高考数学一轮复习考点讲与练专题32 数列求和同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题32 数列求和同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了数列的前2025项和为，已知数列的前项和为且，则，记为数列的前项之积，已知，则，若等差数列满足，则等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•仁寿县期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和
A．107B．1409C．1414D．112
2．（2025春•河西区月考）已知数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前2025项和为
A．B．C．D．
3．（2025•东西湖区模拟）数列的前2025项和为
A．1012B．C．1013D．
4．（2025•漳州模拟）设等差数列的前项和为，若，，则数列的前2025项和为
A．B．C．D．
5．（2025春•惠州月考）已知数列的前项和为且，则
A．B．C．D．
6．（2024秋•株洲期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和
A．B．C．D．
7．（2025春•河南月考）已知数列的通项公式为，则其前2025项的和
A．B．C．D．
8．（2025•射阳县模拟）记为数列的前项之积，已知，则
A．B．C．D．
9．（2025春•南岗区月考）若等差数列满足，则
A．2025B．C．D．
10．（2024秋•宜宾期末）南宋数学家杨辉在《解析九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍瓷垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•建邺区三模）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则
A．
B．的前项和为
C．的前2025项和为
D．的前10项和为
（多选）12．（2025春•成都期末）已知数列满足，数列的前项和为，则
A．
B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列
D．数列前2025项和为
（多选）13．（2025•霞山区模拟）已知数列满足，其中，为数列的前项和，则下列四个结论中，正确的是
A．
B．数列的通项公式为：
C．数列的前项和为：
D．数列为递减数列
（多选）14．（2025•安化县模拟）已知数列的首项为4，且满足，则
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
三．填空题（共4小题）
15．（2025•黄浦区三模）已知数列的通项公式为为正整数），则数列的前项和的最小值为 ．
16．（2025春•日照期中）设数列的前项和为，且，则 ．
17．（2025春•青羊区期中）设数列的前项和为，且，则数列的前项和为 ．
18．（2025•桃城区三模）数列满足，则的前100项和 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•青山湖区期末）设数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若数列的前项和为，证明：．
20．（2025春•南宁期末）已知数列的首项为1，数列的前项和为，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
21．（2025春•濮阳期末）已知为等差数列，，，．
（Ⅰ）求的通项公式及前项和；
（Ⅱ）求数列的前项和．
22．（2025春•深圳期末）已知等差数列与等比数列满足：，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
23．（2025春•遵义期末）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围．
24．（2025春•建华区期中）记数列的前项和为，已知，．
（1）求的通项公式．
（2）若数列满足，其前项和为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可．
【解答】解：根据题意可得．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据并项求和法及平方差公式，即可求解．
【解答】解：因为，
所以前项和为，
所以数列的前2025项和为：
．
故选：．
3．【答案】
【分析】由已知利用并项求和即可求解．
【解答】解：数列的前2025项和
．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据等差数列通项公式可得，再利用裂项求和即可求得结果．
【解答】解：设等差数列的公差为，
依题意可得，解得，
所以，因此，
令的前项和为，
则，
所以．
故选：．
5．【答案】
【分析】利用错位相减法求数列的前项和．
【解答】解：，
则，
所以，
两式相减可得，，
所以．
故选：．
6．【答案】
【分析】应用错位相减法及等比数列前项和求．
【解答】解：已知数列的通项公式为，
则，①
则，②
由①②可得：，
所以．
故选：．
7．【答案】
【分析】先化简，利用裂项相消法求和．
【解答】解：由
，
可得．
故选：．
8．【答案】
【分析】运用数列的通项与求积的关系，以及等差数列的定义和通项公式，可得所求．
【解答】解：由，
可得，解得，
当时，，
即有，
可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，
则，
即，
则．
故选：．
9．【答案】
【分析】设，易知，从而利用倒序相加法，即可求解．
【解答】解：设，则，
设，
所以，又，
所以，
所以．
故选：．
10．【答案】
【分析】由题意可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
【解答】解：由题意可得，，，
，，
则，
即有．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断，根据等差数列求和公式判断，利用并项求和法判断，利用裂项相消法判断．
【解答】解：由题意公差，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
解得，所以，
对于，，故正确；
对于，的前项和为，故错误；
对于，因为，
所以前2025项和为
