2026年高考物理一轮讲义(福建专用)第38讲洛伦兹力带电粒子在匀强磁场中的运动(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考物理一轮讲义(福建专用)第38讲洛伦兹力带电粒子在匀强磁场中的运动(复习讲义)(学生版+解析)，共2页。
\l "_Tc8184" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc8184 \h 3
\l "_Tc10657" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc10657 \h 4
\l "_Tc30949" 考点一 洛伦兹力的理解及应用 PAGEREF _Tc30949 \h 4
\l "_Tc25356" 知识点1 洛伦兹力的大小与方向 PAGEREF _Tc25356 \h 4
\l "_Tc1713" 知识点2 洛伦兹力、安培力和电场力的比较 PAGEREF _Tc1713 \h 4
\l "_Tc30626" 知识点3 半径公式与周期公式 PAGEREF _Tc30626 \h 4
\l "_Tc19104" 考向1 洛伦兹力的理解及应用 PAGEREF _Tc19104 \h 5
\l "_Tc29667" 考向2 半径公式与周期公式的应用 PAGEREF _Tc29667 \h 6
\l "_Tc5718" 考点二 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 PAGEREF _Tc5718 \h 7
\l "_Tc1404" 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 PAGEREF _Tc1404 \h 7
\l "_Tc24826" 知识点2 带电粒子在有界磁场中的运动 PAGEREF _Tc24826 \h 8
\l "_Tc3683" 考向1 直线边界磁场 PAGEREF _Tc3683 \h 9
\l "_Tc22124" 考向2 平行边界磁场 PAGEREF _Tc22124 \h 11
\l "_Tc7599" 考向3 圆形边界磁场 PAGEREF _Tc7599 \h 12
\l "_Tc31038" 考向4 三角形、四边形边界磁场 PAGEREF _Tc31038 \h 13
\l "_Tc25656" 考点三 带电粒子在磁场中运动的多解问题 PAGEREF _Tc25656 \h 14
\l "_Tc13641" 知识点 常见多解类型及分析 PAGEREF _Tc13641 \h 14
\l "_Tc11082" 考向 带电粒子在磁场中运动多解问题 PAGEREF _Tc11082 \h 15
\l "_Tc28694" 考点四 带电粒子在组合场中的运动 PAGEREF _Tc28694 \h 16
\l "_Tc17910" 知识点1 带电粒子在组合场中运动的分析 PAGEREF _Tc17910 \h 16
\l "_Tc19833" 知识点2 两类基本组合场 PAGEREF _Tc19833 \h 17
\l "_Tc31161" 考向1 先电场后磁场 PAGEREF _Tc31161 \h 18
\l "_Tc21002" 考向2 先磁场后电场 PAGEREF _Tc21002 \h 19
\l "_Tc407" 考点五 带电粒子在叠加场中的运动 PAGEREF _Tc407 \h 20
\l "_Tc6753" 知识点1 重力场、电场和磁场 PAGEREF _Tc6753 \h 20
\l "_Tc9951" 知识点2 带电粒子在叠加场中的直线运动 PAGEREF _Tc9951 \h 21
\l "_Tc21828" 知识点3 带电粒子在叠加场中的圆周运动 PAGEREF _Tc21828 \h 21
\l "_Tc1323" 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运动 PAGEREF _Tc1323 \h 21
\l "_Tc24610" 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 PAGEREF _Tc24610 \h 22
\l "_Tc31589" 考向3 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 PAGEREF _Tc31589 \h 23
\l "_Tc7505" 考点六 复合场中的各类仪器 PAGEREF _Tc7505 \h 24
\l "_Tc958" 知识点1 组合场中的各类仪器 PAGEREF _Tc958 \h 24
\l "_Tc2180" 知识点2 叠加场中的各类仪器 PAGEREF _Tc2180 \h 25
\l "_Tc20698" 考向1 质谱仪 PAGEREF _Tc20698 \h 25
\l "_Tc1256" 考向2 回旋加速器 PAGEREF _Tc1256 \h 26
\l "_Tc19777" 考向3 速度选择器 PAGEREF _Tc19777 \h 27
\l "_Tc25503" 考向4 磁流体发电机 PAGEREF _Tc25503 \h 28
\l "_Tc15226" 考向5 电磁流量计 PAGEREF _Tc15226 \h 29
\l "_Tc26484" 考向6 霍尔元件 PAGEREF _Tc26484 \h 30
\l "_Tc31633" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc31633 \h 30


考点一 洛伦兹力的理解及应用
\l "_Tc25045" 知识点1 洛伦兹力的大小与方向
1．定义：运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。
2．方向
(1)判定方法：左手定则
掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
3．大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝eq \a\vs4\al(0)。
\l "_Tc25045" 知识点2 洛伦兹力、安培力和电场力的比较
1．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
2.洛伦兹力与电场力
知识点3 半径公式与周期公式
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
3．半径和周期公式：(v⊥B)
带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力
(1)由qvB＝m eq \f(v2,r) ，得r＝ eq \f(mv,qB) 。
(2)由v＝ eq \f(2πr,T) ，得T＝ eq \f(2πm,qB) 。
特别提醒：对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v等的改变，往往造成轨道半径和运动周期的改变。
.
