB，
∵PA，PB分别与ANB所在圆相切于点A，B，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，
∵∠APB＝60°，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴圆心角∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°．
由图可知点N一直在优弧AB上，
∴∠ANB=12∠AOB=60°，故①正确；
②∵OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO=12∠APB=30°，
∵OA＝5cm，则AP=OAtan30°=513=53cm，
同理，BP=53cm．
∴AP=BP=53cm，故②正确；
③如图2，取DE的中点Q，CF的中点为M，
∵∠APO＝30°，OA＝5cm，
∴OP＝2OA＝10cm，
正方形CDEF边长为2cm，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点Q，M，O，P都在对称轴上，
∴点P到CF的距离即PM的长度，
∵DQ=12DE=1cm，
∴OQ=DO2−DQ2=52−12=26cm．
∴PM＝PO+OQ﹣QM＝10+26−2＝（8+26）cm，故③错误；
④如图，
圆锥的母线长PB=53cm，
设圆锥底面圆心为O′，且在PO上，
∴O′B=PB⋅OBPO=53×510=532cm．
∴圆锥底面周长l=2π⋅O′B=2π×532=53π，
∴l=nπr180，n=180lπr=180×53ππ×53=180，
∴展开图是圆心角为180°的扇形，故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号是①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质，正方形 到现在，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（ ）
A．23B．34C．74D．73
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】如图，延长BA到M，过点A作AH⊥BC于点H．证明∠EAC＝∠ACB，求出sin∠ACB可得结论．
【解答】解：如图，延长BA到M，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC=12BC=32，
∴AH=AC2−CH2=22−(32)2=72，
∴sin∠ACB=AHAC=74，
∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，
∴AE平分∠MAC，
∴∠MAE＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴sin∠EAC＝sin∠ACB=74．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
3．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，以A为圆心，AD长为半径作弧，与线段CD交于点E．若△ABD和△AEC的面积之比为3：1，则tanB的值为（ ）
A．12B．13C．22D．33
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【答案】C
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．由△ABD和△AEC的面积之比为3：1，推出BD＝3CE，设CE＝k，则BD＝3k，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出AH，BH可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．
∵△ABD和△AEC的面积之比为3：1，
∴BD＝3CE，
设CE＝k，则BD＝3k，
∵AD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴AD＝DB＝DC＝3k，
∴DE＝DC﹣CE＝2k，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE＝k，
∴BH＝4k，AH=AD2−DH2=(3k)2−k2=22k，
∴tanB=AHBH=22k4k=22．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
4．如图为路桥区域局部示意图（各地点用点表示），中央山公园位于汽车南站的北偏东45°方向的4个单位长度处．若以汽车南站为原点建立平面直角坐标系，则中央山公园所在位置的坐标为（ ）
A．（2，2）B．(2，2)
C．(22，22)D．(2+1，2+1)
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】过A点作AE⊥x轴于E，利用等腰直角三角形得出点A的坐标即可．
【解答】解：过A点作AE⊥x轴于E，
由题意可知，OA＝4，∠AOE＝90°﹣45°＝45°，
∴OE＝AE＝22，
∴A（22，22），
即 则中央山公园所在位置的坐标为（22，22），
故选：C．
【点评】此题考查直角三角形，关键是利用等腰直角三角形得出点A的坐标解答．
5．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD＝（ ）
A．22B．223C．255D．325
