新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第29讲 等比数列（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、等比数列的有关概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
2.等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．
二、等比数列的有关公式
1.等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
2.等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注：①在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
三、等比数列的性质
1.等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
2.等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
3.其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【常用结论】
1.若，则．
2.若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
3.在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
二、题型分类精讲
题型一 等比数列基本量的计算
题型一 等比数列基本量的计算
策略方法 等比数列基本量运算的解题策略
等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
【典例1】（单选题）已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】由等比数列的定义和性质知，结合可得.
【详解】设数列公比为，
因数列各项均为正数，故，
则，
得
解得或（负值舍去）．
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知等比数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】设公比为，
因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
2．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意列出方程求得，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由，可得，解得，
又由，所以，所以.
故选：B.
3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设是等比数列，且，，则（ ）
A．8B．-8C．4D．-4
【答案】B
【分析】根据条件，求首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，则
，解得：，，
所以.
故选：B
4．（2023春·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．9B．72C．9或70D．9或
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质求出公比，即可求出的值.
【详解】由题意，，
在等比数列中，，，
设公比为，
，即，解得或，
∴，
当时，，
当时，.
故选：D.
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（ ）
A．400B．500C．600D．800
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.
【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，
设第一个音为，所以，故，
因为，所以.
故选：C
6．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解.
【详解】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择和，
设等比数列的公比为，
当时，，所以，所以，
所以；
当时，，所以，所以，
所以；
综上，的最小值为.
故选：B
7．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知是等比数列，则“”是“数列的公比为3”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，由等比数列的定义，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】由，得，解得或，
故充分性不满足；
由的公比为3，可得，故必要性满足；
则“”是“数列的公比为3”的必要不充分条件．
故选：B
8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A．30B．C．40D．
【答案】C
【分析】利用条件，求出数列的第4项和第8项，进而可求出数列的公比，从而求出，再利用即可求出结果.
【详解】令，设数列的公比为，因为，，
所以，，又，所以，得到，
所以，所以.
故选：C.
9．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解.
【详解】由 得，所以，或（舍去），
由，得，所以，
由，得，所以，即n的最小值为9；
故选：C.
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项等比数列满足，则的最小值是（ ）
A．4B．9C．6D．8
【答案】D
【分析】由得，把用表示后用基本不等式求解.
【详解】由，得，即，
则，
当且仅当即时取等号.
故选：D
二、填空题
11．（2023·四川成都·三模）在等比数列中，若，则的值为 ．
【答案】81
【分析】根据题意，由条件可求得，从而得到结果.
【详解】因为数列为等比数列，设其公比为，且，
则，所以，则，
故答案为:
12．（2023·江西·统考模拟预测）已知数列满足，若，则 ．
【答案】
【分析】依题意可得为等比数列，设公比为，根据条件及等比数列通项公式计算可得.
【详解】因为，所以为等比数列，设公比为，又，，
所以，解得，所以.
故答案为：
13．（2023·浙江·二模）已知等比数列满足，则公比 .
【答案】2
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由，
等式两边同时除以，得，
解得.
故答案为：2.
14．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列满足，且，则
【答案】
【分析】利用等比数列的基本量运算求解公比，代入等比数列的通项公式即可.
【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，
又，所以，解得，即，所以.
故答案为:.
15．（2023·全国·高三专题练习）若数列是公比为的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由已知条件求出的取值范围，即可得出数列的一个通项公式.
【详解】由，得，即，即，所以.
令，所以，所以可取（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，且，，，则 ．
【答案】9
【分析】将拆分为和，结合得出，再将拆分为和，代入即可．
【详解】由得，，
因为，
所以且，
所以，
所以，
故答案为：9．
题型二 等比数列的性质及其应用
策略方法 应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．
(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(Sn≠0)成等比数列求解．
【典例1】（单选题）在正项等比数列中，，，则的公比（ ）
A．2B．C．2或D．或
【答案】D
【分析】由题意可得，从而可得，求得或，进而可求解.
