四川省内江市第一中学2023−2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市第一中学2023−2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，与的夹角是，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，已知，是关于的方程，则（ ）
A．B．C．D．
6．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，若是的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作于，作于，记，，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．是定值D．是定值
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列条件能使的是（ ）
A．B．
C．D．，
10．已知函数，下列四个结论中，正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称D．函数在上单调递增
11．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．
12．若平面向量，，满足，，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知梯形中，，，且三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为 .
14．若，，则 .
15．已知，，均为单位向量，且满足，则 .
16．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知，是两个不共线的向量.
(1)若，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若和共线，求实数的值．
18．已知csα＝55，sinα－β＝ 1010 ，且α，β∈0,π2 ．
求：(1)cs(2α－β)的值；
(2)β的值．
19．已知函数，
(1)求的单调递减区间；
(2)在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.
20．如图，在直角梯形中，，，，点为的中点，与相交于.

(1)当时，求；
(2)设，求的值.
21．已知函数（，）的一个最高点的坐标为，
(1)求的解析式；
(2)将的图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变，得到的图象，且在区间上至少有个零点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当取得最小值时，对，都有成立，求的取值范围.
22．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，．
(1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积；
(2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
参考答案
1．【答案】A
【分析】利用两角差的正弦公式即可.
【详解】.
故选A.
2．【答案】C
【分析】根据数量积定义即可计算.
【详解】由题意，.
故选C.
3．【答案】A
【分析】利用正弦定理求解.
【详解】因为在中，，，，
由正弦定理得，则，
因为，所以，则，
故选A.
4．【答案】C
【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解.
【详解】由题图可知，.
故选C.
5．【答案】A
【分析】应用韦达定理，然后由诱导公式、两角和的正切公式计算．
【详解】由已知，，
因为是三角形内角，
则.
故选A.
6．【答案】D
【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决.
【详解】运用函数图象平移规律“左加右减”, 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可.
故选D．
7．【答案】B
【分析】由正弦定理、商数关系得，分解向量得，结合数量积的运算律即可列方程求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
若是的中点，则，
两边平方可得，即，
若，则，解得或（舍去）.
故选B.
8．【答案】C
【分析】由题意，结合余弦定理，三角恒等变换即可化简求解.
【详解】由题意，
由余弦定理有
，
故ABD错误，C正确.
故选C.
【关键点拨】关键在于得到，，由此即可顺利得解.
9．【答案】BC
【分析】由向量的模相等、向量相等、向量的模为0以及向量共线定理即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误；
对于B，能保证向量共线，且它们的模也相等，故B正确；
对于C，等价于是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C正确；
对于D，不存在任何实数使得，即方程组不可能成立，这意味着不能共线，故D错误.
故选BC.
10．【答案】AD
【分析】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间.
【详解】函数，最小正周期，A选项正确；
由，解得函数的图象的对称轴方程为，
当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误；
时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确.
故选AD.
11．【答案】BD
【分析】A.利用平方关系和两角和的余弦公式求解判断；B.利用二倍角的余弦公式求解判断；C.利用平方关系和二倍角的正弦公式求解判断；D. 利用两角和与差的正弦公式求解判断.
【详解】由平方关系和两角和的余弦公式得： ，故A错误；
，故B正确；
若，则，故C错误；
，
，故D正确；
故选BD.
12．【答案】AC
【分析】由题意得，从而引入参数，使得满足题意，将向量的模用复合型三角函数表示即可求解.
【详解】若平面向量，，满足，，，且，
则，即，，
不妨设，，
所以，，
，，
因为，所以的取值范围分别为，
所以，的取值范围分别为，
故AC正确，BD错误.
故选AC.
【关键点拨】关键是设出，结合三角函数性质以及模的计算公式即可顺利得解.
13．【答案】
【分析】由题意，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意，设顶点的坐标为，则，
所以，解得，所以顶点的坐标为.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】变换得到，确定，计算得到答案.
【详解】，因为，则，
，则，故.
故答案为：.
15．【答案】/
【分析】由题意，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解.
【详解】由题意，所以，解得.
故答案为：/.
16．【答案】
【分析】在锐角中，利用余弦定理求解；先由余弦定理用a表示c，再根据是锐角三角形得到a的范围，然后利用三角形的面积公式求解.
【详解】在锐角中， ，且，
由余弦定理得：，解得；
由余弦定理得，
因为是锐角三角形，所以 ，
即 ，解得 ，
所以，
故答案为：，.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明；
（2）通过平行，必存在实数使，列方程组求出实数的值.
【详解】（1），
又，
，，又，
A，B，D三点共线；
（2）向量和共线，
存在实数使，
又，是不共线，，
解得.
18．【答案】(1)210
(2)π4
【详解】(1)因为α，β∈0,π2 ，
所以α－β∈-π2,π2 ．
又因为sinα－β＝1010 ＞0，所以0＜α－β ＜π2 ．
所以csα－β＝1-sin2α-β＝ 31010 ．
sinα＝1-cs2α＝ 255 ，
所以cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]
＝cs αcsα－β－sin αsinα－β
＝55× 31010－ 255× 1010＝ 210 ．
(2)csβ＝csα－α－β＝cs αcsα－β+sin α·sinα－β＝55× 31010+ 255× 1010＝ 22 ，
因为β∈0,π2 ，所以β＝π4 ．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用两角和差的正弦公式，辅助角公式化简，整体代入求出单调减区间；
（2）求出角度，后运用余弦定理，借助已知的方程，联立求出，最后用面积公式求解即可
【详解】（1），运用两角和差正弦得到，
,
运用辅助角公式得到，.
令，解得.
故的单调递减区间为
（2），则，即，，则.
由余弦定理知道，即.（∗）
而，两边平方得到与（∗）联立得到.
故的面积.
20．【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，得到，结合数量积的坐标表示即可得解；
（2）分解向量得，结合三点共线的推论即可列方程求解.
【详解】（1）因为，
所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

若，，则，
所以，
所以；
（2）设，，则，，，
则，，，
由题意，
因为三点共线，所以，解得.
21．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得关于的方程组即可求解；
（2）首先得表达式，进一步根据已知条件列出关于的不等式组即可求解；
（3）首先求得的最值，进而得关于的不等式即可求解.
【详解】（1）由题意，又，
所以，所以；
（2）由题意，当时，，
在区间上至少有个零点，
则，解得，所以的取值范围为；
（3）的最小值为，即，
因为当时，，，
所以的最大值为3，故，，
解得：或.
22．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得；
（2）借助表示出及后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得.
【详解】（1）由，，故，
由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
即，
则，
故有，
故，
；
（2），
，
故，
则，
其中，，则当，
即时，草坪ABCD的面积最大，
此时，
即此时小路BD的长度为.