【考点】解直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】如图，取格点J，连接AJ，BJ．利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明∠A＝90°，再证明∠AMD＝∠ABJ可得结论．
【解答】解：如图，取格点J，连接AJ，BJ．
∵DJ＝BC，DJ∥BC，
∴四边形DJBC是平行四边形，
∴CD∥BJ，
∴∠AMD＝∠ABJ，
∵AB=5，AJ＝25，BJ=33+42=5，
∴AB2+AJ2＝BJ2，
∴∠A＝90°，
∴sin∠AMD＝sin∠ABJ=AJBJ=255．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
6．九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方，它是由9个正方形组成的图案，如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC 的值为（ ）
A．12B．55C．13D．33
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；模型思想．
【答案】B
【分析】取格点D，连接BD，利用勾股定理求出AB，AD，BD的长，利用正弦的定义，进行计算即可．
【解答】解：设小正方形的边长为1，取格点D，连接BD，
如图：
由勾股定理得，
AD2＝22+22＝4+4＝8，
BD2＝12+12＝2，
AB2＝12+32＝10，
∵8+2＝10，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∵AB=10，BD=2，
∴sin∠BAC=BDAB=210=55．
故选：B．
【点评】本题考查网格中计算三角函数值．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（ ）米．
A．42B．210C．45D．410
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】如图，根据矩形的性质得到DE＝CF，得到AE＝DE=22=22（米），求得CF＝22米，得到BF＝42米，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE＝CF，
∵扶梯AD的坡比为1：1，
∴DEAE=1，
∴AE＝DE=22=22（米），
∴CF＝22米，
∵滑梯BC的坡比为1：2，
∴CFBF=12，
∴BF＝42米，
∴BC=BF2+CF2=(42)2+(22)2=210（米），
答：滑梯CB的长为210米．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答中涉及勾股定理，理解题意，掌握坡度的含义，熟练运用勾股定理是解题的关键．
8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠B和∠C均为锐角，若c•csB＝b•csC，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【考点】解直角三角形；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；等腰直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据∠B和∠C均为锐角判断∠A，再分类讨论．当A为锐角、钝角时，过点A作AD⊥BC，利用直角三角形的边角间关系、c•csB＝b•csC及等腰三角形的判定得结论．
【解答】解：△ABC中，
∵∠B和∠C均为锐角，
∴∠A可能是直角、钝角、锐角．
当∠A是直角时，如图一所示：
∵csB=ca，csC=ba，
c•csB＝b•cs C，
∴c•ca=b•ba，即c2＝b2．
∵b、c均为正数，
∴c＝b．
∴三角形为等腰直角三角形；
当∠A为锐角或钝角三角形时，如图二所示：
过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵csB=BDc，csC=CDb，c•csB＝b•cs C，
∴c•BDc=b•CDb，即BD＝CD．
∵AD⊥BC，
∴AB＝AC．
∴三角形为等腰三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的边角间关系是解决本题的关键．
9．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，伞圈D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝30cm；如图2，伞完全收拢时，伞圈D滑动到D′的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度DD′可表示为（ ）
A．60﹣30sin65°B．60﹣30cs65°
C．60﹣60sin65°D．60﹣60cs65°
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接EF交AD于点M，根据AE＝AF＝DE＝DF＝30cm，得到四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质可知△AEM是直角三角形且∠EAM＝65°，根据余弦的定义可得AM＝30cs65°，根据菱形的定义可知AD＝2AM＝60cs65°，再根据DD′＝AD′﹣AD，即可得出结果．
【解答】解：如图所示，连接EF交AD于点M，
∵AE＝AF＝DE＝DF＝30cm，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AM=DM=12AD，EM⊥AD，