【详解】在正项等比数列中，，
，又，解得或，
当时，，，；
当时，，，.
故选：D.
【典例2】（单选题）“”是“，，成等比数列”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
【答案】B
【分析】判断“”和“，，成等比数列”的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由题意当时，成立，但此时，，构不成等比数列；
反之，当，，成等比数列时，必有成立，
故“”是“，，”成等比数列的必要不充分条件，
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由可得，又，
故，则，解得，即.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由下标和性质求出，再由下标和性质计算可得.
【详解】由，得，
则.
故选：B
3．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知正项等比数列，若，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】B
【分析】根据等比中项，先求出，然后根据求出公比，最后求
【详解】根据等比中项，，
又是正项数列，故（负值舍去）
设等比数列的公比为，由，
即，解得（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
4．（2023·贵州·校联考模拟预测）在等比数列中，，，则（ ）
A．3B．6C．9D．18
【答案】B
【分析】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得.
【详解】因为，，所以，解得，则．
故选：B
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知为递增的等比数列，且满足，，则（ ）
A．B．1C．16D．32
【答案】C
【分析】首先化简等式，并结合等比数列的性质求得，再根据等比数列的基本量求.
【详解】由题意，，
联立，则或
因为是递增的数列，得，
设等比数列的公比为，则
.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】首先由前3项的和为7，得出，再由前3项的积为8，根据下标和定理得出，则代入求值，结合为递增的等比数列，得出的值，根据等比数列通项公式即可得出．
【详解】由前3项的和为7，得
前3项的积为8，得，即，
则，代入，得，即，解得或，
因为为递增的等比数列，
所以，则，
所以，
故选：D．
7．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差、等比中项的性质求得，，进而可得，，代入目标式求正切值即可.
【详解】因为是等差数列，所以，故，则，
因为是等比数列，所以，故，则，
所以.
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）等比数列4+x，10+x，20+x的公比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等比中项的性质求出，再求解公比.
【详解】因为4+x，10+x，20+x为等比数列，
故，化简得20=4x，解得，
公比，
故选：D.
9．（2023·浙江·高三专题练习）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．2023B．2024C．4046D．4048
【答案】B
【分析】根据成等比数列列方程，得到，再计算即可.
【详解】设数列的公差为d，且，
若成等比数列，则，又 ，
所以，化简，，
又，所以，
所以.
故选：B.
10．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，
因为成等比数列，所以，即，
因为，所以，
所以.
故选：A
11．（2023·全国·高三专题练习）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（ ）
A．180B．198C．189D．168
【答案】A
【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项，再利用求和公式求它的第4项到第11项的和.
【详解】设递增等差数列的公差为，则，
且是，的等比中项，
，
解得，
第4项到第11项的和为
所以，
即数列的第4项到第11项的和为180.
故选：A．
二、多选题
12．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用等比数列的通项公式及性质计算判断作答.
【详解】正项等比数列的公比为，则，
由，得，B正确；
而，于是，即，A错误；
而，则，C错误；
由，得，即，因为，
因此，显然，所以，解得，D正确.
故选：BD
13．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由正项等比数列知，又且知：且，再由等比数列的性质有即可判断各选项的正误.
【详解】由题意知：，即中一个大于1，另一个小于1.
∵等比数列的各项均为正数，公比为，即，
∴要么递增，要么递减，而，
∴综上知：，即为递减数列且，
∵，又，
∴，而.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：由等比正项数列性质，结合已知推出，，并结合应用等比数列下标和相等的两项之积相等，判断，与1的大小关系.
三、填空题
14．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列是等比数列，且，则 ．
【答案】4
【分析】根据等比数列的性质求解即可．
【详解】根据等比数列的性质，有，
则，解得，
所以．
故答案为：4．
15．（2023·河北·校联考三模）若数列为等比数列，则 ．
【答案】4
【分析】根据等比数列的性质列出方程，求出，从而计算出答案.
【详解】由题意得，，解得，，
故.
