四川省内江市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．关于非零向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．复数的实部为（ ）
A．B．C．D．
3．下面的折线统计图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．4:00气温最低B．6:00气温为24℃
C．14:00气温最高D．气温是30℃的时刻为16:00
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，点在线段上，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．范长江纪念馆坐落于范长江文化旅游园区，是收集保管、陈列展览、宣传范长江同志生平和思想的综合性名人纪念馆，于2009年在范长江诞辰100周年之际建成开馆.某同学为测量纪念馆的高度，在纪念馆的右侧有一旗杆，已知旗杆高约为，在地面上点处（三点共线）用仪器测得，在处测得，则纪念馆的高度约为（ ）
A．B．C．D．
7．某学校举办了一次数学竞赛（满分：100分），参加竞赛的学生共有30人，竞赛得分的总平均值和方差分别是90和5.7，其中男生得分的平均值和方差分别是88和2，女生得分的平均值为92，则女生得分的方差为（ ）
（参考公式：若总体划分为2层，各层样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为，则）
A．1.2B．1.4C．1.6D．2
8．在梯形中，，若点在线段上，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多选题
9．已知向量满足，则（ ）
A．向量为单位向量
B．
C．向量与向量的夹角的余弦值为
D．向量与向量上的投影向量坐标为
10．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件与事件不互斥B．事件与事件相互独立
C．D．
11．当内一点满足条件时，称点为的勃罗卡点，角为勃罗卡角.三角形的勃罗卡点于1816年首次被法国某数学家发现，而后于1875年被法国军官勃罗卡重新发现且展开研究，最终用他的名字命名.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的勃罗卡点，勃罗卡角为，则（ ）
A．若时，
B．若且时，
C．若为锐角三角形，则
D．
三、填空题
12．某市高一学生共人，分为物理类和历史类，其中物理类学生共有人.为了解学生的某项数据，现按物理类和历史类进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取人进行调查研究，则历史类学生抽取 人.
13．已知函数（其中）的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数是偶函数，则的最小值为 ．
14．如图所示，在边长为1的正方形中，点、分别在线段、上运动．若的周长为定值2，的面积为，则的大小为 ，面积的最小值为 .
四、解答题
15．已知向量．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
16．在中，角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长．
17．某校组织高一年级学生进行了禁毒知识测试.根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求的值，并求该样本的第80百分位数；
(2)该校准备对本次禁毒知识测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率．
18．如图，在中，已知，点为边的中点，、相交于点．
(1)求；
(2)若，求的余弦值；
(3)求取得最小值时实数的值．
19．在中，角、、的对边分别为、、，面积为S．请阅读下列材料回答相关问题：
材料一：若，则，因为这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称之为海伦公式；
材料二：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了用于计算三角形面积的公式，这个公式称之为秦九韶公式；
(1)若三条边长分别为7、8、9，求这个三角形的面积S；
(2)若且，求S的最大值；
(3)若满足，求的最大值．
1．C
由向量的模、平行向量以及相等向量的定义逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错误；
对于B，当非零向量的模相等，但方向不同的时候，满足，但不满足，故B错误；
对于C、D，向量相等那么必然方向相同，自然两个向量互相平行，
反过来，当两个非零向量方向相反时，满足，但不满足，故C正确，D错误.
故选：C.
2．A
化简复数，根据复数概念可得复数实部.
【详解】，其实部为.
故选：A
3．D
根据折线统计图对选项逐一进行判断即可得出结论.
【详解】由横坐标看出4:00气温最低，故A正确；
由纵坐标看出6:00气温为24℃，故B正确；
由横坐标看出14:00气温最高，故C正确；
由横坐标看出气温是30℃的时刻是12:00，16:00，故D错误．
故选：D
4．C
由两角和的余弦公式结合商数关系即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
5．C
由题意得，结合三点共线的推论即可求解.
【详解】由题意，因为点在线段上，
所以，解得.
故选：C.
6．B
先在中，根据已知条件求出的长度；过点作于，设，结合已知条件得出，利用差角公式求出，进而求解.
【详解】在中，已知，，
因为在直角三角形中，
所以，将，
代入可得：
设，因为，所以
则
过点作于
由，得：
在中，，
即
化简得：，解得：
故纪念馆为
故选：B.
7．B
首先得，然后代入分层抽样的方差公式即可求解.
【详解】设女生人数为，则男生人数为人，
由题意，解得，
由题意，
所以，
解得.
故选：B.
8．B
如图建立平面直角坐标系，用坐标表示向量的模，计算即可得解.
