高考数学一轮复习考点讲与练专题33 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题33 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了下面不是平行六面体的几何体是，下列命题中为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•太原期中）下面不是平行六面体的几何体是
A．四棱台B．长方体
C．正方体D．底面是菱形的四棱柱
2．（2025春•广州期末）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为
A．28B．C．D．
3．（2025春•顺庆区月考）如图所示，水平放置的三角形的直观图是一个边长为的等边三角形，则原图形的面积为
A．B．C．D．
4．（2025春•青山湖区期末）如图，△是△水平放置的直观图，，，则△的周长为
A．B．15C．12D．10
5．（2025春•海安市月考）已知圆锥的底面圆的直径和高均为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积为
A．B．C．D．
6．（2025春•广东月考）下列命题中为真命题的是
A．圆台的侧面展开图是一个扇形
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D．五棱锥共有6个顶点，11条棱
7．（2025•临沭县模拟）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为
A．B．C．D．
8．（2025春•都匀市期末）若圆台的轴截面是底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的表面积为（ ）
A．37πB．70πC．76πD．107π
9．（2025春•陕西月考）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，且侧面与下底面所成的二面角为，则该正四棱台的侧面积为
A．48B．128C．D．
10．（2025春•北碚区期中）已知△是斜边为的等腰直角三角形，则△绕着斜边所在的直线旋转一周后形成几何体的体积为
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•泊头市期末）已知一直角三角形的两条直角边分别为，，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是
A．B．C．D．
（多选）12．（2025春•湖北月考）如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则关于阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是
A．该几何体是圆锥B．该几何体的底面积为
C．该几何体的表面积为D．该几何体的体积为
（多选）13．（2025春•衡山县期中）下列说法中正确的是
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．棱锥的侧面一定都是三角形
C．棱台各侧棱的长都相等
D．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是
（多选）14．（2025•昆明模拟）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和2，母线与底面所成的角为，则
A．该圆台的母线长为2
B．该圆台的侧面积为
C．该圆台的体积为
D．存在球与圆台的两个底面和侧面都相切
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•青山湖区期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和3，高为，则该正四棱台的体积为 ．
16．（2025春•德阳期中）△的直观图△如图所示，其中轴，轴，且，则△的面积为 ．
17．（2025春•南宁期末）已知一圆锥的底面半径为6，母线长为8，则该圆锥外接球的表面积为 ．
18．（2025•青岛模拟）已知正三棱台，，则该正三棱台的体积为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•福州期中）正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体．
（1）求该多面体的表面积和体积．
（2）若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积．
20．（2025春•承德期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，．
（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
（2）求该三棱柱的外接球的表面积．
21．（2025春•辽宁期末）在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高．
（1）求正四棱台的表面积和体积；
（2）在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值．
22．（2025春•江门月考）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求剩余的几何体的表面积和体积．
23．（2025春•广东期中）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积．