故答案为：4
16．（2023·河北·统考模拟预测）若数列为等比数列，，，则 ．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质,得，再通过分析可得.
【详解】解: 根据等比数列的性质得，，所以，
又，所以，所以
所以,
故答案为：.
17．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中，，，则公比q的值为 .
【答案】或
【分析】根据等比数列性质得到，结合得到是方程的两根，从而求出，得到公比.
【详解】∵，，
∴是方程的两根，
∴或，
∵，
∴或，
∴或
故答案为：或
18．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列为等差数列．为等比数列，且成等差数列．则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质，以及等比数列的通项公式化简可得的值，再结合等比数列的性质即可求得答案.
【详解】设的公比为，则由成等差数列，
可得，
而为等差数列．则，
所以，即，解得，
故，
故答案为：
19．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知数列是等比数列，若数列的前4项和为，且，则 .
【答案】
【分析】由已知可得数列是等比数列，设公比为，则.然后根据已知列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得数列是等比数列，设公比为，则.
显然，
由题意可得，，
两式相除可得，，所以，所以.
故答案为：.
题型三 等比数列的前n项和
策略方法
等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，．
【典例1】（单选题）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（ ）
A．4B．16C．32D．64
【答案】D
【分析】通过讨论的取值情况，确定，利用等比数列的求和公式，建立方程组，求出和，进而求得的值．
【详解】当公比 时可得，代入，与矛盾，所以.
由等比数列的前项和公式 ，可得，
两式相除，得 ，可解得或（舍），
当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式.
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（ ）
A．7B．9C．15D．30
【答案】C
【分析】先根据已知条件并结合等比数列的通项公式求得公比，再求出各项得出结果即可.
【详解】由，得，
即，由等比数列，
得，即.
由题知，所以.
所以.
故选：C.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列满足，则（ ）
A．40B．81C．121D．156
【答案】C
【分析】设出公比，列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为，
由可得，，
因为，所以，因为，解得，
所以，所以.
故选：C.
3．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考期末）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
4．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等比数列通项公式以及前项和的公式即可求解.
【详解】因为，所以.
所以，
解得.
，，解得.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，已知，则其前5项的和的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】条件中仅知道的值，将前5项均用含的式子表示，从而求出的表达式．
【详解】根据题意，设等比数列公比为.
．
设，由对勾函数性质知．
∴，依据二次函数单调性得．
故选A．
6．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
7．（2023·北京大兴·校考三模）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为0；③数列中一定不可能出现；④数列中一定不可能出现.其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】对于①③举反例即可，对于②举反例即可，④利用反证法即可.
【详解】对于①，例如，
当时，，故①不正确；
对于②，例如，则恒成立，故②不正确；
对于③，由① ，
，故③不正确；
对于④，若，
则，
即，
因为，所以，
由，
所以数列中一定不可能出现，故④正确；
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等比数列求和公式，求得前三项的和，结合基本不等式可以求得取值范围.
【详解】因为等比数列中，
所以，
所以当时，当且仅当时，等号成立；
当时，，
当且仅当时，等号成立；
所以前3项的和的取值范围是.故选：D
9．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】对于A，B：利用通项公式直接判断；对于C：举反例即可判断；对于D：分类讨论： 和且时判断出，直接判断；当，利用前n项和公式直接判断.
【详解】设等比数列的公比为，则.
对于A：.
因为，，所以.故A错误；
对于B：.
因为，，所以.故B错误；
对于C：当,时,有.故C不一定成立；
对于D：当时,由,得,则.
当时,①若且,则由,得,进而有,此时；
②若,则,.因为,得，所以.
综上所述,D一定成立.
故选：D
10．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式列方程求解.
【详解】设的公比为，
则，解得，
由，解得，
所以，
解得.
故选：C
11．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．64B．81C．128D．192
【答案】B
【分析】根据等比数列性质结合求和公式，基本量运算，写出通项公式即得.
【详解】由等比数列的性质可知，所以，
由，得，所以，解得或（舍去），
所以.