∵∠BAC＝130°，
∴∠EAM＝65°，
在Rt△AEM中，cs∠EAM=AMAE，
∴cs65°=AM30，
∴AM＝30cs65°，
∴AD＝2AM＝60cs65°，
由题意：AD′＝AE+D′E＝30+30＝60，
∴在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度DD′＝AD′﹣AD＝60﹣60cs65°；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10．对于题目：“如图，∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OA上存在两点M，N，OM＝MN＝2，P为OB上一点，当△MNP为等腰直角三角形时，求tanα的值．”对于其答案，甲答：tanα＝1．乙答：tanα＝2．丙答：tanα=12或13．则正确的是（ ）
A．只有甲答案对
B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
【考点】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】依题意，当△MNP为等腰直角三角形时，有以下三种情况：①当∠PMN＝90°时，则PM＝MN＝OM＝2，此时tanα=PMOM=1；②当∠PNM＝90°时，则PN＝MN＝2，MN＝4，此时tanα=PMON=12；③当∠MPN＝90°时，过点P作PH⊥OA于点H，则PH＝MH＝NH=12MN＝1，OH＝3，此时tanα=PHOH=13；综上所述即可得出答案．
【解答】解：依题意，当△MNP为等腰直角三角形时，有以下三种情况：
①当∠PMN＝90°时，如图1所示：

∵△MNP为等腰直角三角形，
∴PM＝MN，
∵OM＝MN＝2，
∴PM＝OM＝2，
在Rt△OPM中，tanα=PMOM=1；
②当∠PNM＝90°时，如图2所示：

∵△MNP为等腰直角三角形，
∴PN＝MN，
∵OM＝MN＝2，
∴PN＝MN＝2，MN＝OM+MN＝4，
在Rt△OPM中，tanα=PMON=24=12；
③当∠MPN＝90°时，过点P作PH⊥OA于点H，如图2所示：

∵△MNP为等腰直角三角形，
∴PH＝MH＝NH=12MN，
∵OM＝MN＝2，
∴PH＝MH＝NH=12MN＝1，
∴OH＝OM+MH＝3，
在Rt△OPM中，tanα=PHOH=13；
综上所述：甲、丙答案合在一起才完整．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，则点C离地面的高度升高了约 16 cm．（结果保留整数，参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6）
【考点】解直角三角形的应用；三角形的稳定性；多边形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】16．
【分析】如图，延长BC与底面交于点K，过点D作DQ⊥CK于点Q，则四边形DHKQ为矩形，可得QK＝DH＝208，证明四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，当∠GAE＝60°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝60°，此时∠CDQ＝30°，CQ＝288﹣208＝80，CD＝2CQ＝160，当∠GAE＝54°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝54°，CQ＝CD•cs54°≈160×0.6＝96，即可求解．
【解答】解：如图，延长BC与底面交于点K，过点D作DQ⊥CK于点Q，则四边形DHKQ为矩形，
∴QK＝DH＝208，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
当∠GAE＝60°时，则∠QBA＝∠GAE＝∠QCD＝60°，
此时CQ＝288﹣208＝80（cm），∠CDQ＝30°，
∴CD＝2CQ＝160（cm），
当∠GAE＝54°时，则∠QCD＝∠QBA＝∠GAE＝54°，
∴CQ＝CD•cs54°≈160×0.6＝96，
而96＞80，96﹣80＝16，
∴点C离地面的高度升高了约16cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，以AB为边在AB上方作△ADB，使得tan∠ABD=33，BD=27，连接CD，交AB于点E，则BE的长为 83 ．
【考点】解直角三角形；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】83．
【分析】过D点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，先通过三角函数以及勾股定理求出BF，DF的长，然后根据等边三角形三线合一及勾股定理求出BG，CG，再证得△DFE∽△CGE，最后利用比例式计算即可．
【解答】解：△ABC是边长为12的等边三角形，以AB为边在AB上方作△ADB，
过D点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，
∴DF∥CG，△DBF为直角三角形，
∴tan∠ABD=DFBF=33，
∴DF=33BF，
∵BD2＝DF2+BF2，BD=27，
∴(27)2=(33BF)2+BF2，
∴BF＝1（负值已舍），
∴DF=33，
∵CG⊥AB，
∴BG=12AB=6，CG=BC2−BG2=122−62=63，
∵DF∥CG，
∴△DFE∽△CGE，
∴DFCG=EFEG，