\l "_Tc17630" 考向1 洛伦兹力的理解及应用
例1 （2025·福建宁德·三模）如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（ ）
A．带正电荷B．沿方向运动
C．穿过金属板后，轨迹半径变小D．穿过金属板后，所受洛伦兹力变大
【变式训练·变载体】（2024·福建·模拟预测）如图所示，真空中竖直放置一根通电长直金属导线，电流方向向上。是一根水平放置的内壁光滑绝缘管，端点分别在以为轴心、半径为R的圆柱面上。现使一个小球自a端以速度射入管，小球半径略小于绝缘管半径且带正电，小球重力忽略不计，小球向b运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球的速率始终不变
B．洛伦兹力对小球先做正功，后做负功
C．小球受到的洛伦兹力始终为零
D．管壁对小球的弹力方向先竖直向下，后竖直向上
\l "_Tc16322" 考向2 半径公式与周期公式的应用
例2 （2024·福建漳州·模拟练习）下图为洛伦兹力演示仪，励磁线圈产生的匀强磁场B方向垂直纸面向外，电子经电子枪（加速电压为U）由静止加速后垂直磁场水平向右射出，如图所示。忽略电子间的相互作用，则电子做圆周运动时（ ）
A．运动的速率与U成正比
B．若B不变，运动周期与U无关
C．若B不变，轨道半径与U成正比
D．若U不变，轨道半径与B成反比
【变式训练1·变考法】（2024·福建龙岩·模拟练习）质量和电荷量大小都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，M和N运行的半圆轨迹如图中的虚线所示，则 M带 （选填“正电”或“负电”）；M的运行时间 N的运行时间（选填“>”“=”或“”“=”或“0）的带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好垂直于y轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求：
(1)粒子在磁场中的运动半径r；
(2)磁感应强度B的大小：
(3)粒子从P点射入到第三次到达y轴的时间t。

考点五 带电粒子在叠加场中的运动
\l "_Tc25045" 知识点1 重力场、电场和磁场
1．三种场的比较
2．关于是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。
\l "_Tc25045" 知识点2 带电粒子在叠加场中的直线运动
(1)带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。
(2)带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。
\l "_Tc25045" 知识点3 带电粒子在叠加场中的圆周运动
(1)带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。
(2)洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。
(3)带电粒子在叠加场若存在合力且不等于洛伦兹力，粒子将做一般曲线运动。解决方法可以用运动的合成与分解。
\l "_Tc17630" 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运动
例1 （2024·福建·一模）如图，内径为r=1m、外径为2r=2m的圆环内有垂直纸面向里的匀强磁场。圆环左侧的平行板电容器两板间距离为r，电压大小为U=8×10⁴V，板间存在与圆环内相同的匀强磁场。比荷为1×10⁴C/kg的正离子从电容器左侧水平飞入，在两板间恰好做匀速直线运动，并沿圆环直径方向射入环形磁场，求：
（1）当两匀强磁场的磁感应强度大小均为。时，离子射入两板间的速率以及离子在环形磁场中做圆周运动的半径；
（2）保持两磁场相同，仍使离子在两板间做匀速直线运动且不进入小圆区域，磁感应强度B的取值范围。
【变式训练1·变载体】（2025·福建厦门·模拟预测）在一根足够长的竖直绝缘杆上，套着一个质量为m、带电量为的小球，球与杆之间的动摩擦因数为场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场方向如图所示，小球由静止开始下落。小球开始下落时的加速度为 ，小球运动的最大加速度为 。

\l "_Tc16322" 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动
例2 （2025·福建福州·三模）如图竖直平面直角坐标系xOy，在y轴右侧区域内同时存在匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向水平向左（大小未知），匀强磁场方向垂直于纸面（图中未画出）。一质量为m，电量为q的小球，从a（，L）点水平向右抛出，经O点进入y轴右侧区域后，恰能沿直线运动。小球的运动均在竖直面内，空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)小球水平抛出的初速度；
(2)小球的电性、磁感应强度的大小和方向；
(3)若小球直线运动到b点（图中未标出）时撤去电场，磁场保持不变，经一段时间小球运动至c点（图中未标出）时速度大小为，求b、c两点间的竖直高度。
