高考数学一轮复习考点讲与练专题31 等比数列同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题31 等比数列同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了若等比数列满足，，则，已知数列满足且，则的值为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•西城区期末）已知等差数列满足，且是和的等比中项，则
A．6B．8C．6或8D．10
2．（2025•靖远县模拟）在正项等差数列中，且，，成等比数列，则
A．7B．11C．18D．1
3．（2025春•武汉期末）若等比数列满足，，则
A．B．C．16D．32
4．（2025•北碚区模拟）已知数列满足且，则的值为
A．B．216C．D．
5．（2025春•江西期末）已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，，则
A．9B．36C．72D．84
6．（2025春•抚州期末）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为
A．B．或2C．D．2
7．（2025春•南宁期末）已知递增等比数列的前项和为，，，则
A．8B．6C．4D．2
8．（2025•赣州二模）已知等比数列的前项和是，且，，则为
A．7B．9C．63D．7或63
9．（2025春•濮阳期末）已知等比数列的前项和为，若，，则
A．4B．6C．8D．16
10．（2025春•仁寿县期末）设，分别为等比数列，的前项和，若，则
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•辽阳县月考）公比为的等比数列的前项和为，若，，则
A．B．C．D．
（多选）12．（2025春•深圳期中）已知等比数列的前项和为，公比，，则
A．
B．
C．
D．数列是公比为4的等比数列
（多选）13．（2025春•钦州期末）公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a2＝20，a1﹣a3＝﹣60，则（ ）
A．a1＝4B．q＝4C．S4＝350D．a5＝1024
（多选）14．（2025•山东模拟）已知等比数列的公比为，且，则下列说法正确的是
A．若，则
B．数列的前2023项和一定大于0
C．若，则
D．若，则一定小于0
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•北海期末）在等比数列中，，，则 ．
16．（2025•朝阳模拟）若等比数列的前20项积为，则 ．
17．（2025•潍坊模拟）已知正项等比数列的前项和为，若，则 ．
18．（2025春•浦东新区期末）已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•广西期中）设是公比不为1的等比数列，，为，的等差中项．
（1）求数列的公比；
（2）求数列的前项和．
20．（2025春•成都月考）设公比不为1的等比数列的前项和为，且．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
21．（2024春•池州期末）已知数列中，，数列是等比数列，且公比．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求．
22．（2025春•海淀区期中）已知等差数列的公差为，，且是，的等差中项．
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）等比数列的前项和为，，，，若，求的最大值．
23．（2025•岳阳模拟）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足．
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．
24．（2025春•北京期中）已知是公比为的等比数列，且．
（1）求的值；
（2）设是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为．当时，试比较与的大小．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据等差数列的定义与通项公式，求出公差，再根据等比中项列方程求出，即可求出．
【解答】解：等差数列中，，所以公差，
又因为是和的等比中项，所以，解得，
所以．
故选：．
2．【答案】
【分析】由题设结合等差数列通项公式与等比中项的应用列式求出公差，并得到通项公式即可求解．
【解答】解：设正项等差数列公差为，
由，得，，
又因为，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以，故．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据已知条件可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出即可．
【解答】解：设等比数列的公比为，
由题可得：，，
解得，，
则．
故选：．
4．【答案】
【分析】由递推式得数列为公比的等比数列，再求出数列的通项公式，从而可得答案．
【解答】解：因为，
所以数列为公比的等比数列，
因为，所以，
则，
所以，，，
所以，
故选：．
5．【答案】
【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式求解，即可得解．
【解答】解：公比不为1的等比数列的前项和为，，，
设的公比为，
则，
解得或（舍去），
．
故选：．
6．【答案】
【分析】设公比为，由韦达定理得，，并判断，同为负数，根据等比数列的性质得到，，从而得到答案．
【解答】解：在等比数列中，，是方程的两根，
设公比为，
由韦达定理得，，
又，
故，符号相同，，同为负数，
，
为等比数列，
，，
故．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据等比数列递增确定的定义，利用首项和公比表示和，求出首项公比，代入求出即可．
【解答】解：由递增等比数列的前项和为，，，可得，
解得，与数列为递增数列矛盾，舍去），故．
故选：．