故选：B.
12．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前4项和为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，讨论不成立，时，由等比数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可得出答案.
【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾；
所以，则，解得，
所以．
故选：A．
二、多选题
13．（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由已知可得，逐个验证选项即可.
【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，
，故A错误；，故B正确；
，，则，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
14．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考期中）设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】将选项中的a、b值代入题中式子，判断数列类型，根据数列类型求解即可.
【详解】当，时，，所以.
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则，故正确.
当，时，，即.因为，所以，
则，故错误.
当，时，，因为，所以，，
所以是周期为2的周期数列，则，故错误.
当，时，，则，即.
因为，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即，故正确.
故选：AD
15．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）数列满足：，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．，
C．是等比数列D．，
【答案】ABD
【分析】令得出，可判断选项A；由已知构造与已知等式作差，可判断选项B，C；数列的首项为，从第2项开始构成等比数列，求和即可判断选项D.
【详解】在中，令，则，，．A正确．
当时，将与，
两式相减得，，即．而，所以B正确，C不正确．
因为，，所以D正确．
故选：ABD．
16．（2023秋·广西河池·高二统考期末）在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项．
【详解】设等比数列的公比为，
，，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
17．（2023·全国·校联考模拟预测）已知公比小于0的等比数列的前n项和为．若，，则 ．
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，将代入，得，
所以，解得或q=2（舍去），所以．
故答案为：．
18．（2023·贵州·校联考二模）已知等比数列的前3项和为168，，则 ．
【答案】24
【分析】根据等比数列通项及其前n项和的通项，设的公比为q，代入计算，解得 即可求解.
【详解】设等比数列的公比为q，则即，解得，∴．
故答案为：24.
19．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
20．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）在等比数列 中， 为数列的前n项和，，，则＝
【答案】21
【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，再利用性质计算作答.
【详解】设等比数列的公比为，由，，得，
而，于是，
所以.
故答案为：21
21．（2023·全国·校联考模拟预测）若等比数列的前n项和为，，，则等比数列的公比为 ．
【答案】3
【分析】设等比数列的公比为，由等比数列的前n项和公式及等比数列的通项公式代入求解即可得出答案；
【详解】方法一：设等比数列的公比为，
由，得．
又，所以，即，
所以，解得q=3．
方法二：设等比数列的公比为，若q=1，
则，，显然，所以．
由，，得，即，．
因为，所以．
故答案为：3．
22．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，，成等差数列，则 .
【答案】
【分析】利用等差中项的定义及等差数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】设等比数列的首项为，
因为6，，成等差数列，
所以，即，
又，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
23．（2023·河北·统考模拟预测）已知等比数列的首项，公比，，且，则的前2023项和为 .
【答案】2
【分析】利用条件求出等比数列的首项与公比，再利用等比数列的前项和公式即可求出结果.
【详解】因为，所以，化为，解得或，
又因为，所以，又因为，所以，得到或，
又，所以，故，
所以，
故答案为：.
24．（2023·江西九江·统考三模）已知数列{}的前n项和为，且满足，则=
【答案】
【分析】根据数列的递推关系式即可求得的值.
【详解】因为，
所以
故答案为：.
25．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为 .
【答案】7
【分析】根据等比数列的基本量计算以及求和公式可得，解不等式即可.
【详解】由的公比为 ，所以 ，令，由于，所以成立的的最小值为7，
故答案为：7
26．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，且满足，则当 时，最大.
【答案】7或8
【分析】利用等比数列性质和前n项和公式求基本量，进而写出通项公式，令求n范围，即可确定答案.
【详解】由题意，，所以，解得.
又252，解得.
所以.
令得：，又，
所以当或8时，最大.