设BE＝x，则EF＝BE﹣BF＝x﹣1，EG＝BG﹣BE＝6﹣x，
∴3363=EFEG=x−16−x，
解得x=83．
【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键．
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M，过点C作CE⊥AF于点E．若CE＝1，CD＝2，则tanF＝ 1515 ．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】1515．
【分析】先求得CM平分∠ECF，作MN⊥CF于点N，证明Rt△CMN≌Rt△CME（HL），求得CN＝CE＝1，ND＝3，再证明△FMN∽△FAD，求得FN＝ND＝3，在Rt△CEF中，解直角三角形即可求解．
【解答】解：在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵CE⊥AF，
∴∠CEF＝∠ADF＝90°，
∵∠F＝∠F，∠BAF＝2∠ACD，
∴∠ECF＝∠BAF＝2∠ACD＝∠ACB，
又∠ACD＝∠BCD＝∠MCF，
∴∠ECM＝∠MCF，即CM平分∠ECF，
作MN⊥CF于点N，
∵CE⊥AF，MN⊥CF，
∴MN＝ME，
∵CM＝CM，
∴Rt△CMN≌Rt△CME（HL），
∴CN＝CE＝1，
∴ND＝3，
∵MN⊥CF，CD⊥AB，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴MNBD=CNCD，即MNBD=12，
∴AD＝BD＝2MN，
∵MN∥AD，
∴△FMN∽△FAD，
∴MNAD=FNFD，即MN2MN=FNFD，
∴FD＝2FN，
∴FN＝ND＝3，
∴FC＝4，
在Rt△CEF中，CE＝1，FC＝4，
∴FE=42−12=15，
∴tanF=CEFE=1515，
故答案为：1515．
【点评】本题考查了求角的正切值，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键．
14．在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG，若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9，则tan∠EGD＝ 17 ．
【考点】解直角三角形；勾股定理的证明．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】17．
【分析】根据题意，先表示出两个正方形的边长，再利用三角函数和勾股定理，分别求出DM，GM，利用锐角三角函数求出结果．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9，
∴正方形ABCD与正方形EFGH的边长之比为17：3，
如图，令AD=17a，EF＝3a，
∵赵爽弦图，
∴AF＝DE，
设AF＝DE＝x，则DF＝EF+DE＝3a+x，
∵在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2，
∴x2+（3a+x）2＝17a2，
∴x＝a，x＝﹣4a（舍去），
∴AF＝DE＝a，
如图，过D点作DM⊥GE于点M，
∵正方形EFGH，EF＝3a，
∴∠GEH＝45°，EG=EF2+FG2=32a，
∴∠MED＝45°，
∴在Rt△MED中，DM＝DE•sin∠MED=22a，
∴ME＝DM=22a，
∴MG＝ME+EG=722a，
∴在Rt△GFD中，tan∠EGD=DMGM=17．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
15．如图，△ABC与△EBD均为直角三角形，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝6，BC＝3，EB＝25，BD=5，射线AE与直线CD交于点P．若AB∥ED，则tan∠PAC的值为 13 ．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】13．
【分析】令BC交ED于点N，过点E作EM⊥AB，则EM＝BN，BM＝EN，则DE=BE2+BD2=5，可得△PED，△CND，△AME，都是等腰直角三角形，则PA=PE+AE=922，PC=PD−CD=322，即可求解．
【解答】解：如图，令BC交ED于点N，过点E作EM⊥AB，则EM＝BN，BM＝EN，
由勾股定理可得DE=BE2+BD2=5，
∵AB∥ED，
∴BN⊥DE，
∴BN=BD⋅BEDE=25×55=2，
∴CN＝BC﹣BN＝3﹣2＝1，DN=BD2−BN2=(5)2−22=1，
∴CN＝DN，
∴∠PDE＝45°，
∵EM＝BN＝2，BM＝EN＝4，
∴AM＝2，
∴AM＝EM，
∴∠EAB＝45°，
∴∠PED＝∠EAB＝45°，
∴△PED，△CND，△AME，都是等腰直角三角形，
∴PE=PD=5÷2=52，AE=22，CD=2，
∴PA=PE+AE=922，PC=PD−CD=322，
∴tan∠PAC=PCPA=322922=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
三．解答题（共5小题）
16．跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，AC为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由CD，DE，EB三段组成（其中DE平行于地面AB）．数学兴趣小组测得BE＝20m，DE＝60m，∠B＝45°，∠CDE＝145°，从E处看C的仰角为20°（即∠CED＝20°），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点C离地面AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，2≈1.41．）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】大跳台最高点C离地面AB的高度约为59m．
