四川省内江市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共23页。
2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上.
3、考试结束后，监考人将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将给定直线方程转化为斜截式方程，从而得到直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系以及倾斜角的取值范围求出倾斜角.
【详解】对于直线方程，得到,斜率.
设直线的倾斜角为，，根据直线倾斜角与斜率的关系，
已知斜率，所以.
在这个范围内，正切值等于的角只有，所以.
故选：B
2. 已知平面的一个法向量为，若直线满足（），则（ ）
A.
B.
C. 直线与平面有且仅有一个公共点
D. 直线与平面的位置关系不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可得直线平面，由此可得答案.
【详解】∵，∴，
∵为平面的一个法向量，∴平面，
∴直线与平面有且仅有一个公共点.
故选：C.
3. 一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（ ）
A. cmB. cmC. cmD. cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据木球在水中的体积等于水槽上升的体积，即可求解出水槽中水面上升的高度.
【详解】直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，
可得木球在水中的体积V＝＝；
∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积，
水槽上升的体积为Sh．
∴水槽上升的高度h＝
故选：B．
4. 当从到变化时，方程不可能表示的曲线是（ ）
A. 圆B. 椭圆
C. 抛物线D. 双曲线
【答案】C
【解析】
【分析】根据符号, 对角分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可.
【详解】当 时, , 方程 ,得
表示与 轴平行的两条直线；
当 时, , 方程，
表示圆心在原点的单位圆；
当 时, , 方程 ，
表示中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆；
当 时, , 方程 ，
表示焦点在 轴上的双曲线；
当 时, , 方程 ，
表示焦点在 轴上的等轴双曲线.
故选：C
5. 设，，是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，且，不平行，则，，相交于同一点
【答案】D
【解析】
【分析】本题可根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的相关定理，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】对于A选项,在空间中，若，，则与可能平行、相交或异面.
例如墙角处的三条交线，两两垂直，故A选项错误.
对于B选项,若，，则与可能平行、相交或.
比如当，时，可以在与平行的平面内，所以不能得出，故B选项错误.
对于C选项,若，，则与可能平行也可能相交.
例如墙角处的三个平面，两两垂直，故C选项错误.
对于D选项,因为，，，且，不平行，，，与相交于直线.
由于，不平行且都在平面内，所以，必相交，设交点为.
因为，，所以；又因为，，所以.
而，根据两个平面相交，其公共点必在交线上，所以.
这就说明，，相交于同一点，故D选项正确.
故选：D.
6. 如图，矩形中，，，、、、分别是矩形四条边的中点，且都在坐标轴上，、、是线段的四等分点，、、是线段的四等分点，直线与、与、与的交点、、都在以下哪条曲线上（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出点、、的坐标，设曲线的方程为，将这三点的坐标代入曲线方程，求出、的值，即可得出曲线的方程.
【详解】由已知得、、、，
因为、、是线段的四等分点，则、、，
因为、、是线段的四等分点，则、、，
，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立这两直线方程，解得，，即点，
同理可得点、，
设、、在曲线上，
则，解得，
因此，点、、都在曲线.
故选：D.
7. 一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求.
【详解】
如图，在平面内过点作，分别交于点，则，.
在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，，
∴，故截面为平行四边形，
∴在木块表面画线的总长度为.
故选：B.
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题可得，点，，，
∴，∵，则点为的三等分点，
故，，，
由得：，化简得．
故选：B．
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设直线，则（ ）
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线与直线：一定垂直
C. 直线过定点
D. 当点在直线的右下方时，
【答案】CD
【解析】
【分析】令计算直线在轴上的截距可得选项A错误；利用两直线垂直公式可得选项B错误；直线方程变形可得选项C正确；数形结合可得选项D正确.
【详解】A.令得，，
当时，直线在轴上无截距，当时，，直线在轴上的截距为，A错误.
B.，当时，直线与直线不垂直，B错误.
C.直线可化为，
由得，，故直线过定点，C正确.
D.由点在直线的右下方得，.
由得，
∴，解得，D正确.
故选：CD.