故答案为：7或8
四、解答题
27．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求的值及数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据题意列方程组可求出，从而可出，当时，由，得，两相减化简可求出，
（2）由（1）可得，则可求出的值，设，则，所以是以8为公比，为首项的等比数列，然后由等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
解得， 所以
因为，
所以当时，；
当时，由，得，
所以，
显然符合．综上可知．
（2）由（1）知，，
设，则
所以是以8为公比，为首项的等比数列，
所以数列的前项和为
28．（2023·全国·高三专题练习）从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．问：
(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？
【答案】(1)0.0125kg；
(2)一共倒出0.39375kg盐，最后的质量分数为0.3125％．
【分析】（1）根据给定的信息，构造等比数列并求其通项作答.
（2）由（1）中信息，利用等比数列前n项和公式求和，再代值求出项作答.
【详解】（1）每次倒出的1kg盐水中含盐的质量依次排成一列，构成数列，
每次倒出1kg盐水，再加入1kg清水后，盐的质量分数依次排成一列，构成数列，记原有盐的质量分数为，
则，，当时，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，显然也满足上式，
依题意，，，，
所以第5次倒出的1kg盐水中含盐.
（2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，
经6次倒出后，共倒出的盐（），
此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为.
所以一共倒出盐，最后盐的质量分数为．
29．（2023秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）设等差数列的公差为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可求出等差数列的公差和首项，即可得答案；
（2）由题设可得时，，即可推出，求得的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意等差数列的公差为，且，，
即，解得，
故，
即数列的通项公式为.
（2）因为①，
则时，，
故当时，②，
①②可得，而也适合该式，
故，又，所以，
则数列是以为首项，公比为的等比数列，
故.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
【答案】(1)证明见解析
(2)99
【分析】（1）由已知得再由等比数列的定义可得答案；
（2）由（1）求出，再由等比数列的求和公式可得，令，根据的单调性可得答案.
【详解】（1），，
，，
是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）：，，
，
令，
因为在单调递增，
所以在单调递增，
单调递增，，
可得，所以满足条件的最大整数为.
31．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知数列满足.
(1)证明为常数列，并求数列的通项公式；
(2)设为数列落在区间内的项的个数，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意，由递推关系变形即可得到为常数列，从而得到数列的通项公式.
（2）根据题意，由条件可得数列是首项为2，公比为3的等比数列，再由等比数列的求和公式即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以.
所以，即.
所以为常数列.
又，所以，即.
（2）由题意，得，所以.
所以，故.
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列.
所以.
32．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项.
(1)求；
(2)设数列满足，，数列的前项和为.求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用等比数列的通项公式列出方程求得的值，进而求得数列的通项公式；
（2）根据题意，利用，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由，得，
又由是，的等差中项，可得，即，
则， 即，
可得，解得或，
因为，所以，
将代入，可得，
所以，即.
（2）解：因为数列满足，，
可得，
，
所以当时，，
又因为也满足上式，所以，
则，
所以
.
题型四 等比数列中与的关系
策略方法 等比数列中与的关系
数列的前项和和通项的关系：则
【典例1】（单选题）在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（ ）
A．0B．1C．3D．4
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】是以为公比的等比数列,
所以，
所以公比进而，
所以，
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．3B．6C．9D．18
【答案】D
【分析】由条件用参数表示前三项计算即可.
【详解】，，
故，解之得或（舍去），故.
故选：D
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【分析】先根据的定义依次求出，再由等比数列的定义即可得到关于的关系式，解之即可得出答案.
【详解】因为，
当时，，
当时，，则，
当时，，则，
因为是等比数列，所以，则，
所以，解得，
则，
则.
故选：B.
3．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{}满足：则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据的关系可推导出为等比数列，进而可得.
【详解】由题意，，即，又，
故是以1为首项，2为公比的等比数列，
故，故.
故选：B
4．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根据前n项和与通项之间的关系分析可得数列是以首项，公比的等比数列，结合等比数列运算求解.
【详解】因为，则，整理得，
且，所以数列是以首项，公比的等比数列，
则，
所以.
故选：C.
5．（2023·山西阳泉·统考二模）已知等比数列的前项和，满足，则（ ）
A．16B．32C．81D．243
【答案】A
【分析】根据，作差得到等比数列的公比为，再求出，最后根据等比数列的通项公式计算可得.
