新高考数学一轮复习考点分类提升 第30讲 等比数列（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点分类提升 第30讲 等比数列（讲义）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习考点分类提升第30讲等比数列讲义原卷版doc、新高考数学一轮复习考点分类提升第30讲等比数列讲义解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.
2.等比中项
(1)如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时.
(2)在等比数列中，任取相邻的三项，则是与的等比中项，即.
3.等比数列的通项公式
(1)首项为，公比为q的等比数列{an}的通项公式为.
(2)等比数列的图象是指数型函数的图象上的一群孤立的点.
4.等比数列的前n项和公式
首项为，公比为q的等比数列的前n项和.
5.等比数列及其前n项和公式的性质
(1)若是等比数列，且，则;若，则.
(2)等比数列中相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为.
(3)若(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列.
(5)若是等比数列的前n项和，则当q≠-1或q=-1，且n为奇数时，仍成等比数列，其公比为.
6.常用结论
(1)为等比数列，若，则成等比数列.
(2)当时，是数列{an}成等比数列的充要条件，此时.
(3)等比中项法：在数列中，若，且，则是等比数列.
考点一：公式法求数列通项、基本量
例1．已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】根据条件，列出关于公比的方程，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，，首项，
由，，成等差数列，则，
则，，得（舍）或.
故选：B
例2．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，再根据等比数列前项和公式计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，由得，解得，
所以．
故选：C．
考点二：定义法判断等比数列
例3．（2023·广西·统考一模）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．1458B．1460C．2184D．2186
【答案】A
【分析】根据的关系确定数列为等比数列，利用等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】由，可得，
两式相减可得，即，
当，
所以数列从第二项开始，是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以，
故选:A.
例4．若正项数列满足，则（ ）
A．B．1C．6D．12
【答案】D
【分析】根据已知条件可得数列是公比的等比数列，利用等比数列性质即可求得结果.
【详解】由可得，即
即数列是公比的等比数列，
又，可得；
将代入计算可得.
故选：D
考点三：等比中项法判断等比数列
例5．已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断.
【详解】对于A，令，则，
所以，即，故A错误；
对于B，令，则，即，故B错误；
对于C，令，则，
所以，即，故C错误；
对于D，因为角的终边不在坐标轴上，所以，，，
所以，即，则，
所以一定成等比数列，故D正确.
故选：D.
考点四：等比数列片段和性质及应用
例6．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，，，则为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据等比数列片段和性质可构造方程求得，再由可得最终结果.
【详解】由题意知：，，成等比数列，
，解得：或；
，.
故选：A.
例7．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．80B．30C．26D．16
【答案】B
【分析】据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果.
【详解】是各项均为正数的等比数列的前项和，
也为等比数列，
又，
该等比数列第一项，第二项.
则公比，
，
.
故选：B.
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】，.
故选:B.
2．明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由等比数列的第一项和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二项和第五项可得答案.
【详解】设该等比数列的公比为，则，即，
则夹钟和南吕的波长分别为，，
故夹钟和南吕的波长之积为.
故选：B.
3．（2023·青海西宁·统考二模）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】利用等比数列的通项公式列式求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
所以，解得，
所以，
故选：A
4．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断.
【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且，
，故成等比数列，且公比为，
因此成等比数列，且公比为，
，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列，
故选：C
5．（2023·浙江台州·统考二模）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，
因为成等比数列，所以，即，
因为，所以，
所以.
故选：A
6．已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．
C．当，时，取得最大值D．当时，的最大值为21
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可.
【详解】因为是与的等比中项，
所以，
由，有，
，
当，时，取得最大值，
，的最大值为，
故选：D
7．下列命题中正确的是（ ）
A．若a，b，c是等差数列，则lg2a，lg2b，lg2c是等比数列
B．若a，b，c是等比数列，则lg2a，lg2b，lg2c是等差数列
C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列
D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列
【答案】C
【分析】由对数的运算律，再根据等差中项判断等差数列和等比中项判断等比数列的方法即可得到答案.
【详解】若，则对数无意义，A,B错误；
对C，若a，b，c是等差数列，则，所以，正确；
对D，若，则，显然，错误.
故选：C.
8．正项等比数列的前项和为，，，则等于（ ）
A．90B．50
C．40D．30
【答案】B
【分析】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可.
【详解】解：因为是正项等比数列的前项和，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
解得或(舍).
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（ ）
A．B．43C．D．41
【答案】A
【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.
【详解】设，则，
因为为等比数列，
所以，，仍成等比数列．
因为，所以，
所以，故．
故选：A.
二、多选题
10．已知是等比数列，，，则公比（ ）
A．B．C．2D．
【答案】AD
【分析】利用等比数列的通项公式即可求解
【详解】由题意可得，解得或
故选：AD
11．我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．D．
【答案】BD
【分析】根据已知条件判断的关系，结合等比数列的知识求得，从而确定正确选项.
【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.
所以BD选项正确.
故选：BD
12．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且，，成等比数列，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】根据题意结合等比中项可得，再根据等差数列前项和结合作差法逐项分析判断.
【详解】设等差数列的公差为，
∵，，成等比数列，则，
可得，整理得，
由，则，
则.
对A、B：若，即，
故，A正确，B错误；
对C、D：若，即，
故，D正确，C错误；
故选：AD.
三、解答题
13．已知数列满足：.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和的表达式.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）得出数列的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算.
【详解】（1）由题意可知，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，即
前项和.
14．在等比数列{an}中，
(1)已知，求前4项和；
(2)已知公比，前5项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解；
（2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）设公比为，由，
的，所以，
所以；
（2）由，得，
所以.
15．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；
(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.
【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
综上，
16．在数列中，，，．
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列；
（2）通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论．
【详解】（1）证明：
又
数列是首项为、公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，即，
.
17．设等比数列的前n项和为．
(1)若公比，，，求n；
(2)若，求公比q．
【答案】(1)6
(2)1或
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得.
（2）根据已知条件列方程，化简求得.
【详解】（1）依题意，
由于，所以两式相除得，
.
（2）依题意，即，
，解得或.
18．已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；
（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.
【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d．
∵
∴
解得：
∴等差数列通项公式
（2）设等比数列首项为，公比为q
∵
∴
解得：
即或
∴等比数列通项公式或
19．记等差数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；
(2)根据等比数列求和公式即可求解．
【详解】（1）由题可知，解得，，
∴；
（2）∵，∴，
∴是首项为3，公比为9的等比数列，
∴﹒
20．（2023·山东济南·一模）已知数列满足．
(1)若数列满足，证明：是常数数列；
(2)若数列满足，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算出，得到是常数数列；
（2）在（1）的基础上，得到，，利用分组求和得到答案.
【详解】（1）因为
，
所以，
所以是常数数列．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
因为，
所以
，
所以．
考点一
公式法求数列通项、基本量
考点二
定义法判断等比数列
考点三
等比中项法判断等比数列
考点四
等比数列片段和性质及应用