10. 如图，圆柱的底面直径为2，高为为下底面的一条直径，为圆柱的一条母线，点沿着由向运动（与端点不重合），则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积逐渐变大
B. 为平面的一个法向量
C. 的值先变小后变大
D. 若为的中点，则直线与所成角的余弦值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三棱锥的体积判断A，应用线面垂直判定定理判断B，应用向量数量积公式计算判断C，建系应用空间向量法得出线线角的余弦值判断D.
【详解】对于A，当点沿着由向运动时，三棱锥的体积，即三棱锥的体积先变大后变小，故A错误；
对于B，因为平面平面，所以，又，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，故B正确；
对于C，因为平面平面，所以，所以，故C错误；
对于D，如图，以为坐标原点，向量的方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
11. 材料1：在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：
①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；
②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上.则称曲面的方程为，方程的曲面为.
材料2：称之为“小蛮腰”的广州塔和双曲线型冷却塔的外形，都可近似看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，这种曲面称为单叶双曲面.

已知单叶双曲面的方程为，可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，直线过上一点，且以为方向向量，则（ ）
A. 坐标平面，，截曲面所得曲线均为双曲线
B. 点在曲面上
C. 坐标平面截曲面所得曲线的一条渐近线与平行
D. 直线曲面内
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：通过令可判断，对于B，代入曲面方程可判断，对于C，直线上任意一点坐标为，通过向量共线求出，，即可判断，对于D，由C求得的任意一点坐标代入曲面方程即可判断；
【详解】对于A，坐标平面截曲面所得曲线，即令，得到，是圆，故A错误；
对于B，代入点坐标可得：成立，故B正确；
对于C，坐标平面截曲面所得曲线，即令，得到，
其渐进性方程为：，，
由直线过上一点，且以，设直线上任意一点坐标为，
由向量共线可得：，由此可得：，
所以坐标平面截曲面所得曲线的一条渐近线与平行，故C正确；
对于D：由得：，代入
可得：，恒成立，
即直线在曲面内上，故D正确，
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 直线：与：之间的距离为_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据两平行直线的距离公式计算直接得出结果.
【详解】由可得，
又，所以，
所以两直线的距离为.
故答案为：2
13. 已知圆台的上下底面直径分别为，，且其轴截面的两腰所在直线互相垂直，则该圆台的体积为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据轴截面两腰垂直求出高，再代入体积公式计算.
【详解】圆台的上下底面直径分别为，，则上下底面半径分别为，.
圆台的轴截面是等腰梯形，设圆台的高为，因为轴截面的两腰所在直线互相垂直，根据等腰梯形的性质，从圆台轴截面等腰梯形上底的两个端点向下底作垂线，得到两个直角三角形和一个矩形.
则由等腰直角三角形的性质可知，圆台的高等于上下底面半径之差，即.
根据圆台体积公式，将，，代入可得：
.
故答案为：.
14. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为上的一动点（含端点），当直线与平面所成角取得最大值时，的长度为_________.
【答案】1
【解析】
【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量坐标；然后设出平面的法向量，根据法向量与平面内向量的关系求出法向量；再利用向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，最后通过分析正弦值取最大值时的情况，求出的长度.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
已知正方体棱长为，则，，.因为为线段的中点，可得.设，.
可得：；；
.
设平面的法向量,
因为法向量与平面内的向量垂直，则且.
由，即；由，令，则，，所以.
设直线与平面所成角为，根据直线与平面所成角的向量公式.
；
；.
则，因为，所以.
令（），则.
.
两边平方得，
令（），则.
对于二次函数，其对称轴为，开口向上，
在时取得最小值.此时，. 则，，
可得.
故答案为：1.
四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，点坐标满足（为参数），
（1）求点的轨迹的方程；
（2）求曲线：与曲线公共弦的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对曲线的参数方程平方消参，转化为直角坐标方程即可；
（2）在直角坐标系下，用曲线和曲线的方程作差可得它们公共弦所在的直线方程，然后联立公共弦所在的直线方程和曲线的方程可求得交点，用两点间的距离公式即可得到两曲线的公共弦长.
【小问1详解】
由，得，
两式平方再相加得.
