新高考数学一轮复习考点分类讲与练第65讲 双曲线的标准方程与性质（2份，原卷版+解析版）

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一、 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{Meq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))))＝2a}，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
二 、双曲线的标准方程和几何性质
常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a)，也叫通径．
2、与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
1、（2023•乙卷（文））设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，，，，中点为，，
，
①②得，
即，
即或，
故、、错误，正确．
故选：．
2、（2021•甲卷（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线 的距离，
则点到双曲线的一条渐近线的距离．
故选：．
3、（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，
所以①，
联立，可得，，即，，
因为直线的斜率，
整理得②，
①②联立得，，，
故双曲线方程为．
故选：．
4、（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 ．
【答案】．
【解析】根据题意可设所求方程为，，
又，解得，，，
所求方程为．
故答案为：．
5、（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】．
【解析】双曲线的方程是，
双曲线渐近线为
又离心率为，可得
，即，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
6、（2021•乙卷（理））已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 ．
【答案】4．
【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线为，
则有，解可得，
则双曲线的方程为，则，
其焦距；
故答案为：4．
7、（2021•乙卷（文））双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】．
【解析】双曲线的右焦点，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：．
8、【2020年新课标1卷文科】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
9、【2020年新课标3卷理科】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
1、双曲线 eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,2)＝1的焦距为( )
A. 5 B. eq \r(5)
C. 2 eq \r(5) D. 1
【答案】 C
【解析】 由题意，得c2＝3＋2＝5，所以c＝ eq \r(5)，所以双曲线的焦距为2 eq \r(5).
2、已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为 2 eq \r(5)，点P(2，1)在双曲线C的一条渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A. x2－ eq \f(y2,4)＝1 B. eq \f(x2,4)－y2＝1
C. eq \f(3x2,20)－ eq \f(3y2,5)＝1 D. eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,4)＝1
【答案】 B
【解析】 由于焦距为2 eq \r(5)，故半焦距为 eq \r(5)，故a2＋b2＝5.由于点P(2，1)在一条渐近线上，故 eq \f(b,a)＝ eq \f(1,2)，解得a＝2，b＝1，故所求双曲线方程为 eq \f(x2,4)－y2＝1.
3、设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
【答案】 B
【解析】 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，
故|PF2|＝17.
4、已知方程eq \f(x2,1＋k)－eq \f(y2,1－k)＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C
【解析】：由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)0).
由题意，得2b＝12，e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(5,4)，
所以b＝6，c＝10，a＝8，
所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,64)－ eq \f(y2,36)＝1或 eq \f(y2,64)－ eq \f(x2,36)＝1.
(2) 因为双曲线经过点M(0，12)，
所以双曲线的焦点在y轴上．
设双曲线的方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25，
所以双曲线的标准方程为 eq \f(y2,144)－ eq \f(x2,25)＝1.
(3) 设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25)，))
所以双曲线的标准方程为 eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,75)＝1.
(4) 由题意，得2c＝10，则c＝5.
设双曲线的标准方程为 eq \f(y2,4)－x2＝－λ(λ>0)，
即 eq \f(x2,λ)－ eq \f(y2,4λ)＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,20)＝1.
变式、(1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为eq \r(2).若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．
(2)与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2eq \r(3))的双曲线的标准方程为___．
【答案】（1） eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 （2）eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,4)＝1
【解析】 (1)由题意得a＝b，eq \f(4－0,0－（－c）)＝1，∴c＝4，∴a＝b＝2eq \r(2)，∴所求双曲线的方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
(2)(方法1)由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(（－3）2,a2)－\f(（2\r(3)）2,b2)＝1，))解得a2＝eq \f(9,4)，b2＝4.
∴双曲线的方程为eq \f(4x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
(方法2)设所求双曲线方程eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ(λ≠0)，将点(－3，2eq \r(3))代入得λ＝eq \f(1,4)，∴双曲线方程为eq \f(4x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
方法总结:求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
考向三 双曲线的性质
例3、已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程是y＝ eq \f(2,3)x，两准线间的距离为18，求双曲线的方程．
【解析】 设双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(2,3)，,\f(2a2,c)＝18，,a2＋b2＝c2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3\r(13)，,b＝2\r(13)，,c＝13，))
所以双曲线的方程为 eq \f(x2,117)－ eq \f(y2,52)＝1.