【详解】等比数列的前项和为，且，
∴，
∴，∴，故等比数列的公比为．
在中，
令，可得，∴，则．
故选：A．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项合为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，由可求出的值，再令，由得出，两式相减可得出数列为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的求和公式可求出的值.
【详解】因为，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
即.
则是首项为，公比为的等比数列，
故.
故选：C
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．数列是等比数列
C．若数列的前n项和，则
D．若首项，公比，则数列是递减数列
【答案】BC
【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，，
A选项，由于，所以与的符号相同，所以A选项错误.
B选项，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确.
C选项，，
当时，，
则，
由于是等比数列，所以，C选项正确.
D选项，若首项，公比，则，所以D选项错误.
故选：BC
8．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，则成等比数列
【答案】BC
【分析】根据；即可判断选项A，B；根据等差数列的性质易判断选项C；易举反例判断选项D．
【详解】对于A，当时，；
当时，；
经检验：不满足，数列自第二项起为等差，A错误；
对于B，当时，；
当时，；
经检验：满足，，
数列是等比数列，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，，，此时不构成等比数列，D错误.
故选：BC.
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则 ．
【答案】
【分析】根据条件先令求得，再当时，由，得到，根据等比数列的定义和通项公式，即可求解.
【详解】因为，
所以当时，，解得：，
当时，，，
则，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为且，则 ．
【答案】
【分析】由，利用与的关系即可解出.
【详解】解：当时，，
当时，由，
得，
两式相减得，
又，
所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，满足，，则 ．
【答案】160
【分析】先通过递推式证明是等比数列，再按照等比数列的求和公式求解即可.
【详解】因为，
当时，，，解得．
当时，两式相减得，
化简得：，又，故是以4为首项，3为公比的等比数列，
则．
故答案为：160.
12．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，若则 ．
【答案】.
【详解】时，时，，可得，即数列从第二项起为等比数列，时， ，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据与的关系，结合已知等式，利用等比数列的定义进行证明即可；
（2）结合（1）的结论，利用放缩法、等比数列前项和公式进行运算证明即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
（2）由（1）可知，所以，
所以．
14．（2023·上海·高三专题练习）记为数列的前项和，已知，（为正整数）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若，求正整数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算，确定数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式.
（2）验证时不成立，当时，确定，代入计算得到，解得答案.
【详解】（1）由，，得，
且当时，，即.
故数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，，
故数列的通项公式为，
（2）当时，，又.
当时，，不满足条件；
当时，
由，
解得.
题型五 等比数列的函数特性
策略方法
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
【典例1】（单选题）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】先根据，得到递增，充分性成立，再推导出必要性成立.
【详解】因为各项为正数，且，所以，即，
所以为递增数列，充分性成立，
若为递增数列，则，因为各项为正数，所以，必要性成立.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先确定,由得,根据的单调性确定的取值范围.
【详解】是等比数列，故，当时， 各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然，
由得，又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知.
故选:D
2．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式与求和公式求出公比q，进而即可求解
【详解】设公比为q（显然），
由得，
即，得或（舍去），
所以递增且，
所以最小值为．故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，公比是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：当时，则，
因为，所以，所以，
故，
所以不能推出，
当时，则，
由，得，
则，所以，
所以不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．（2023·上海浦东新·统考三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】D
【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.
【详解】不妨设，则，满足，
但是严格减数列，充分性不成立，
当时，是严格增数列，但，必要性不成立，
故甲是乙的既非充分又非必要条件.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．为递减数列B．为递增数列
C．数列有最大项D．数列有最小项
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，分析可知，取，可判断AB选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项.
【详解】设等比数列的公比为，由已知，则，
由可得且，
对于AB选项，若，，
当为奇数时，，此时，则，
当为偶数时，，此时，则，
此时数列不单调，AB都错；
对于CD选项，，
当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；
当时，若为正奇数时，，则，
此时单调递减，则；
当为正偶数时，，则，此时单调递增，则.
