2025届高考数学一轮复习专练57 双曲线的定义、标准方程及其几何性质（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·青岛模拟)若点M在双曲线x216-y24=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于( )
A.2B.4C.8D.12
【解析】选B.双曲线中a2=16,得a=4,则2a=8,由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a=8,因为|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.
2.(5分)已知双曲线C: x2a2-y2b2=1的渐近线经过点(1,2),则双曲线的离心率为( )
A.2B.3C.2D.5
【解析】选D.易知双曲线的渐近线方程为y=±bax ,由渐近线经过点(1,2),可得ba=2,
故离心率为e=ca=c2a2=1+b2a2=5.
【加练备选】
(2024·宁波模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2分别为左、右焦点,点P在双曲线上,PF1⊥PF2,P到左焦点F1的距离是P到右焦点F2的距离的3倍,则双曲线的离心率是( )
A.2B.102C.2D.10
【解析】选B.设双曲线C的半焦距为c>0,
由题意可知:|PF1|=3|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,
可得|PF1|=3|PF2|=3a,
因为PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即9a2+a2=4c2,整理得c2a2=52,
所以双曲线的离心率是e=ca=c2a2=102.
3.(5分)(2024·绍兴模拟)下列选项中的曲线与x212-y224=1共焦点的双曲线是( )
A.x224-y212=2B.y224-x212=1
C.y226-x210=1D.x210-y226=1
【解析】选D.双曲线x212-y224=1的焦点在x轴上,半焦距c=12+24=6,
对于A,方程x224-y212=2,即x248-y224=1,是焦点在x轴上的双曲线,而半焦距为48+24=62,A不是;
对于B,C,方程y224-x212=1,y226-x210=1都是焦点在y轴上的双曲线,B,C不是;
对于D,方程x210-y226=1是焦点在x轴上的双曲线,半焦距为10+26=6,D是.
4.(5分)“m>1”是“方程x2m-y2m-1=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为方程x2m-y2m-1=1表示双曲线,
所以m(m-1)>0,解得m1,
因为由m>1可推出m1,但是由m1,不能推出m>1,
所以“m>1”是“方程x2m-y2m-1=1表示双曲线”的充分不必要条件.
5.(5分)(多选题)(2024·深圳模拟)若方程x23-t+y2t-1=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中正确的是( )
A.若10).
11.(5分)(2024·广州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),斜率为-3的直线l过原点O且与双曲线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,则双曲线C的离心率为( )
A.3+12B.3+1
C.23-1D.23-2
【解析】选B.设双曲线C的左焦点为F,右焦点为F',P为第二象限上的点,连接PF,PF',QF,QF',
根据双曲线的性质和直线l的对称性知,四边形PFQF'为平行四边形.
因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,
所以PF⊥QF,即四边形PFQF'为矩形,
由直线l的斜率为-3,得∠POF=60°,
又|PO|=|FO|=c,则△POF是等边三角形,所以|PF|=c.
在Rt△PFQ中,PQ=2c,则FQ=3c,
故|PF'|=3c,
又由双曲线定义知|PF'|-|PF|=2a,所以3c-c=2a,则e=ca=23-1=3+1.
12.(5分)(多选题)(2024·阜阳模拟)已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P为双曲线C右支上的动点,|F1F2|=4,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率e=233
B.双曲线C与双曲线y23-x2=1共渐近线
C.若点P的横坐标为3,则直线PF1的斜率与直线PF2的斜率之积为25
D.若∠F1PF2=π3,则△PF1F2的内切圆半径为433
【解析】选AC.由题意,可得2c=|F1F2|=4,所以c=2,则a2=c2-1=3,
所以双曲线C:x23-y2=1,其中a=3,b=1,c=2,
对于A中,双曲线C的离心率e=ca=23=233,故A正确;
对于B中,双曲线C:x23-y2=1的渐近线方程为y=±33x,双曲线y23-x2=1的渐近线方程为y=±3x,故B错误;
对于C中,点P的横坐标为3,不妨记P在第一象限,则P(3,2),因为F1(-2,0),F2(2,0),可得kPF1·kPF2=25,所以C正确;
对于D中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a+|PF2|=23+x,在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·csπ3,即x2+23x-4=0,解得x=7-3或x=-7-3(舍去),所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=27+4,又由△PF1F2的面积为12|PF1|·|PF2|·sin60°=3,所以△PF1F2的内切圆半径为2S△PF1F2|F1F2|+|PF1|+|PF2|=21-233,所以D错误.
13.(5分)(2024·无锡模拟)已知双曲线C:x2-y23=1.则其渐近线方程为y=±3x;设A,B分别为双曲线C的左、右顶点,P为双曲线C上一点.若PA的斜率为1,则
tan∠APB=12.
【解析】双曲线C:x2-y23=1中a=1,b=3,
所以双曲线的渐近线方程为y=±3x,
设P(x,y),由题意kAP=yx+1,kBP=yx-1,
又因为x2-y23=1,所以y2x2-1=3,
即kAP·kBP=3,
又kAP=tan∠PAB=1,
所以kBP=tan(π-∠PBA)=3,
所以tan∠APB=3-11+1×3=12.
14.(10分)(2024·合肥模拟)已知双曲线C:x24-y23=1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程;
(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求|PA|的最小值.
【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为x24-y23=λ(λ≠0),①当λ>0时,方程为x24λ-y23λ=1,
令4λ=622得λ=94,
即双曲线方程为x29-y2274=1;
②当λ0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cs∠BAC=-513,AB·BD=0,则E的离心率为( )
A.173B.375C.102D.5
【解析】选B.由题意知延长CA,DB,则必过点F1,如图:
由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=2a|BF1|-|BF2|=2a,
又因为cs∠BAC=-513,所以cs∠F1AB=513,
因为AB·BD=0,所以AB⊥BD,
设|AF1|=13m,m>0,则|AB|=5m,|BF1|=12m,因此|AF2|=13m-2a|BF2|=12m-2a,
从而由|AF2|+|BF2|=|AB|得13m-2a+12m-2a=5m,所以a=5m,
则|BF1|=125a,|BF2|=25a,|F1F2|=2c,
又因为|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2,所以(125a)2+(25a)2=(2c)2,
即37a2=25c2,即e=375.