变式1、（1）(2022·江苏第一次百校联考)双曲线(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|，则双曲线C的渐近线方程为 ▲ ．
【答案】y＝±EQ \R(,3)x
【解析】设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，B(c，±EQ \F(b\S(2),a))，因为|AF|＝|BF|，所以EQ \F(b\S(2),a)＝a＋c，所以c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，故e＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±EQ \R(,3)x．
（2）(2022·江苏海安中学期初)从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为
A．eq \r(,2) B．eq \f(\r(,6),2) C．eq \f(3\r(,5),5) D．eq \f(4\r(,7),7)
A
D
C
O
B
图1 图2
【答案】D
【解析】由题意可设双曲线的标准方程为EQ \F(y\S(2),a\S(2))－EQ \F(x\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)，因为AB＝BC＝CD，所以CD ＝2OC，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点(EQ \F(3\R(,2),2)a，EQ \F(3\R(,2),2)a)在双曲线上，则代入方程可得，EQ \F(\F(9,2)a\S(2),a\S(2))－EQ \F(\F(9,2)a\S(2),b\S(2))＝1，则化简得EQ \F(b\S(2),a\S(2))＝EQ \F(9,7)，所以离心率e＝EQ \F(c,a)＝EQ \R(,1＋\F(b\S(2),a\S(2)))＝EQ \R(,1＋\F(9,7))＝eq \f(4\r(,7),7)，故答案选D．
变式2、（1）已知F1，F2是双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
【答案】 eq \r(3)＋1
【解析】 因为MF1的中点P在双曲线上，所以PF2－PF1＝2a.因为△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以 eq \r(3)c－c＝2a，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,\r(3)－1)＝ eq \r(3)＋1.
（2）(2022·苏州期初考试)已知点P为双曲线C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，F1，F2分别为C的左，右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若PF1＝4HF1，则该双曲线的离心率为
A．EQ \F(\R(,15),3) B．EQ \F(\R(,21),3) C．eq \f(5,3) D．eq \f(7,3)
【答案】C
【解析】法一：由题意可连结PF2，得到HF1＝b，PF1＝4b，所以PF2＝4b－2a，则在△PF1F2中，由余弦定理可得，PF22＝PF12＋F1F22－2 PF1F1F2EQ \F(b,c)，化简得3b＝4a，所以离心率e＝EQ \F(c,a)＝EQ \R(,1＋\b\bc\((\l(\F(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(5,3)，故答案选C．
法二：由题意过点F2可作F2M⊥PF1，垂足为M，则HF1＝b，PH＝3b，OF1＝OF2＝c，OH＝a，则F2M＝2a，且点M为PH的中点，所以PM＝2b，PF2＝PF1－2a＝4b－2a，则在Rt△PF2M中，由勾股定理可得，(2a)2＋(2b)2＝(4b－2a)2，化简可得3b＝4a，所以离心率e＝EQ \F(c,a)＝EQ \R(,1＋\b\bc\((\l(\F(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(5,3)，故答案选C．
（3）若双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于eq \f(2\r(3),3)，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(21),3)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(21),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(7),2)))
【答案】 D
【解析】因为双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于eq \f(2\r(3),3)，
所以eq \f(a,b)>eq \f(2\r(3),3)，
即3a>2eq \r(3)b，也即3a2>4b2，
所以3a2>4(c2－a2)，
所以7a2>4c2，
所以e1，
所以10)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．
【答案】 eq \f(5,3)
【解析】 设∠F1PF2＝θ，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(PF1－PF2＝2a，,PF1＝4PF2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(PF1＝\f(8,3)a，,PF2＝\f(2,3)a.))由余弦定理得cs θ＝eq \f(17a2－9c2,8a2)＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2.因为θ∈(0，π]，所以cs θ∈[－1，1)，即－1≤eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e21，所以1