高考数学一轮复习考点讲与练专题30 等差数列同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题30 等差数列同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了在等差数列中，，，则，记等差数列的前项和为，，则，设等差数列的前项和为，若，，则等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•顺义区期末）在等差数列中，，，则
A．8B．10C．12D．14
2．（2025春•遵义期末）已知等差数列的前项和为，若，，则
A．78B．72C．39D．36
3．（2025春•洛阳期末）已知等差数列的前项和为，若，，则
A．72B．100C．144D．156
4．（2025春•庐江县期末）记等差数列的前项和为，，则
A．40B．20C．25D．30
5．（2025春•越秀区期末）设等差数列的前项和为，若，，则
A．20B．18C．16D．15
6．（2025春•河南期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则
A．6B．5C．4D．3
7．（2025•山西二模）已知等差数列的前项和为，且，，则
A．52B．96C．106D．120
8．（2025•5月份模拟）记为等差数列的前项和，若的公差为，，则
A．B．C．D．
9．（2024秋•颍州区期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则
A．B．C．D．
10．（2025春•成都期末）已知数列的前项和，则数列的前8项和为
A．0B．32C．48D．64
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•龙文区模拟）等差数列中，为其前项和，，，则以下说法正确的是
A．
B．
C．的最大值为
D．使得成立的最大整数
（多选）12．（2025•沧州二模）已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则
A．B．C．D．
（多选）13．（2025春•江门月考）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（ ）
A．d＜0
B．a16＜0
C．Sn≤S15
D．当且仅当n≥32时，Sn＜0
（多选）14．（2025春•贵州期中）已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是
A．的公差B．C．D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•闵行区月考）1945和1949的等差中项为 ．
16．（2025春•射洪市期末）在前项和为的等差数列中，，，则 ．
17．（2025春•浦东新区期末）设两个等差数列、的前项和分别为、，若对任意正整数都有，则的值为 ．
18．（2025•裕安区模拟）已知等差数列中，是的前项和，且满足，，则 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025春•成华区月考）已知数列为等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和的最大值．
20．（2025春•浦东新区期末）已知为等差数列．
（1）若，求的值．
（2）若，，求．
21．（2024秋•东城区期末）已知数列满足，．
（Ⅰ）若数列是等差数列，求的通项公式以及前项和；
（Ⅱ）若数列是等比数列，求的通项公式．
22．（2025春•富平县月考）在等差数列中，若为其前项和．
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若，，则数列的前多少项和最大？
23．（2025春•泸州期中）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
24．（2025春•驻马店月考）设为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最大值及此时的值．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据等差数列通项公式计算即可．
【解答】解：等差数列中，，，
设等差数列的公差为，
所以，．
故选：．
2．【答案】
【分析】利用等差数列性质及前项和公式求解即得．
【解答】解：因为，，所以．
故选：．
3．【答案】
【分析】结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列中，，，
所以，，，
所以，
则．
故选：．
4．【答案】
【分析】结合等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：等差数列的前项和为，，
则，解得，
故．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据题意，等差数列中，设其公差为，由等差数列前项和性质可得的值，进而求出的值，结合等差数列通项公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则有，
变形可得，
又由，则，
故．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据等差数列的性质，以及前项和的性质，结合已知条件，计算即可．
【解答】解：根据题意，因为，所以，
所以，即，变形可得，
则，
所以．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据等差数列的前项和性质进行求解．
【解答】解：因为等差数列的前项和为，所以，，成等差数列，
即，解得．
故选：．
8．【答案】
【分析】利用等差数列的求和公式可得出，的等量关系，结合等差数列的通项公式可得结果．
【解答】解：等差数列中，，
则，
即，所以，故．
故选：．
9．【答案】
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
【解答】解：因为等差数列和满足，