【变式训练】如图所示，在地面附近有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场.磁感应强度为B。一质量为m、带电荷量为的带电微粒在此区域竖直平面内恰好做逆时针方向的、速度大小为v的匀速圆周运动.某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°，如图所示（重力加速度为g）（ ）
A．电场强度的方向竖直向下
B．磁感应强度方向水平并垂直纸面向外
C．从P点运动到距地面最高点至少须经时间
D．最高点距地面的高度为
\l "_Tc16322" 考向3 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动
例2 （2025·福建·模拟预测）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点沿轴正方向水平入射。入射速度为时，电子沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。若电子入射速度在范围内均匀分布，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度
B．若电子入射速度为，运动到速度为时位置的纵坐标为
C．若电子入射速度为，最大运动速度为
D．能到达位置的电子的百分比为

考点六 复合场中的各类仪器
知识点1 组合场中的各类仪器
1.质谱仪
（1）作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。
（2）原理(如图所示)
①加速电场：qU＝ eq \f(1,2) mv2。
②偏转磁场：qvB＝ eq \f(mv2,r) ，l＝2r，由以上两式可得r＝ eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q)) ，m＝ eq \f(qr2B2,2U) ， eq \f(q,m) ＝ eq \f(2U,B2r2) 。
回旋加速器
（1）构造
如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。
（2）原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次。
（3）最大动能
由qvmB＝ eq \f(mvm2,R) 、Ekm＝ eq \f(1,2) mvm2得Ekm＝ eq \f(q2B2R2,2m) ，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
（4）总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝ eq \f(Ekm,qU) ，粒子在磁场中运动的总时间t＝ eq \f(n,2) T＝ eq \f(Ekm,2qU) · eq \f(2πm,qB) ＝ eq \f(πBR2,2U) 。
知识点2 叠加场中的各类仪器
考向1 质谱仪
例1 （2024·福建漳州·三模）如图，一质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器构成。静电分析器通道的圆弧中心线半径为R，通道内有均匀辐向电场，方向指向圆心O，中心线处各点的电场强度大小相等。磁分析器中分布着方向垂直于纸面的有界匀强磁场，边界为矩形CNQD，，。质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），由静止开始从A板经电压为U的电场加速后，沿中心线通过静电分析器，再由P点垂直磁场边界进入磁分析器，最终打在胶片ON上，则（ ）
A．磁分析器中磁场方向垂直于纸面向外
B．静电分析器中心线处的电场强度
C．仅改变粒子的比荷，粒子仍能打在胶片上的同一点
D．要使粒子能到达NQ边界，磁场磁感应强度B的最小值为
【变式训练1·变载体】（2025·福建·三模）如图所示为某种质谱仪工作原理示意图，离子从电离室A中的小孔S1飘出（初速度不计），经电压为U的加速电场加速后，通过小孔S2，从磁场上边界垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，运动半个圆周后打在照相底片D上并被吸收形成谱线。照相底片D上有刻线均匀分布的标尺（图中未画出），可以直接读出离子的比荷，则可以通过 （选填“增大”或“减小”）磁感应强度B来增大不同离子形成谱线之间的间隔，标尺上各刻线对应比荷的值是 （选填“均匀”“不均匀”或“不是均匀无法确定”）的
考向2 回旋加速器
例2（2023·福建龙岩·模拟预测）回旋加速器的原理示意图如图所示，两个中空、半径为R的D型金属盒置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中，在两盒的狭缝处接电压大小为U，方向做周期性变化的交流电，其周期为T。一初速度为0的带电粒子在两盒之间被电场加速，经多次回旋，达到最大动能Ek。不计粒子在电场中的运动时间，不考虑相对论效应。下列说法正确的是（ ）
A．该粒子的最大速度只与D形盒的半径R有关
B．交流电的周期T必须等于该粒子在D形盒中运动周期的2倍
C．该粒子第3次被加速前、后做圆周运动的轨道半径之比为
D．该粒子被加速后的最大动能Ek与电压U大小无关
【变式训练】（2023·福建·模拟）回旋加速器主要结构如图，两个中空的半圆形金属盒接高频交流电源置于与盒面垂直的匀强磁场中，两盒间的狭缝宽度很小．粒子源S位于金属盒的圆心处，产生的粒子初速度可以忽略．用两台回旋加速器分别加速质子(H)和α粒子(He)，这两台加速器的金属盒半径、磁场的磁感应强度、高频交流电源的电压均相等，不考虑相对论效应，则质子和α粒子
