四川省内江市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）含答案

这是一份四川省内江市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）含答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前项，则这个数列的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数在处的导数为，则等于（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
3．已知数列中，，()，则等于（ ）
A．B．C．D．2
4．如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数 B．在内是减函数
C．在时取得极小值 D．当时取得极大值
5．若在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数表示不超过的最大整数，，，数列的前项和为，则（ ）
A．673B．747C．769D．821
7．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，若，则a的最小值为（ ）．
A．eB．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列
B．已知等差数列的前项和为，若，则
C．已知等差数列与的前项和分别为与，若，则
D．设为等差数列的前项和，，若，则的最小值是
11．若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．最小值为e D．最大值为e
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．如果某物体做运动方程为的直线运动（s的单位为m，t的单位为s），那么其在1.2s末的瞬时速度为______m/s．
13．设数列{}的通项公式是其前项和为，则=______
14．已知函数与的图像如下图所示，设函数.
给出下列四个结论
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数；
③函数有三个极值点；④函数有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是_____________ .
四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15（本小题13分）已知函数
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点的坐标.
16.（本小题15分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
17．（本小题15分）已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
18．（本小题17分）已知函数
(1)求函数的极值；
(2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；
(3)讨论关于x的方程的实根个数．
.
19.（本小题17分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）证明：
参考答案
1．A
【详解】设第幅图中着色的三角形个数为，
由图形可得，，，，
据此可归纳得出该数列的一个通项公式为.
故选：A.
2．B
【详解】根据导数的定义可知.
故选：B
3．D
【详解】由题设，知：，，，…，
∴是周期为3的数列，而的余数为1，
∴.
故选：D.
4．B
【详解】时， ，此时在单调递减
时， ，此时在 单调递增
时，，此时在 单调递减
时，，此时在 单调递增
在处左增右减，故在时取得极大值
在处左减右增，故在时取得极小值
综上可知：B正确
故选：B
5．C
【详解】，由在单调递减，
∴，∴，∴.
故选：C
6．A
【详解】根据题意分析可得：，，
，，
，，，，，
所以．
故选：A
7．A
【详解】∵
∴
令
则，易知在区间单调递增，，
∴在区间单调递增，
又∵
∴，即，
∴
令
则，当时，，
∴在区间单调递增，
又∵
∴，即，
∴，
综上所述，，，之间的大小关系为.
故选：A.
8．D
【详解】由函数，
因为，即，即在恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，即为最大值，
所以，即，所以实数的最小值为.
故选：D.
9．BC
【详解】对于A，常数的导数为0，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【详解】若数列是等差数列，则根据等差数列的性质，可知数列一定是等差数列，A正确.
在等差数列中，设公差为d，则，
解得B正确.
在等差数列与中，若，则，C错误.
由，得，整理得，
所以等差数列是递增数列.又，所以，所以数列的前7项为负值，即的最小值是，D正确.
故选ABD.
11．CD
【详解】因为,点
所以
因为在点A和点B处的切线互相垂直
由导数几何意义可知, 在点A和点B处的切线的斜率之积为
所以时,满足,即.因为,所以
所以,所以A、B错误;
对于C,可知,令,
所以
令,得
所以当时, ,则在时单调递减
所以在时取得极小值,即最小值为,所以C正确;
对于D,可知
令,
则
令,解得
所以当时, ,则在时单调递减
当时, ,则在时单调递增
所以在时取得极小值,即最小值为.
当时取得最大值, ,所以D正确.
当时,满足,即
此方程无解,所以不成立.
综上可知,D为正确选项.
故选:CD
12．
【详解】由可得，
所以在1.2s末的瞬时速度为 m/s，
故答案为：．
240
【详解】由题意得
=
14．②③④
【详解】由图像可知实的图像在区间、、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像.
所以①错误，②正确；
因为，即，由图可知恰有三个零点，故④正确；
又因为，
由图像可知、、时，，即，
又在区间上，的图像在的图像的上方，即
在区间上，的图像在的图像的下方，即
在区间上，的图像在的图像的上方，即
在区间上，的图像在的图像的下方，即
所以、、分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点
所以③正确
故答案为②③④
15.（1）；（2），切点
【详解】（1）
在点处的切线的斜率为，
故切线方程为
（方法一）设切点为则直线的斜率为
直线的方程为
又直线过点
解得
因此
故直线的方程为，切点坐标为
（方法二）设直线的方程为，切点为
则
解得
故直线的方程为，切点坐标为
16.（1），（2）
解析：（1）解：设等差数列的公差为d,等比数列的公比为.
由
已知，化简得
由①得代入②：即，解得（舍），或
则所以
等比数列的前3项和即
解得
当时，由，得，解得
当时，由，得，解得
综上，
17．(1)答案见解析；(2) .
【详解】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；
解析：（1）∵
∴
∴，
∵，，
∴是以为首项，以4为公比的等比数列
∴，
∴，
∴，
（2），
∴①
②
①-②得
∴.
18．(1)极小值为，无极大值
(2)作图见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）因为函数定义域为，，又恒成立，
当时，；当时，；
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
（2）当时，，，则恒成立，
图象如下：
（3）方程的根的个数等价于函数与的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与有两个不同交点；
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与无交点；
综上所述：当时，方程有唯一的实数根；
当时，方程有两个不同的实数根；
当时，方程无实数根.
19.解：（1）
当时，
当
即
当
解得：
由
在上单调递减.
（2）由（1）当
当