【分析】连接CE，过点C作CM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于N，延长ED交CM于P，则四边形PMNE是矩形，先求出PM=102m，设PC＝xm，根据三角函数的定义，得出PD≈x0.7，PE≈x0.36，利用DE＝60m，即可得出关于x的方程，解方程求出x的值，进而可得答案．
【解答】解：数学兴趣小组测得BE＝20m，DE＝60m，∠B＝45°，∠CDE＝145°，从E处看C的仰角为20°（即∠CED＝20°），
如图，连接CE，过点C作CM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于N，延长ED交CM于P，
∵DE平行于地面AB，
∴∠PEN＝∠ENM＝∠PMN＝90°，
∴四边形PMNE是矩形，
∴PM＝EN，∠CPE＝90°，
∵在Rt△ENB中，∠B＝45°，BE＝20m，
∴PM=EN=BE⋅sin45°=102m，
∵∠CDE＝145°，
∴∠CDP＝180°﹣∠CDE＝35°，
设PC＝xm，
∵在Rt△CPD中，tan∠CDP=CPPD，
∴PD=xtan35°≈x0.7，
∵在Rt△CPE中，∠CED＝20°，tan∠CED=PCPE，
∴PE=xtan20°≈x0.36，
∵DE＝PE﹣PD＝60m，
∴x0.36−x0.7=60，
解得x≈44.5，
∴CM=PC+PM=44.5+102≈59m，
答：大跳台最高点C离地面AB的高度约为59m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
17．南宁市某中学九年级学生在课外实践活动中，要利用测角仪测量青山塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6米，CD的坡度为i=1：3，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（结果保留个位）
（参考数据：tan27°≈0.5，3≈1.7)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）DE的长为3米；
（2）塔AB的高度约为11米．
【分析】（1）根据已知易得：在Rt△CDE中，tan∠DCE=33，从而可得∠DCE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DE＝AF＝3米，DF＝AE，然后设AC＝x米，则DF＝AE＝（33+x）米，分别在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB和BF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵CD的坡度为i=1：3，
∴DECE=13=33，
在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=33，
∴∠DCE＝30°，
∴DE=12CD＝3（米），
∴CE=3DE＝33（米），
∴DE的长为3米；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DE＝AF＝3米，DF＝AE，
设AC＝x米，
∵CE＝33米，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（33+x）米，
在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，
∴AB＝AC•tan45°＝x（米），
在Rt△ABD中，∠FDB＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（33+x）米，
∵AB＝BF+AF，
∴x＝0.5（33+x）+3，
解得：x＝6+33，
∴AB＝6+33≈11（米），
∴塔AB的高度约为11米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．项目式学习
背景：位于山西大同的魁星楼作为晋北地区极具代表性的明清古建筑，不仅承载着当地崇文重教的文化传统，还是市民日常游览打卡的地标．为深化对古建筑的保护与研究，同时落实数学学科实践育人的要求，特开展本次项目式学习．
请根据以上信息，计算魁星楼的高度AB（结果精确到1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】魁星楼的高度AB约为33m．
【分析】先证AG＝EG，设AG＝EG＝x，则DG＝x+10.5利用，tan∠ADG=AGDG≈34，据此求解即可．
【解答】解：由题意，得四边形CDEF和四边形BCDG均为矩形，
∴∠BGD＝90°，DE＝CF＝10.5，BG＝CD＝1.5．
∴∠AGD＝90°．
∵∠AEG＝45°，
∴∠GAE＝45°，
∴AG＝EG．
设AG＝EG＝x，则DG＝x+10.5．
在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，
∴tan∠ADG=AGDG≈34，
∴xx+10.5=34，
解得x＝31.5．
∴AG＝31.5．
∴AB＝AG+BG＝33（m）．