A．所能达到的最大动量大小相等
B．所能达到的最大动能相等
C．受到的最大洛伦兹力大小相等
D．在达到最大动能的过程中通过狭缝的次数相等
考向3 速度选择器
例1 （福建厦门·一模）如图所示是速度选择器的原理图，已知电场强度为 E 、磁感应强度为 B 并相互垂直分布，某一带电粒子（重力不计）沿图中虚线水平通过．则该带电粒子
A．一定带正电
B．速度大小为
C．可能沿QP方向运动
D．若沿PQ方向运动的速度大于，将一定向下极板偏转
【变式训练】（·福建·高考真题）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子（）以速度自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（ ）（所有粒子均不考虑重力的影响）
A．以速度的射入的正电子
B．以速度射入的电子
C．以速度射入的核
D．以速度射入的a粒子
考向4 磁流体发电机
例2 如图所示，一种磁流体发电机，平行金属板A、B间距为，A、B之间有一个很强的磁场，磁感应强度大小为B，将一束等离子体（即高温下电离的气体含有大量正、负电粒子）以速度喷入磁场，A、B两极间便产生电压，在A、B两极板间接入电阻，则下列说法正确的是（ ）
A．通过电阻的电流方向为从流向
B．电阻两端的电压
C．电阻消耗的热功率
D．增大A、B两板间距，则流过电阻的电流会增大
考向5 电磁流量计
例3（2024·福建龙岩·一模）下列关于四种仪器的说法正确的是（ ）
A．甲中回旋加速器加速带电粒子的最大动能与加速电压有关
B．乙中不改变质谱仪各区域的电场、磁场时，击中光屏同一位置的粒子比荷不相同
C．丙中载流子为负电荷的霍尔元件有如图所示的电流和磁场时，N侧电势低
D．丁中长、宽、高分别为a、b、c的电磁流量计在如图所示的匀强磁场中，若流量Q恒定，前后两个金属侧面的电压与a、b无关
【变式训练】（2023·福建泉州·二模）如图，电磁流量计的测量管横截面直径为D，在测量管的上下两个位置固定两金属电极a、b，整个测量管处于水平向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。当含有正、负离子的液体从左向右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q（单位时间内流过的液体体积），下列说法正确的是（ ）
A．a极电势高于b极电势
B．液体流过测量管的速度大小为
C．a、b两极之间的电压为
D．若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大
考向6 霍尔元件
例4（2024·福建泉州·二模）利用霍尔效应制成的传感器被广泛应用于自动控制等领域。如图，宽为d的金属板置于匀强磁场中，磁场方向与金属板垂直，磁感应强度大小为B。当金属板通入如图所示的电流时，金属板 （填“上”“下”）表面聚集电子，产生霍尔电压；若已知电子定向移动速率为v，则金属板上产生的霍尔电压为 。

【变式训练】（2022·福建漳州·一模）小明用实验来探究自行车测速码表用的霍尔元件中自由电荷的电性。如图所示，设NM方向为x轴，沿EF方向（y轴）通入恒定电流I，垂直薄片方向（z轴）加向下的磁场B，测得沿 （填“x”或“z”）轴方向会产生霍尔电压，如果自由电荷为负电荷，则 （真“M”或“N”）板电势高。
1．（2025·福建·高考真题）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P点，重力加速度为,则（ ）
A．电场强度为
B．磁场强度为
C．NP两点的电势差为
D．粒子从N→P时距离NP的距离最大值为
2．（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：
(1)粒子经过时的速度大小；
(2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角；
(3)磁场的磁感应强度大小。
考点
要求
考频
2025年
2024年
2023年
洛伦兹力及有关洛伦兹力的半径周期公式
理解
低频
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带电粒子在有界磁场中的运动
应用
高频
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2023•福建T14
带电粒子在复合场中的运动
应用
高频
2025•福建T7
2024•福建T15
\
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：高考对洛伦兹力的单独考查不是太频繁，大多在计算题中带电粒子在磁场中运动的综合性问题中应用,对带电粒子在有界磁场及复合场中的运动的考查较为频繁，多以计算题中出现，并且一般作为高考试卷的压轴题出现，难度较大
3.备考建议：本讲内容备考时候，注意洛伦兹力大小及方向的理解，会利用左手定则判断洛伦兹力的方向理解并掌握带电粒子在磁场中运动的解题方法，理解和应用带电粒子在有界磁场中圆心和半径确定的方法掌握带电粒子在电磁复合场的基本规律。学会分析带电粒子的运动情景并解决问题。
4.命题情境：与现代科技相结合考查科学仪器，另考查带电粒子运动的综合计算题型
5.常用方法：动能定理、功能关系、动量守恒、运动的合成与分解法
复习目标：