故当时，的最大值为，最小值为.
综上所述，有最小项.
故选：D.
6．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设且n ≥ 2，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B
7．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】设公比为，则，由，得，根据为递增数列，推出，再推出，，，，，，，可得结果.
【详解】设公比为，则，
由，得，
因为，所以为递增数列，
所以，
所以，，
，，
，，
，，
所以n的最小为8.
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．的最大值为
【答案】B
【分析】根据已知条件分情况讨论判断得，进而可判断其它选项．
【详解】解：若，，
，
则与矛盾，
若，，
，
则与矛盾，
，
故B正确；
，则，
，故A错误；
，
单调递增，故D错误；
，
，故C错误．
故选：B．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可知，由得，设，则，利用一次函数和指数函数的性质，结合图形，可得时；时；时，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为()，
若，则，得，解得，不符合题意；
所以，得，又，
令，得，即①，
设，则且，
所以①式变为，
由题意，知和是方程的两个解，
令，且，
则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点，
作出两个函数图象，如图，

当函数与单调递增或递减时，才会有2个解，
且无论哪种情况，都有时，；
时，；时，；
所以，，，，
即，，，.
故选：C.
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意得，为单调递增数列，进而作出函数图象，结合图象性质说明即可.
【详解】解：设的公比为，的公差为，
所以，，，
所以，由可知为单调递增数列，即
因为，，，
所以，即，数列为单调递增数列，
作出函数，的图象如图所示，
由上述图象可知，当时，两函数图象在处相交，
所以，当时，，当或时，.
故选：BCD.
11．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BD
【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.
【详解】由题意，同号，即与同号，， 又有…①或…②；
若为①，则有 ，即；
若为②，则有，则不可能大于1，即②不成立；
，并且，，即是递减的正数列， A错误；
所以，B正确；
，即对任意的n都成立，C错误；
当时，，当时，，是的最大值，D正确；
故选：BD.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．当且仅当时，取得最大值
C．D．
【答案】ACD
【分析】由等比数列各项积的意义判断A，根据等比数列的通项公式结合A求出公比判断C，等比数列各项积的意义及所给条件判断B，由等比数列通项公式、等差数列求和公式计算可判断D.
【详解】因为，所以，故A正确；
又，即，解得，故C正确；
由知等比数列为递减数列，且，故取得最大值为，故B错误；
因为，
所以成立，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）设等比数列的前n项和为，写出一个满足下列条件的的公比 ．
①，②是递减数列，③．
【答案】（答案不唯一，只要即可）
【分析】依题意可得，从而得到，进而可得到答案．
【详解】由，得，
又因为，所以，
又是递减数列，所以．
故答案为：（答案不唯一，只要即可）．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，且满足，则当 时，最大.
【答案】7或8
【分析】利用等比数列性质和前n项和公式求基本量，进而写出通项公式，令求n范围，即可确定答案.
【详解】由题意，，所以，解得.
又252，解得.
所以.
令得：，又，
所以当或8时，最大.
故答案为：7或8
15．（2023·全国·模拟预测）能说明“设数列的前项和，对于任意的，若，则”为假命题的一个等比数列是 ．（写出数列的通项公式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据数列的单调性结合的符号可得出结果.
【详解】取，则，则，
但，故满足题意.
故答案为：.（答案不唯一）
16．（2023·全国·高三专题练习）等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ．
【答案】2
【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值．
【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，
则由题意可得，且．
，．
又由等比数列的性质可得，．
故答案为：2．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知得，由此能求出的取值范围.
【详解】解：∵是递增的等比数列，且，
，且，
，
∵是递增的等比数列，，
同理，，即，即，
，
当时，有，由，得：，得：，矛盾，舍去；
当时，有，由，得：，得：符合.
故当时，单调增，取值为，
，∴的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查等比数列的首项的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的公式的合理运用.