，故正确；
对于，因为，
所以，故正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据题意，求得数列的通项公式为，求得，可判定正确；由数列为等差数列，可判定错误；由等差数列的求和公式，得到，可判定错误；由，结合裂项法求和，可判定正确．
【解答】解：数列中，，
当时，，
两式相减，得，所以，
当时，，满足上式，所以数列的通项公式为，
对于，由，选项正确；
对于，由，所以数列为等差数列，选项错误；
对于，由，得，，，
则，所以，，不是等差数列，选项错误；
对于，由，得，
所以数列前2025项和为
，选项正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前项和；根据数列与函数的关系判断数列的单调性．
【解答】解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故正确，错误；
，
所以，故正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】对于选项：直接利用关系式的变换求出数列为等比数列．
对于选项：利用等比数列的性质求出数列的通项公式，进一步求出数列单调递增．
对于选项：利用数列的通项公式，利用乘公比错位相减法求出数列的和．
对于选项：利用自然数的求和公式求出结果．
【解答】解：①由得，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，故错误；
②因为，所以，显然递增，故正确．
③因为，①
，②
所以：①②得：，
故，故错误；
④因为，
所以的前项和，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】根据单调递增，且当时，，当时，，可得当有最小值，且最小值为．
【解答】解：根据题意，显然单调递增，
当时，，当时，，
所以当时有最小值，且最小值为．
故答案为：．
16．【答案】．
【分析】根据并项求和，结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：根据题意，，
所以．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】由数列的通项与前项和的关系，结合数列的恒等式求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：由，
可得时，，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
即有，
则（符合首项），
可得，
设数列的前项和为，
则，
，
相减可得，
即有．
故答案为：．
18．【答案】7700．
【分析】设，计算每隔四项的和，可得它们构成以20为首项，公差为24的等差数列，由等差数列的求和公式可得所求和．
【解答】解：数列满足，
设，可得，解得，
由，解得，
由，解得，即有；
同理可得，，，，即有；
，，，，即有；
，．
则的前100项和．
故答案为：7700．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由已知可得，即可说明为等差数列；
（2）由（1）得，由裂项相消法即可求解，根据单调性即可得．
【解答】解：（1）由已知可得，
所以，又，
所以数列是首项为3，公差为3的等差数列；
（2）由（1）知，
所以，所以，
所以，
因为为递增数列，所以，
所以．
20．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用即可求解；
（2）由（1）可知，进一步由裂项相消法即可求解．
【解答】解：当时，，则，
当时，，则，
又满足上式，所以；
（2）由（1）可知，
设数列的前项和为，
则．
21．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式，解方程求得首项和公差，进而得到所求；
（Ⅱ）运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（Ⅰ）为等差数列，设公差为，
由，，可得，即，
且，即，可得，
则，
；
（Ⅱ）由，
可得数列的前项和
．
22．【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，即可得到所求；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
等比数列的隔壁为，
由，，，可得，，
解得，，
则，；
（2），
数列的前项和，
，
相减可得
，
则．
23．【答案】（1）数列的通项公式为：；
（2）数列的前项和为：；
（3）的取值范围为：．
【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系来求解；
（2）先根据（1）的结果求出，再利用裂项相消法求数列的前项和；
（3）先根据已知条件求出，再区分为奇数和偶数两种情况讨论不等式恒成立时的取值范围．
【解答】解：（1）因为数列的前项和为，且，
所以当时，．
当时，，
当时，也满足上式，
所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为①，
当时，，解得．
当时，②，
①②相减得：，
所以，又也满足该式，
所以，
那么不等式可化为．
当为偶数时，若恒成立，即恒成立：
因为在为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立．
当为奇数时，若恒成立，即恒成立：
因为在为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立．
故的取值范围为：．
24．【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；
（ⅱ），．
【分析】（1）运用，关系式，得到数列是等比数列，再由等比数列的基本量法求出通项即可；
（2）（ⅰ）由错位相减法求和即可；（ⅱ）将不等式变形后得恒成立，令，讨论数列的单调性求最小值即可；
【解答】解：（1），，则，
两式相减得，即，
当时，有，
又，所以．
综上，可知是首项，公比为2的等比数列，
故的通项公式为；
（2）（ⅰ）由（1）得，
则，
可得，
所以，
所以．
（ⅱ）对任意恒成立，
即，整理得恒成立．
令，则，
当时，，
当时，，
当时，，
即的最小值为，
综上，，即实数的取值范围是，．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
D
A
B
C
C
C
D
题号
11
12
13
14
答案
ACD
AD
ACD
BD