【小问2详解】
曲线：和曲线：
的方程作差得：，将代入曲线：中得，
所以两个交点分别：，所以公共弦长为
16. 已知抛物线：（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，，
（1）求抛物线的方程及的坐标；
（2）设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入可得，进而求出，即可求解；
（2）由（1）知，确定当时点到直线的距离最大，根据两直线的位置关系和直线的点斜式方程求出的方程，联立抛物线方程。利用韦达定理和抛物线的定义求出，结合三角形的面积公式计算即可求解.
【小问1详解】
当轴时，的横坐标均为，代入方程，
得，所以，又，则，解得，
所以抛物线的方程为，；
【小问2详解】
由（1）知，抛物线的准线为，所以，即.
当时，点到直线的距离最大，
又，所以，所以直线的斜率为1，
得直线方程为，即，
由，得，设，
则.
由抛物线的定义知，又，
所以.
17. 在三棱锥中，
（1）若是的中点，是的中点，，求证：平面；
（2）若，，，
①当时，求到平面的距离；
②若，，，的面积分别为，，，，类比勾股定理，写出一个关于，，，的正确等式（无需证明）.
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）通过构造辅助线，结合中位线性质，证明面面平行，从而证明平面.
（2）①运用等体积法计算即可；②类比平面勾股定理，得出结论即可.
【小问1详解】
取的中点，连接.
在中，因为是的中点，是的中点，
根据三角形中位线定理，可得.
又因为平面ABC，平面，
根据直线与平面平行的判定定理，所以平面.
因为，即，且是中点（是中点），
所以在中，可得，
根据平行线分线段成比例定理的逆定理（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边），可知.
又因为平面ABC，平面，
根据直线与平面平行的判定定理，所以平面.
因为平面，平面，，
且平面，平面，根据平面与平面平行的判定定理，
可得平面平面.
又因为平面，根据两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面，
所以平面.
【小问2详解】
①已知， 在中，，将
其代入面积公式可得：.
在三棱锥中，高，
将其代入体积公式可得：.
，，，且，
则根据勾股定理可求得.
则为等边三角形.
面积.
根据等体积法知道：，设到平面的距离，
代入求知，得到，即，
解得.
②类比平面勾股定理，得出结论.下面计算证明：
设，则，
而，，，
故
，
故.
18. 如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，求得，结合勾股定理，可证，又根据面面垂直性质定理得出线面垂直，可证平面，根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）如图建系，求得各点坐标，进而可得，，坐标，即可求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得线面角的正弦值；
（3）先设，再计算二面角计算余弦值为，计算求参.
【小问1详解】
由等腰梯形中，，
过C做，交于，连接AC，如图所示
根据对称性可得，，
所以，可得，
又由，
所以，即，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又由平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
取的中点，的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴正方向建立空间坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，则，令，得一个法向量，
设直线与平面所成角为
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
点在棱（不包含端点）上，设，
因为平面的法向量为，
因为，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得一个法向量，
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，所以，计算得；
所以，即得.
19. 定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为．
（1）求证：椭圆与椭圆的离心率相等；
（2）直线与椭圆均有且只有一个公共点，且的斜率之积为，求证：的交点在椭圆的相似椭圆上；
（3）若为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）5
【解析】
【分析】（1）分别求出椭圆的离心率可得结论；
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立方程组，利用，化简可得结论；
（3）由已知，设为，联立方程组求得，同理求得，进而可得结论．
【小问1详解】
椭圆的离心率为
可化为
其离心率为
所以，即：椭圆与椭圆的离心率相等．
【小问2详解】
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为：与椭圆联立得：
，
，
即：亦即：①，
用代换①的得：②，
①式乘4+②式得：，
两边同除得：，
即点在椭圆上，
亦即：在椭圆的相似椭圆上，
【小问3详解】
椭圆的标准方程为：，
所以，，
设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线PN的斜率为，
所以直线的方程为．
由，得，
设，则，
所以
，
由替换可得，
所以
【点睛】方法点睛：高考中解析几何解答题一般围绕直线和圆锥曲线的位置关系进行设题，对考生的代数运算能力、逻辑思维能力要求较高，挖掘几何图形的性质是求解有几何背景的圆锥曲线问题的主要思路，在解决与椭圆有关的问题时要重视圆的几何性质的运用．