题型六 等比数列的判定与证明
策略方法 判定一个数列为等比数列的常见方法
【典例1】（单选题）已知是数列的前项和，且满足，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的值，由可得出，分析可知数列从第二项开始成以为公比的等比数列，由此可求得的值.
【详解】由已知可得，
当时，由可得，两式作差可得，则，又，
所以，数列是从第二项开始以为公比的等比数列，
则.
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用等比数列的定义得到数列为等比数列，从而求出通项，利用通项即可求出结果.
【详解】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知，
所以为常数，又，
所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，
故选：C．
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．1458B．1460C．2184D．2186
【答案】A
【分析】根据的关系确定数列为等比数列，利用等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】由，可得，
两式相减可得，即，
当，
所以数列从第二项开始，是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以，
故选:A.
3．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知数列的前项和为，当时，，若，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】由递推关系求数列的通项公式，由条件解方程求的值.
【详解】因为当时，，
所以，又，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，故，
因为，所以，
解得.
故选：C.
4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，由此得到数列为等比数列，求出，再求出即可.
【详解】由，得，
所以，所以，
因为，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
所以．
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（ ）．
A．B．C．D．是等比数列
【答案】C
【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的定义，即可判断正误.
【详解】对于A，已知，所以，
所以，
，不符合上式，A选项错误；
对于B，已知，当首项为零时，不符合题意，B选项错误；
对于C，已知，所以，
则
所以，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，C选项正确；
对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为
则，
不符合等比数列的通项公式，D选项错误；
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知递推关系构造数列，结合等比数列的定义判断其为等比数列，进而求得、，即可求.
【详解】∵，
∴，而当时，，即，则，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，即有，而，
∴，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：通过的递推关系构造数列，并确定其为等比数列，进而求、.
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足，则 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，结合与的关系求解作答.
【详解】数列的前n项和满足，即，
当时，，即有，
当时，，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，若，，则 ．
【答案】
【分析】由，可得当时，，两式相减可证得数列是以1为首项，公比为2的等比数列，即可求出的通项公式.
【详解】由已知，，①，
当时，，
当时，②，
①－②得：，整理得：，即，
又符合上式，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用数列的递推式得到，，从而推得，由此求得，同理可得，由此得解.
【详解】因为，，
所以，，得，
同时当时，有，，所以，
注意到当时，上式为，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；
同理可得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；
所以．
故答案为：.
10．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知数列各项均为正数，若，且，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式.
【详解】由已知可得，所以，，
所以，数列是等比数列，且该数列的首项为，公比为，因此，.
故答案为：.
三、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由已知及，求得的递推关系，可证得为等比数列.
【详解】（1）由题意，当时，，得，解得．
由题意知，①
当时，，②
①-②得，因为，所以．
则，∵，∴
所以是以为首项，2为公比的等比数列．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项．
(1)求证：数列是为等比数列．
(2)记，若，求n的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1009
【分析】（1）根据递归关系可得，故可证为等比数列.
（2）求出利用不等式的性质可求n的最大值.
【详解】（1）根据题意，有．
又因为，所以数列为等比数列．
（2）由第（1）小题的结果，可得，
从而．
因此若，则n的最大值为1009．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．
(1)证明：为等比数列．
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用条件变形化简得到，根据等比数列的定义即可得到证明；
（2）利用（1）中的条件，求出，再结合条件即可得出结果.
【详解】（1）由题意知
，
所以为等比数列．其首项，．
（2）由（1）可知，又，
所以．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
【答案】(1)证明见解析
(2)99
【分析】（1）由已知得再由等比数列的定义可得答案；
（2）由（1）求出，再由等比数列的求和公式可得，令，根据的单调性可得答案.
【详解】（1），，
，，
是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）：，，
，
令，
因为在单调递增，
所以在单调递增，
单调递增，，
可得，所以满足条件的最大整数为.
①等比数列基本量的计算
②等比数列的性质及其应用
③等比数列的前n项和
④等比数列中中与的关系
⑤等比数列的函数特性
⑥等比数列的判定与证明