8．【分析】由等比数列的求和公式，结合条件，求出，，代入可求．
【解答】解：由题意，，
，
故选：．
9．【答案】
【分析】根据，可求得，进一步利用进行求解即可．
【解答】解：设等比数列的公比为，
由，，得，
解得，所以．
故选：．
10．【分析】设，分别为公比为的等比数列，公比为的的前项和，，，令可得，再由等比数列的求和公式可得，，由等比数列的通项公式可得所求值．
【解答】解：设，分别为公比为的等比数列，公比为的的前项和，，，
，
，
，
由，且，
可得，，
，
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断各个选项．
【解答】解：因为数列是公比为的等比数列，且，，
所以，解得，故，正确；
所以，，故错误，正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】首先求出的值，判断，再由等比数列通项公式及求和公式判断、，由等比数列的定义判断．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，因为，，所以，即正确；
对于，易知，可知错误；
对于，，故正确；
对于，又，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故正确．
故选：．
13．【答案】ABD
【分析】先根据条件，确定数列{an}的通项公式，再逐项判断即可．
【解答】解：因为a1+a2＝20，a1﹣a3＝﹣60，所以，解得a1＝q＝4．故AB正确；
所以，
因为，故C错误；
因为，故D正确．
故选：ABD．
14．【答案】
【分析】由等比数列的性质可判断；讨论，结合等比数列的前项和可判断；构造函数，由导数求解函数的最值结合等比数列的通项公式可判断，．
【解答】解：对于，由可得：，
因为，所以，即，
，解得：或，故错误；
对于，当时，则，
当时，，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以数列的前2023项和一定大于0，故正确；
对于，若，则，即，
设，，
则，所以在上单调递减，
所以，，则，所以，
所以，故正确；
对于，若，因为是等比数列，
所以，
设，，，
令，，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，，
如下图，画出，，易知，当时，存在，
即，即，因为，故，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】16．
【分析】由，，可求，再利用代入计算即可．
【解答】解：因为是等比数列，，，
所以，则，
所以．
故答案为：16．
16．【答案】230．
【分析】根据题意，由等比数列的性质可得的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等比数列的前20项积为，
则有，则．
故答案为：230．
17．【答案】．
【分析】根据题意，设正项等比数列的公比为，由求出的值，又由，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设正项等比数列的公比为，则，
若，即，变形可得，
则有，即，
则．
故答案为：．
18．【答案】210．
【分析】由等比数列的前项和性质可得，，，成等比数列，根据等比中项的性质即可求解．
【解答】解：等比数列的前5项和为10，前10项和为50，
则，，成等比数列，
即10，，成等比数列，
所以．
故答案为：210．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据为，的等差中项，列出关于的方程，可解得公比；
（2）由（1）中解得的和，可求得，进而可求的前项和．
【解答】解：（1）设公比为，由已知，，即，
所以，因为，所以；
（2）由（1），，又，所以，，
所以，
的前项和
．
20．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意列方程即可求解；
（2）由题意得，结合等比数列求和公式即可求解．
【解答】解：（1）设的公比为，
，
，
，，
，．
（2），，
（或
，
．
21．【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ），等比数列是首项为，公比为3的等比数列，由此能求出数列的通项公式；
（Ⅱ），由此利用裂项求和法能求出．
【解答】解：（Ⅰ）数列中，，数列是等比数列，且公比，
，
等比数列是首项为，公比为3的等比数列，
，
数列的通项公式为；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，
则，
．
22．【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）3．
【分析】（Ⅰ）根据等差数列的基本公式和性质列方程组求解，，从而得通项公式；
（Ⅱ）根据等比数列的基本量求解通项公式，从而得前项和为，解不等式即可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题可得：，
所以；
（Ⅱ）设等比数列的公比，则，
因为，，所以，，
若，则，
解得，即的最大值为3．
23．【答案】（1）详见解答过程；
（2）详见解答过程．
【分析】（1）结合等差数列的性质及求和公式可求出，再由等差数列的定义即可判断；
（2）利用反证法，结合等比数列的性质即可判断．
【解答】（1）证明：因为数列为等差数列，，，
所以，
，
则，
则，，
故数列是以1为首项，以为公差的等差数列；
（2）假设数列中的任意不同的三项，，构成等比数列，
则，
即，
则，
故，即，与假设矛盾，
故数列中的任意三项均不能构成等比数列．
24．【答案】（1）或；
（2）答案见解析．
【分析】（1）由通项公式列出等式求解即可；
（2）分别求出等比数列的通项公式及前项和，分类作出比较得答案．
【解答】解：（1）由，得，
又是等比数列，故，
所以，解得或；
（2）当时，，故，
当时，恒成立，
所以时，，
当时，，
则，，
当时，；当时，；当时，，
所以当时，；当时，；当时，．
综上所述，当时，；
当时，时，；时，；，时，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
D
B
C
A
A
C
C
题号
11
12
13
14
答案
ABD
ACD
ABD
BCD