．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据数列前项和公式，求出数列通项公式，依次求出前8项，再求和．
【解答】解：已知，则当时，，
可得，
当时，，符合上式，所以数列通项公式为，
则，，，，，，，，
数列的前8项和为．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再逐项计算判断即可．
【解答】解：根据题意，在等差数列中，由，得，
则有，
因此，而，则，
依次分析选项：
对于，公差，正确；
对于，，因此，正确；
对于，，数列单调递减，其前8项均为正数，从第9项起为负数，
因此的最大值为，错误；
对于，，由，得，
因此使得成立的最大整数，正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据给定条件结合等差数列性质求出公差，再逐项分析计算作答．
【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为，
由于，解得，而，则，正确；
则，正确；
则有，则，不正确；
，正确．
故选：．
13．【答案】ABC
【分析】由S10＝S20，得a1＝d，再利用等差数列的性质可以判断每一个选项．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和记为Sn，a1＞0，S10＝S20，
对于A，设等差数列{an}的公差为d，
由S10＝S20，得10a1+d＝20a1+d，
化简得a1＝d，
∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；
对于B，∵a16＝a1+15d＝d+15d＝d，
又d＜0，∴a16＜0，故B正确；
对于C，∵a15＝a1+14d＝d+14d＝﹣d＞0，a16＜0，
∴S15最大，即Sn≤S15，故C正确；
对于D，，
若Sn＜0，又d＜0，则n＞30，
故当且仅当n≥31时，Sn＜0，故D错误．
故选：ABC．
14．【答案】
【分析】根据等差数列前项和结合等差数列的性质由，可得，即可结合选项逐一求解．
【解答】解：等差数列中，由，，可得，
因此，正确，
，错误，
，错误，
由于，故，故是中最大的项，故，正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】1947．
【分析】根据等差中项的定义求解．
【解答】解：1945和1949的等差中项为：．
故答案为：1947．
16．【答案】12．
【分析】根据题意可知，，为等差数列，结合等差中项运算求解即可．
【解答】解：因为数列为等差数列，，，
由等差数列的性质可知，，为等差数列，
则，即，
故．
故答案为：12．
17．【答案】．
【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可．
【解答】解：因为，为等差数列，，
由等差数列的性质可得，．
故答案为：．
18．【答案】．
【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解出，，再根据等差数列求和公式计算可得；
【解答】解：等差数列中，满足，，
设公差为，则，
解得，，则．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）49．
【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得．
（2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，设等差数列的公差为，
由于，，则，
解得，，
所以；
（2）由，解得，
而，数列是单调递减数列，
所以等差数列的前7项为正数，从第8项起为负数，
所以时，数列前项和的最大值为．
20．【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）结合等差数列的求和公式及性质即可求解；
（2）结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：因为为等差数列，
（1），
则；
（2）若，，
则，，
．
21．【答案】，；
（Ⅱ）．
【分析】结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
结合等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：数列满足，，
（Ⅰ）若数列是等差数列，则，，
则，，
所以，；
（Ⅱ）若数列是等比数列，则，
解得，，，
所以．
22．【答案】（1）；
（2）数列的前13项和最大．
【分析】（1）利用等差数列通项公式可依次构造方程求得公差和首项，由此可得；
（2）利用等差数列求和公式可构造方程求得公差，由此可得，根据的二次函数性可确定结果．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
则，
即，解得：，
，
解得：，；
（2）设等差数列的公差为，
由得：，，
解得：，，
则当时，取得最大值，即数列的前13项和最大．
23．【答案】（1）；
（2）；最小值为．
【分析】（1）利用等差数列求和公式可求得公差，由等差数列通项公式可求得通项；
（2）利用等差数列求和公式可求得，利用的二次函数性可求得最小值．
【解答】解：（1）等差数列的前项和，，，设等差数列公差为，
则，解得，
；
（2）由（1）得：，
当或11时，；
则，的最小值为．
24．【答案】（1）；
（2），的最大值16，此时．
【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式；
（2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
因为，．
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
当且仅当时，的最大值为16．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
C
D
B
C
B
B
题号
11
12
13
14
答案
ABD
ABD
ABC
AD