【详解】
如图，以点为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系，
设，则，设，其中，
所以，则，
所以当且仅当即时取等号，
所以的最小值是6.
故选：B.
9．BD
根据已知条件求得，根据向量模长及夹角的计算方法以及投影向量的定义对选项逐一判断即可.
【详解】由，解得，
AB选项，，，，故A选项错误，B选项正确；
C选项，，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C选项错误；
D选项，向量与向量上的投影向量为，故D选项正确.
故选：BD
10．ABC
利用互斥事件的定义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；由事件A，B的概率计算判断CD.
【详解】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，
即事件A与事件B不互斥，A正确；
显然有，
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：
，共36个，它们等可能，
事件AB所含的结果有：，共8个，
则有，即事件A与事件B相互独立，B正确；
显然，，C正确，D错误.
故选：ABC
11．ABC
结合三角形的性质、正弦定理、余弦定理以及相似三角形的判定与性质，逐一分析每个选项.
【详解】当时，由“等边对等角”得设，则：
在中，
在中，，故
根据相似判定可得，由相似三角形的性质“对应边成比例”，有：
，A正确；
当时，且由选项A的相似性，得：
设，则，结合，得此时中，由余弦定理得
在中，由正弦定理，且
得：
在中，
由三角函数定义
结合，得：
，B正确；
已知，所以
则
因为
在中，
经过通分和三角函数的恒等变换：
，故C正确；
在中，分别由余弦定理得：
三式相加整理得：①
由三角形面积公式
得：
三式相加整理得：②
结合①②式，可得：
整理可得：，D错误.
故选：ABC.
12．
根据分层随机抽样的概念和计算方法来求解历史类学生的抽取人数.
【详解】首先计算历史类学生人数：（人）
分层抽样中，历史类学生抽取人数的计算方法为：
因此，历史类学生抽取 人.
故答案为：
13．/
由函数图象得，由函数平移变换法则得是偶函数，从而可得，结合即可求解.
【详解】由题意，所以，解得，
而，所以，
解得，又，所以，
所以，
若将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数是偶函数，
则是偶函数，
所以，解得，
又因为，所以当时，有最小值.
故答案为：.
14． / /
由题意不妨设，，则，，，则，空：将绕点顺时针旋转得到，根据几何知识可得；空：令，，化简得，从而可得，要求的最小值等价于求的最小值，由由和是方程的实根，其判别式为非负从而可求解.
【详解】由题意不妨设，，则，，，
则，
空：将绕点顺时针旋转得到，如图，
则，，，，
所以与全等，则，
所以；
空：由题意的面积，
由，令，，
则，，
将代入得
所以，
因为，，，则；
因为，，
由根与系数关系可得：和是方程的实根，
其判别式为非负即，
解二次不等式可得：，因为且，所以，
所以的最小值在时取到，此时.
故答案为：；.
15．(1)
(2)
对于向量数量积，若，则；
若向量，则根据向量垂直性质得.
【详解】（1）已知，根据向量数量积公式可得：
（2）已知
则，
已知根据向量垂直性质可得：
则：
即解得：
16．(1)
(2)6
（1）由正弦定理、余弦定理边角转换即可求解；
（2）由面积为可得，再结合余弦定理求得的值即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又因为，所以；
（2）由题意，
由余弦定理有，解得，（舍去），
故所求为.
17．(1)，第80百分位数为分
(2)
（1）由各个矩形面积之和为1列式求解，再由百分位数的定义求第80百分位数；
（2）利用分层抽样和列举法来求概率即可.
【详解】（1）由题意可得：，
解得：，
由，，
所以样本的第80百分位数位于区间，设为，则，
所以分.
则其第80百分位数为分.
（2）由题设，的频率比为，
故抽取的5人中有2人为、有3人为，
任抽2人有，共10种情况，
其中分数在各一人有，共6种情况，
所以这2名同学分数在各一人的概率.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为点为边的中点，所以
则
已知代入上式可得：
所以
（2）因为且得：
则
（第一问已求）
设共线，存在实数使
设共线，存在实数使
联立两式，由向量相等得系数对应相等
解得
当时，，故
代入计算得
因此，
（3）
代入，化简得
二次函数，开口向上，最小值在对称轴处取得，
即
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，
由题意可得；
（2）若且，则，
所以，所以，
又因为，
所以
，等号成立当且仅当，
经检验能构成三角形，
所以S的最大值为；
（3）若满足，则，
即，即，
所以
，
等号成立当且仅当，
经检验能构成三角形，
故所求为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
C
B
B
B
BD
ABC
题号
11









答案
ABC