1.理解和掌握带电粒子在有界磁场中圆心和半径确定的方法。
2.理解和掌握电磁场中各类仪器的原理。
3.能够利用电磁场中各类仪器的工作原理处理有关问题
4.学会处理带电粒子在磁场和磁场组合场中的运动。
5.学会处理带电粒子在磁场和电场组合场中的运动。
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
方向
F⊥B且F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功，可能做负功，也可能不做功
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq \f(L2＋d2,2d)
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝eq \f(θ,2π)·T
②t＝eq \f(L,v)
(1)速度的偏转角φ等于eq \x\t(AB)所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ＜180°，φ＝2α；φ＞180°，φ＝360°－2α
类型
分析
图例
带电粒子
电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向
不确定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态
不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
垂直电场线进入
匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入
匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹示例
求解方法
利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝ eq \f(qE,m) ·t，y＝ eq \f(1,2) · eq \f(qE,m) ·t2
偏转角φ满足：tan φ＝ eq \f(vy,vx) ＝ eq \f(qEt,mv0)
半径：r＝ eq \f(mv,qB)
周期：T＝ eq \f(2πm,qB)
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解
运动时间
t＝ eq \f(x,v0)
t＝ eq \f(φ,2π) T＝ eq \f(φm,Bq)
动能
变化
不变
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关W＝qU
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
装置
原理图
规律
共性规律
速度选
择器
若qv0B＝Eq，即v0＝ eq \f(E,B) ，粒子做匀速直线运动
稳定平衡时电荷所受电场力和洛伦兹力平衡，即q eq \f(U,d) ＝qvB
磁流体
发电机
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电荷，两极板间电压为U时稳定，q eq \f(U,d) ＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流
量计
当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q eq \f(U,d) ＝qvB，可得v＝ eq \f(U,Bd)
霍尔
元件
当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，b、a间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q eq \f(U,d) ，可得U＝vBd
第38讲 洛伦兹力 带电粒子在匀强磁场中的运动
目录
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc6898" 01考情解码·命题预警 PAGEREF _Tc6898 \h 2
\l "_Tc8184" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc8184 \h 3
\l "_Tc10657" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc10657 \h 4
\l "_Tc30949" 考点一 洛伦兹力的理解及应用 PAGEREF _Tc30949 \h 4
\l "_Tc25356" 知识点1 洛伦兹力的大小与方向 PAGEREF _Tc25356 \h 4
\l "_Tc1713" 知识点2 洛伦兹力、安培力和电场力的比较 PAGEREF _Tc1713 \h 4
\l "_Tc30626" 知识点3 半径公式与周期公式 PAGEREF _Tc30626 \h 4
\l "_Tc19104" 考向1 洛伦兹力的理解及应用 PAGEREF _Tc19104 \h 5
\l "_Tc29667" 考向2 半径公式与周期公式的应用 PAGEREF _Tc29667 \h 7
\l "_Tc5718" 考点二 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 PAGEREF _Tc5718 \h 9