答：魁星楼的高度AB约为33m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°．
（1）在图2中，∠BCD＝ 127° ；
（2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm．
①∠ACD＝ 53 °；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43，sin37°≈35，sin53°≈45)
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）127°；
（2）①53°；
②乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）．
【分析】（1）过点B作BF∥CD，由平行线的性质得出∠BCD+∠CBF＝180°，由已知条件得出∠CBF＝57°，进而可求出∠BCD；
（2）①根据题意可知∠ACD＝180°﹣∠BCD代入计算即可；
②过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H．求出EF，GF，再加上0.7cm减去1cm即可求出答案．
【解答】解：（1）过点B作BF∥CD，
∴∠CBF+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝37°，
∴∠CBF＝90°﹣37°＝53°，
∴∠BCD＝180°﹣53°＝127°，
故答案为：127°；
（2）①当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，
由（1）知∠BCD＝127°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BCD＝53°，
故答案为：53°；
②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H．
在Rt△CEF中，EF＝CEtan∠FCE＝15×tan53°≈15×43=20（cm），
在Rt△FGH中，FG=GHsin37°=0.635=1（cm）
乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20．在很多景区，我们都可以看到类似图①这种凉亭，供游人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点A到地面的距离．如图②，已知∠BAC＝120°，AB＝AC，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为2.8m，当太阳光恰好能照射到石桌中心点E处，此时太阳光与桌面的夹角为53°．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度DE为0.5m，M，N为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点A到地面的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，3≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用；线段垂直平分线的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】凉亭顶点A到地面的距离约为3.2m．
【分析】连接AE，BC交于点O，先计算OB的长度，再计算OE＝OB•tan∠OBE，AO=OBtan∠OAB，然后求出AD即可．
【解答】解：石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度DE为0.5m，M，N为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内）
如图，连接AE，BC交于点O，
则AE⊥BC，BC∥MN，
∴∠OBE＝53°，
∵AB＝AC，
∴OB=12BC=1.4，∠OAB=12∠BAC=60°，
在Rt△AOB中，AO=OBtan∠OAB，
在Rt△OBE中，OE＝OB•tan∠OBE，
∴AD=AO+OE+ED=OBtan∠OAB+OB⋅tan∠OBE+0.5=1.4tan60°+1.4×tan53°+0.5≈3.2（m）．
答：凉亭顶点A到地面的距离约为3.2m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．项目主题
魁星楼高度的测量与计算
活动过程
测量工具
测距仪、测角仪等
方案说明
1．在点C处用测角仪（CD）测出点A的仰角∠ADG；
2．从点C面向魁星楼行进一定距离到达点F，用测距仪测出C，F两点间的距离；
3．在点F处用测角仪（EF）测出点A的仰角∠AEG．
说明：B，F，C与D，E，G分别在同一水平直线上，A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内
数据记录
∠ADG＝37°，∠AEG＝45°，CD＝EF＝1.5m，CF＝10.5m
计算
…
交流展示
…
项目主题
魁星楼高度的测量与计算
活动过程
测量工具
测距仪、测角仪等
方案说明
1．在点C处用测角仪（CD）测出点A的仰角∠ADG；
2．从点C面向魁星楼行进一定距离到达点F，用测距仪测出C，F两点间的距离；
3．在点F处用测角仪（EF）测出点A的仰角∠AEG．
说明：B，F，C与D，E，G分别在同一水平直线上，A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内
数据记录
∠ADG＝37°，∠AEG＝45°，CD＝EF＝1.5m，CF＝10.5m
计算
…
交流展示
…