24．（2025春•东莞市期中）如图，已知四面体的棱长均为6，棱，，的中点分别为，，，用平面截四面体，得到三棱台．
（1）求三棱台的体积；
（2）若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据平行六面体的定义即可逐个判断．
【解答】解：因为平行六面体是一种特殊的四棱柱，共有六个面，每个面都是平行四边形，平行六面体的六个面两两平行，并且分别是全等的平行四边形，
所以四棱台不是平行六面体，故正确，，，错误．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据正四棱台的体积公式，即可求解．
【解答】解：因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，
所以该正四棱台的高为，
所以该正四棱台的体积为．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据题意，求出直观图的面积，进而由原图面积和直观图面积的关系，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直观图是一个边长为的等边三角形，
则其面积，
故原图形的面积．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据平面图与直观图的联系，在平面图直角坐标系中，有，由勾股定理求得，即得答案．
【解答】解：根据题意，直观图，△中，轴，轴，
故在平面图直角坐标系中，轴，轴，
则，
于是，，，，
所以△的周长为．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据题意易得挖去一个圆柱的底面半径为1，高为2，从而利用圆锥与圆柱的体积公式，即可求解．
【解答】解：根据题意可得挖去一个圆柱的底面半径为1，高为2，
所以可得剩下几何体的体积为．
故选：．
6．【答案】
【分析】利用圆台、棱台、棱柱、棱锥的结构特征逐项判断即得．
【解答】解：选项，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，故选项错误；
选项，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，故选项错误；
选项，由棱柱的定义知，故选项正确；
选项，五棱锥共有6个顶点，10条棱，故选项错误．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据圆台体积公式即可求解．
【解答】解：圆台体积公式：，则，故，
圆台母线长公式：，
圆台侧面积公式：．
故选：．
8．【答案】D
【分析】根据圆台表面积公式即可求解．
【解答】解：圆台轴截面为等腰梯形，上下底半径差为6﹣1＝5，
由底角60°，根据三角函数关系，，得，
根据圆台表面积公式S＝π（r'2+r2+r'l+rl）＝π（12+62+1×10+6×10）＝107π．
故选：D．
9．【答案】
【分析】由正四棱台的几何结构，根据二面角平面角的定义，结合等腰梯形的几何性质，可得答案．
【解答】解：如图，
分别取棱，，，的中点，，，作截面，
则四边形是等腰梯形，是该正四棱台的斜高，
是侧面与底面所成的二面角的平面角，所以，
因为，，所以，
所以该正四棱台的侧面积为．
故选：．
10．【答案】
【分析】问题转换成直角边长为的等腰直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周，进而可求解．
【解答】解：△绕着斜边所在的直线旋转一周后形成几何体，
可看作是：将直角边长为的等腰直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周，所得圆锥体积的2倍，
由圆锥的体积为，
所以该几何体的体积为．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】斜边长为，斜边上的高为，对轴分三种情况，结合圆锥的体积公式即可求解．
【解答】解：由已知，直角三角形斜边长为，
若以斜边为轴，则斜边上的高为，所求为，
若以直角边为轴，则所求为，
若以直角边为轴，则所求为．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据给定条件，求出△斜边上的高，再求出圆锥与半球表面积体积，即可组合得解几何体的表面积体积．
【解答】解：在△中，，，，
则，
由斜边与扇形的弧相切，由直角三角形中的射影定理可得扇形半径，
阴影部分绕直线旋转一周，所形成的几何体是△绕直线旋转一周所得圆锥，
再挖去扇形的弧绕直线旋转一周所得半球，故错误；
几何体底面积为，故正确；
几何体的表面积为，故错误；
所以所求体积为，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】对于，根据正棱锥的性质即可求解；
对于，棱锥的侧面一定都是三角形；
对于，只有在特定的情况下，各侧棱的长度才相等；
对于，画出图形根据三棱锥的体积公式即可求解．
【解答】解：对于选项，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以选项错误；
对于选项，棱锥的侧面一定都是三角形，故选项正确；
对于选项，只有在特定的情况下，如正棱台（即由正棱锥截得的棱台），
各侧棱的长度才相等，对于一般的斜棱台，侧棱长度可以不等，所以选项错误；
对于选项，
如图，易得三棱锥的体积为，故选项正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】由已知求出圆台的高与母线长，再求出圆台的侧面积与体积判断；利用反证法思想判断．
【解答】解：作出圆台的轴截面如图，
由已知可得，，，
则圆台的母线长，高，故正确；
圆台的侧面积为，故错误；
圆台的体积为，故正确；
设圆台内与上下底面均相切的球的球心为，则为的中点，
