四川省内江市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共2页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 项，则这个数列的一个通项公式
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象计算出 、 、 、 的值，进而可归纳得出数列 的通项公式.
【详解】设第 幅图中着色的三角形个数为 ，
由图形可得 ， ， ， ，
据此可归纳得出该数列的一个通项公式为 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用观察法求数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
2. 已知函数 在 处的导数为 ，则 等于（ ）
A. －2 B. －1 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义，即可判断.
【详解】根据导数的定义可知 .
故选：A
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3. 已知数列 中， ， ( )，则 等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件可得 ， ， …，即 是周期为 3 的数列，即可求 .
【详解】由题设 ，知： ， ， ，…，
∴ 是周期为 3 的数列，而 的余数为 1，
∴ .
故选：D.
4. 如图是 的导数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在 内 是增函数
B. 在 内 是减函数
C. 在 时 取得极小值
D. 当 时 取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】利用导函数值的正负判断 的单调区间，再确定函数的极值
【详解】 时， ，此时 在 单调递减
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时， ，此时 在 单调递增
时， ，此时 在 单调递减
时， ，此时 在 单调递增
在 处左增右减，故在 时 取得极大值
在 处左减右增，故在 时 取得极小值
综上可知：B 正确
故选：B
5. 若 在 内单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 在 单调递减，所以 时 恒成立列出不等式组求解可得答案.
【详解】 ，由 在 单调递减，
∴ ，∴ ，∴ .
故选：A
【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于
中档题．
6. 已知函数 表示不超过 的最大整数， ， ，数列 的前 项和为
，则 （ ）
A. 673 B. 747 C. 769 D. 821
【答案】A
【解析】
【分析】用特殊值法，根据对数得运算对 进行分类，从而求出前 100 项的和.
【详解】根据题意分析可得： ， ，
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， ，
， ， ， ， ，
所以 ．
故选：A
7. 若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将 化简，然后分别对 ， 和 ， 进行作差，构造函数，利用导数判断出构造函数的单调
性，通过单调性对作差结果的正负进行判断，从而比较出大小.
【详解】∵
∴
令
则 ，易知 在区间 单调递增， ，
∴ 在区间 单调递增，
又∵
∴ ，即 ，
∴
令
则 ，当 时， ，
∴ 在区间 单调递增，
又∵
∴ ，即 ，
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∴ ，
综上所述， ， ， 之间的大小关系为 .
故选：A.
8. 设函数 ，若 ，则 a 的最小值为（ ）．
A. e B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，把 ，转化为 在 恒成立，令 ，求
得 ，得出函数的单调区间和最大值，求得 ，即可求解.
【详解】由函数 ，
因为 ，即 ，即 在 恒成立，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，即为最大值 ，
所以 ，即 ，所以实数 的最小值为 .
故选：D.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩
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法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据常见函数的导数及复合函数的导数判断即可.
【详解】对于 A，常数的导数为 0，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 错误.
故选：BC.
10. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 已知数列 是等差数列，那么数列 一定是等差数列
B. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
C. 已知等差数列 与 的前 项和分别为 与 ，若 ，则
D. 设 为等差数列 的前 项和， ，若 ，则 的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列的定义、前 项和的性质、中项与前 项和的关系，以及由不等式推导数列单调性，
逐一验证选项的正确性.
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【详解】对于 A，设等差数列 的公差为 ，则 ，为常数，
故 是等差数列，A 正确.
对于 B，在等差数列 中，设公差为 ，则 ，
解得 B 正确.
对于 C，在等差数列 与 中，若 ，
则 ，C 错误.
对于 D，由 ，得 ，
整理得 ，所以等差数列 是递增数列.
又 ，所以 ，即数列 的前 7 项为负值，即 的最小值是 ，D 正确.
11. 若点 是函数 f（x） 的图象上任意两点，且函数 f（x）
在点 A 和点 B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ）
A. x1＜0 B. 0＜x1＜1
C. 最小值为 e D. x1x2 最大值为 e
【答案】CD
【解析】
【分析】根据 ,分三种情况讨论: , 或 .对函数 求导,由导数的几何
意义及函数 在点 A 和点 B 处的切线互相垂直,即可得 的关系,进而判断选项即可.
【详解】因为 ,点
所以
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因为 在点 A 和点 B 处的切线互相垂直
由导数几何意义可知, 在点 A 和点 B 处的切线的斜率之积为
所以 时,满足 ,即 .因为 ,所以
所以 ,所以 A、B 错误;
对于 C,可知 ,令 ,
所以
令 ,得
所以当 时, ,则 在 时单调递减
所以 在 时取得极小值,即最小值为 ,所以 C 正确;
对于 D,可知
令 ,
则
令 ,解得
所以当 时, ,则 在 时单调递减
当 时, ,则 在 时单调递增
所以 在 时取得极小值,即最小值为 .