\l "_Tc1404" 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 PAGEREF _Tc1404 \h 9
\l "_Tc24826" 知识点2 带电粒子在有界磁场中的运动 PAGEREF _Tc24826 \h 10
\l "_Tc3683" 考向1 直线边界磁场 PAGEREF _Tc3683 \h 11
\l "_Tc22124" 考向2 平行边界磁场 PAGEREF _Tc22124 \h 15
\l "_Tc7599" 考向3 圆形边界磁场 PAGEREF _Tc7599 \h 19
\l "_Tc31038" 考向4 三角形、四边形边界磁场 PAGEREF _Tc31038 \h 21
\l "_Tc25656" 考点三 带电粒子在磁场中运动的多解问题 PAGEREF _Tc25656 \h 24
\l "_Tc13641" 知识点 常见多解类型及分析 PAGEREF _Tc13641 \h 24
\l "_Tc11082" 考向 带电粒子在磁场中运动多解问题 PAGEREF _Tc11082 \h 25
\l "_Tc28694" 考点四 带电粒子在组合场中的运动 PAGEREF _Tc28694 \h 28
\l "_Tc17910" 知识点1 带电粒子在组合场中运动的分析 PAGEREF _Tc17910 \h 28
\l "_Tc19833" 知识点2 两类基本组合场 PAGEREF _Tc19833 \h 30
\l "_Tc31161" 考向1 先电场后磁场 PAGEREF _Tc31161 \h 31
\l "_Tc21002" 考向2 先磁场后电场 PAGEREF _Tc21002 \h 33
\l "_Tc407" 考点五 带电粒子在叠加场中的运动 PAGEREF _Tc407 \h 36
\l "_Tc6753" 知识点1 重力场、电场和磁场 PAGEREF _Tc6753 \h 36
\l "_Tc9951" 知识点2 带电粒子在叠加场中的直线运动 PAGEREF _Tc9951 \h 37
\l "_Tc21828" 知识点3 带电粒子在叠加场中的圆周运动 PAGEREF _Tc21828 \h 37
\l "_Tc1323" 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运动 PAGEREF _Tc1323 \h 37
\l "_Tc24610" 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 PAGEREF _Tc24610 \h 39
\l "_Tc31589" 考向3 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 PAGEREF _Tc31589 \h 42
\l "_Tc7505" 考点六 复合场中的各类仪器 PAGEREF _Tc7505 \h 43
\l "_Tc958" 知识点1 组合场中的各类仪器 PAGEREF _Tc958 \h 43
\l "_Tc2180" 知识点2 叠加场中的各类仪器 PAGEREF _Tc2180 \h 44
\l "_Tc20698" 考向1 质谱仪 PAGEREF _Tc20698 \h 45
\l "_Tc1256" 考向2 回旋加速器 PAGEREF _Tc1256 \h 47
\l "_Tc19777" 考向3 速度选择器 PAGEREF _Tc19777 \h 49
\l "_Tc25503" 考向4 磁流体发电机 PAGEREF _Tc25503 \h 51
\l "_Tc15226" 考向5 电磁流量计 PAGEREF _Tc15226 \h 52
\l "_Tc26484" 考向6 霍尔元件 PAGEREF _Tc26484 \h 54
\l "_Tc31633" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc31633 \h 55


考点一 洛伦兹力的理解及应用
\l "_Tc25045" 知识点1 洛伦兹力的大小与方向
1．定义：运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。
2．方向
(1)判定方法：左手定则
掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
3．大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝eq \a\vs4\al(0)。
\l "_Tc25045" 知识点2 洛伦兹力、安培力和电场力的比较
1．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
2.洛伦兹力与电场力
知识点3 半径公式与周期公式
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
3．半径和周期公式：(v⊥B)
带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力
(1)由qvB＝m eq \f(v2,r) ，得r＝ eq \f(mv,qB) 。
(2)由v＝ eq \f(2πr,T) ，得T＝ eq \f(2πm,qB) 。
特别提醒：对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v等的改变，往往造成轨道半径和运动周期的改变。
.