过作，若球与圆台侧面相切，则为切点，可得，
而，则与重合，可得球与圆台上底面同时切于与点，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】根据棱台的体积公式求出几何体体积即可．
【解答】解：因为正四棱台的上、下底面边长分别为2和3，高为，
所以该正四棱台的体积为．
故答案为：．
16．【答案】4．
【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解．
【解答】解：根据题意，直观图△中，轴，轴，且，
由斜二测画法，将直观图还原为原图，
如图所示，
则△是直角三角形，其中，，
故△的面积为．
故答案为：4．
17．【答案】．
【分析】首先求得圆锥的高为，结合勾股定理求出外接球半径，结合球的表面积公式即可求解．
【解答】解：设该圆锥外接球的半径为．
因为圆锥的底面半径为6，母线长为8，所以圆锥的高为，
由，
即，
得，
所以该圆锥外接球的表面积．
故答案为：．
18．【答案】．
【分析】根据题意求出棱台的高，再由棱台体积公式进行求解．
【解答】解：如图，
设上下底面的中心分别为、，则由已知，，，
所以正三棱台的高，
又上底面面积为，下底面面积为，
所以该正三棱台的体积．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；；（2）；．
【分析】（1）根据多面体的对称性，即可求解；
（2）根据多面体与球的对称性，即可求解．
【解答】解：（1）因正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体，
所以该多面体是由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥完全一致，
每个四棱锥的侧面是四个边长为的等边三角形，设三角形的面积为，
则该多面体的表面积，
四棱锥的底面是边长为的正方形，故四棱锥的底面积，
四棱锥的高为1，故四棱锥的体积，
则该多面体的体积，
（2）将该多面体内接于球内，
则球的直径为，球的半径为1，
故该球体的表面积为：，
该球体的体积为：．
20．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到△的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积．
【解答】解：（1）因为底面三角形的三边长分别为，，，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为，，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，
因为，
所以．
设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积．
所以剩余部分几何体的体积．
（2）由（1）可知，直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体，
它的外接球的半径满足，
即，
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为．
21．【答案】（1）表面积，体积；（2）．
【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求表面积；
（2）把该四棱台沿侧棱展开在同一平面，可得彩带的路径必须沿路径，计算的长度，可得最短彩带的长度．
【解答】解：（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高，
所以正四棱台的体积为；，
记、分别为棱台上、下底面的中心，分别取，中点，，连接，，
，在梯形中，过作于，
由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
且，，，所以，
所以，
所以正四棱台的表面积为：．
（2）把该四棱台沿侧棱展开，得到如图所示的图形，
要使这种彩带长度最小，则彩带的路径必须沿如图所示的路径．
在等腰梯形中，设，则，
易知．
在△中，，，
又，即，
所以，
所以彩带最少需要．
22．【答案】；．
【分析】结合正方体的性质，根据表面积和体积的定义即可求解．
【解答】解：因为正方体的棱长为，
所以几何体的体积为：．
又因为△是边长为的等边三角形，
所以△的面积，
所以所求几何体的表面积为：．
23．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据柱体的体积公式及锥体的体积公式计算，即可求解；
（2）先求出圆锥母线长，再根据表面积公式计算，即可求解．
【解答】解：（1）设圆锥的底面圆半径为，则，
根据题意可得该几何体的体积为：
；
（2）由（1）可知圆锥母线长为，
根据题意可得该几何体的表面积为：
．
24．【答案】（1）；
（2）最小值为，且取最小值时．
【分析】（1）作点在平面内的射影，连接，根据题意可知，是等边三角形的中心，从而求出，利用勾股定理得到，求得结果；
（2）将平面与展开到同一平面，可知，在△中，利用余弦定理求得，利用△△求得，在△中，由余弦定理得到，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，作平面于点，连接，
则是等边三角形的中心，且，
所以，
所以，
所以；
（2）如图所示，将平面与展开到同一平面，可知．
在△中，，，，
由余弦定理得，即．
因为△△，所以
所以，
在△中，设，
所以，即，
解得或，结合图可知．
综上，的最小值为，且取最小值时．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
C
A
C
C
D
D
A
题号
11
12
13
14
答案
ABC
BD
BD
AC