高考数学一轮复习考点讲与练专题31 等比数列讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题31 等比数列讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了等比数列的有关概念，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。

1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab．
提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数．
(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同．
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
3．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝aman．
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn．
常用结论：
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{anbn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比数列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．三个数成等比数列，通常设为eq \f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(－a1,1－q)·qn＋eq \f(a1,1－q)＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数．
6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
7．若{an}为正项等比数列，则{lgcan}(c>0，c≠1)为等差数列．
8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列．
9．若{an}既是等差数列又是等比数列⇔{an}是非零常数列．
10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
11．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
►考点01 等比数列基本量的运算

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【例1】（2025春•武汉期末）若等比数列满足，，则
A．B．C．16D．32
【答案】
【分析】根据已知条件可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出即可．
【解答】解：设等比数列的公比为，
由题可得：，，
解得，，
则．
故选：．
【例2】（2025春•西城区期末）已知等差数列满足，且是和的等比中项，则
A．6B．8C．6或8D．10
【答案】
【分析】根据等差数列的定义与通项公式，求出公差，再根据等比中项列方程求出，即可求出．
【解答】解：等差数列中，，所以公差，
又因为是和的等比中项，所以，解得，
所以．
故选：．
【例3】（2025春•遂宁期末）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解．
【解答】解：等比数列中，，，成等差数列，所以，
又，所以，
所以，故．
故选：．
【例4】（2025•丰泽区模拟）在等比数列中，，，则
A．36B．C．D．6
【答案】
【分析】根据等比数列的性质即可求解．
【解答】解：等比数列中，由等比数列的性质可得，
，，，
则．
故选：．
【例5】（2025春•南宁期末）已知递增等比数列的前项和为，，，则
A．8B．6C．4D．2
【答案】
【分析】根据等比数列递增确定的定义，利用首项和公比表示和，求出首项公比，代入求出即可．
【解答】解：由递增等比数列的前项和为，，，可得，
解得，与数列为递增数列矛盾，舍去），故．
故选：．
►考点02 等比数列项的性质

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【例6】（2025春•东兴区月考）在等比数列中，，则
A．B．2C．D．1
【答案】
【分析】利用等比中项化简计算即得解．
【解答】解：等比数列中，，得，
．
故选：．
【例7】（2025•北京模拟）在等比数列中，，公比．若，则
A．9B．10C．11D．12
【答案】
【分析】根据等比数列的性质得，结合条件和等比数列的通项公式列出方程，求出的值．
【解答】解：根据等比数列的性质得，，
又，所以，
因为，，
所以，所以，即，
故选：．
【例8】（2025春•成都月考）若等比数列满足，，则等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据已知条件求得，进而求得．
【解答】解：等比数列满足，，
设等比数列的公比为，，
依题意，，
由于，所以，
所以，
所以．
符合条件的只有选项．
故选：．
【例9】（2024秋•厦门期末）正项等比数列中，，，则
A．4B．8C．32D．64
【答案】
【分析】利用等比数列的性质运算即可．
【解答】解：因为是等比数列，
所以．
故选：．
【例10】（2024秋•深圳期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的中项性质即可求解．
【解答】解：数列为等比数列，其中，为方程的两根，
由题得，根据韦达定理可得，，则，，
由等比数列的中项性质可得：，．
因为等比数列的偶数项符号相同，，都是负数，
所以．
故选：．
►考点03 等比数列前n项和的性质

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【例11】（2025•临翔区模拟）已知等比数列，为其前项和，若，，则
A．3B．C．2D．3或
【答案】
【分析】结合等比数列求和公式得，即可求出或2，同理由即可求值．
【解答】解：由得，，即，与题设矛盾，故；
，
即，
或2．
由得或3．
故选：．
【例12】（2024秋•山西期末）已知等比数列的前项和为，若，，则
A．9B．8C．7D．6
【答案】
【分析】由等比数列的前项和公式和因式分解化简可得，求出的值，同理化简并求出的值，从而得到．
【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，，显然，
所以，解得，
所以，
所以．
故选：．
【例13】（2024秋•青铜峡市期末）已知在递增的正项等比数列中，，，则
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【分析】根据题意求得，，再利用等比数列的通项公式求得，进而利用等比数列的片段和性质即可得解．
【解答】解：因为是递增的正项等比数列，所以，
又，，
解得，，
所以由，得，得，
所以．
故选：．
【例14】（2024秋•保定期末）已知等比数列的前项和满足，则常数 2 ．
【答案】2．
【分析】由分别求出，，，根据条件可得从而求出参数的值．
【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，
由数列为等比数列，则，
即，解得．
故答案为：2．
【例15】（2024•玉山县模拟）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120B．85C．D．
【答案】
【分析】根据等比数列的前项和的性质求解．
【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，，，，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，，，，即为，，，，
易知，，即；
当时，，与矛盾，舍去．
故选：．
►考点04 等比数列前n项和(积)的最值问题