当 时取得最大值, ,所以 D 正确.
当 时,满足 ,即
此方程无解,所以不成立.
综上可知,D 为正确选项.
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故选:CD
【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，
而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 如果某物体做运动方程为 的直线运动（s 的单位为 m，t 的单位为 s），那么其在 1.2s 末的瞬
时速度为______m/s．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求解即可
【详解】由 可得 ，
所以在 1.2s 末的瞬时速度为 m/s，
故答案为： ．
13. 设数列{ }的通项公式是 其前 项和为 ，则 =______
【答案】240
【解析】
【详解】由题意得
.
14. 已知函数 与 的图像如下图所示，设函数 . 给出下列四个结论
①函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；
②函数 在区间 和 上是增函数，在区间 上是减函数；
③函数 有三个极值点；
④函数 有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是_____________ .
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【答案】②③④
【解析】
【分析】根据图像及导数与函数单调性的关系判断出实的图像是 的图像，虚的图像是 的图像，
对函数 求导，利用导数与函数单调性的关系求解.
【详解】由图像可知实的图像在区间 、 、 函数值分别为正、负、正，而虚的图像在
区间 、 、 分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实
的是 的图像，虚线是 的图像.
所以①错误，②正确；
因为 ，即 ，由图可知 恰有三个零点，故④正确；
又因为 ，
由图像可知 、 、 时， ，即 ，
又在区间 上， 的图像在 的图像的上方，即
在区间 上， 的图像在 的图像的下方，即
在区间 上， 的图像在 的图像的上方，即
在区间 上， 的图像在 的图像的下方，即
所以 、 、 分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数 有三个极值点
所以③正确
故答案为②③④
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
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15. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）直线 为曲线 的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点坐标．
【答案】（1）
（2） ，切点为
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
设切点为 ，由（1）得 ，
所以切线方程为 ，
因为切线经过原点，
所以 ，
所以 ， ．
则 ，
所以所求的切线方程为 ，切点为 ．
16. 已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， ， .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）
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（2） 或 21
【解析】
【分析】（1）由等差、等比数列通项公式基本量列方程组求解即可.
（2）首先由 得公比，结合 得公差，由此即可求解.
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
由 得： ，解得 （舍去）， ，于是 .
【小问 2 详解】
由 得 ，解得 或 .
当 时，由 得 ，∴ ；
当 时，由 得 ，∴ ，
综上所述，故 或 21.
17. 已知数列 中， ， .
（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式 ；
（2）数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】
【详解】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明 是等比数列，并求
的通项公式 ，⑵利用错位相减法即可求得答案；
解析：（1）∵
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∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是以 为首项，以 4 为公比的等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2） ，
∴ ①
②
①-②得
∴ .
18. 已知函数
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（1）求函数 的极值；
（2）在给定的直角坐标系中画出函数 的大致图像；
（3）讨论关于 x 的方程 的实根个数．
【答案】（1）极小值为 ，无极大值
（2） （3）当 时，方程 有唯一
的实数根；
当 时，方程 有两个不同的实数根；
当 时，方程 无实数根.
【解析】
【分析】（1）求导得 ，分析单调性，得极小值 ，无极大值；
（2）结合单调性、零点 和极限趋势，画出函数图像；
（3）将方程根的个数转化为函数 与 的交点个数，结合图像分情况讨论.
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【小问 1 详解】
因为函数 定义域为 ， ，又 恒成立，
当 时， ；当 时， ；
所以， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值为 ，无极大值.
【小问 2 详解】
当 时， ， ，此时 ，
再结合（1）中分析，可得 图象如下：
【小问 3 详解】
方程 的根的个数等价于函数 与 的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当 时， 与 有且仅有一个交点；
当 时， 与 有两个不同交点；
当 时， 与 有且仅有一个交点；
当 时， 与 无交点；
综上所述：当 时，方程 有唯一的实数根；
当 时，方程 有两个不同的实数根；
当 时，方程 无实数根.
19. 已知函数
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（1）讨论 的单调性；
（2）证明： （ 其中无理数 ）
【答案】（1）当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减；
当 时， 在 上单调递减.
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后分析分子 的符号，分 、 、 三种情况，讨论函数单
调性；
（2）取 ，利用单调性得 ，对乘积取对数放缩，再用裂项相消求和，证得不等式.
【小问 1 详解】
，
当 时， .
在 单调递增，在 单调递减.
当 且 的判别式 ，
即 时 对 恒成立，
在 上单调递减.
当 时，由 得： ，
解得： .
由 可得： 或 ，
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在 上单调递增，
在 上单调递减.
【小问 2 详解】
由（1）知当 时， 在 上单调递减.
当 时， ， ，即 .
.
即 .
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