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【例16】（2025春•罗湖区期末）记等比数列的前项和为，若，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据等比数列前项和的性质，结合题意，表示出，再构造函数，利用导数求函数的最小值即可．
【解答】解：等比数列中，，则后续每3项的和构成等比数列，设公比为，
则；
设，则，解得或，
当时，，当时，，
所以的最小值为，即的最小值为．
故选：．
【例17】（2025春•抚顺月考）设等比数列的前项和为，前项积为，且和的等差中项为5，则的最大值为
A．128B．64C．16D．8
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出和的值，可得出数列的通项公式，分析可知：当时，，当时，，当时，，即可得出的最大值．
【解答】解：等比数列的前项和为，
前项积为，且和的等差中项为5，
设等比数列的公比为，
若，则，不符合题意，
，解得．
和的等差中项为5，
，则，解得．
，
当时，，
当时，，当时，，
的最大值为．
故选：．
【例18】（2025•胶州市模拟）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，
A．4B．5C．6D．7
【答案】
【分析】求出等比数列的通项公式，再由数列的单调性即可求得．
【解答】解：因为数列为等比数列，，公比，
所以，
令，解得，
因为，，所以所有不小于1的项相乘最大，
所以数列的前项积取最大值时的值为5．
故选：．
【例19】（2024秋•天山区期末）已知为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取最大值时为
A．4B．5C．4或5D．5或6
【答案】
【分析】根据题意和等比数列的基本量运算求出，根据指数型复合函数的单调性即可求得的最大值和此时的值．
【解答】解：为等比数列，，公比，是数列的前项积，
则
，
函数的开口向下，对称轴为，
，当或时，取到最大值10，取得最大值．
故选：．
【例20】（2024秋•自贡期末）已知为各项均为正数的等比数列，为其前项积，，当取得最大值时，为
A．3B．4C．5D．6
【答案】
【分析】利用等比数列的性质求解．
【解答】解：为各项均为正数的等比数列，为其前项积，
设等比数列的公比为，则，
，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
当时，取得最大值．
故选：．
►考点05 等比数列的判定与证明

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【例21】（2024秋•新吴区期末）在数列中，，．
（1）求证是等比数列；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由构造法求得到是以首项为4，公比为2的等比数列，再由等比数列通项公式求法即可求得；
（2）利用裂项相消法计算即可．
【解答】解：（1）因为，所以，
因为，
所以数列是以首项为4，公比为2的等比数列，
所以，即；
（2）由（1）知，，
所以．
【例22】（2023秋•嘉定区期中）已知数列的前项和为，且，为正整数．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前项和．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【分析】（1）根据与的关系，可得递推关系，化简即可得证；
（2）根据等比数列的通项公式求解可得，代入递推关系得．
【解答】（1）证明：因为，
所以当时，，解得，则，
当时，，
两式相减可得：，
即可得，显然，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）得，知，
所以．
【例23】（2023秋•鼓楼区期末）已知数列满足，，且．
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）若数列满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解答；
（2），．
【分析】（1）将条件化为，即，从而证得数列是等比数列；
（2）求得数列的通项，由累加法求得数列的通项，并根据单调性求得参数取值范围．
【解答】（1）证明：由题知，，即，且，
则数列是以2为首项，为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，
则当时，其前项和，
则，，且也满足通项，
则由指数函数单调性知，，
若满足，则，
即实数的取值范围是，．
【例24】（2024秋•芦淞区月考）数列的前项和为，已知，，证明：
（1）数列是等比数列；
（2）求与．
【分析】（1）利用，化简即得结论；
（2）通过即得；利用变形即得，检验时是否成立即可．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，，
数列是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，，
；
，，
，
也符合上式，
．
【例25】（2024秋•邻水县期中）已知数列的前项和，．
（1）求，的值；
（2）求证数列是等比数列并求通项公式．
【分析】（1）由已条件，分别令，2，利用递推思想能求出，的值．
（2）由已知得，由此能证明数列是首项为，公比为的等比数列，从而能求出通项公式．
【解答】（1）解：数列的前项和，，
，
解得，
，
解得．
（2）证明：，，①
当时，，②
①②，得，
整理，得，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
等比数列基本量运算的解题策略
方程思想
等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”
整体思想
当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
分类讨论思想
若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论
利用项的性质的解题策略
策略一
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则aman＝apaq＝aeq \\al(2,k)”，可以减少运算量，提高解题速度
策略二
在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用
利用前n项和的性质的解题策略
策略一
利用等比数列连续n项的片段和性质解决与前n项和有关的问题
策略二
利用项的个数的“奇偶”性质解决与公比有关的问题
等比数列前n项和(积)最值问题的解题策略
策略一
考虑公比与首项的符号对最值的影响
策略二
利用二次函数的单调性求最值
策略三
利用基本不等式求最值
等比数列的判定与证明的方法
提示： (1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，在选填题中还可以用通项公式法和前n项和公式法来判定一个数列是否是等比数列．
(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可．
(3)判定一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
(4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证．