\l "_Tc17630" 考向1 洛伦兹力的理解及应用
例1 （2025·福建宁德·三模）如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，粒子电量不变，由图可知粒子（ ）
A．带正电荷B．沿方向运动
C．穿过金属板后，轨迹半径变小D．穿过金属板后，所受洛伦兹力变大
【答案】C
【详解】ABC．带电粒子穿过金属板后速度减小，根据牛顿第二定律
可得
可知轨迹半径应减小，故可知粒子运动方向是，粒子所受的洛伦兹力均指向圆心，在e点洛伦兹力向右，则由左手定则可知，粒子应带负电，故AB错误，C正确；
D．穿过金属板后速度减小，根据可知，洛伦兹力减小，故D错误。
故选C。
【变式训练·变载体】（2024·福建·模拟预测）如图所示，真空中竖直放置一根通电长直金属导线，电流方向向上。是一根水平放置的内壁光滑绝缘管，端点分别在以为轴心、半径为R的圆柱面上。现使一个小球自a端以速度射入管，小球半径略小于绝缘管半径且带正电，小球重力忽略不计，小球向b运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球的速率始终不变
B．洛伦兹力对小球先做正功，后做负功
C．小球受到的洛伦兹力始终为零
D．管壁对小球的弹力方向先竖直向下，后竖直向上
【答案】A
【详解】AB．如图为俯视图，根据右手螺旋定则，磁感线如图所示，
小球在磁场中受到洛伦兹力和弹力作用，洛伦兹力和弹力不做功，小球速率不变，B错误，A正确；
CD．当小球运动到中点时，磁感线的切线方向与小球速度方向平行，小球所受洛伦兹力为零；小球自a点到中点，所受洛伦兹力竖直向下，绝缘管壁对小球的弹力竖直向上；小球从中点至b点，所受洛伦兹力竖直向上，绝缘管壁对小球的弹力竖直向下，CD错误。
故选A。
\l "_Tc16322" 考向2 半径公式与周期公式的应用
例2 （2024·福建漳州·模拟练习）下图为洛伦兹力演示仪，励磁线圈产生的匀强磁场B方向垂直纸面向外，电子经电子枪（加速电压为U）由静止加速后垂直磁场水平向右射出，如图所示。忽略电子间的相互作用，则电子做圆周运动时（ ）
A．运动的速率与U成正比
B．若B不变，运动周期与U无关
C．若B不变，轨道半径与U成正比
D．若U不变，轨道半径与B成反比
【答案】BD
【详解】A．电子在电场中加速，根据动能定理可得
解得
即运动的速率与U不成正比。故A错误；
B．电子在磁场中做匀速圆周运动，可得
解得
若B不变，运动周期与U无关，若B不变，轨道半径与U不成正比，若U不变，轨道半径与B成反比。故BD正确；C错误。
故选BD。
【变式训练1·变考法】（2024·福建龙岩·模拟练习）质量和电荷量大小都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，M和N运行的半圆轨迹如图中的虚线所示，则 M带 （选填“正电”或“负电”）；M的运行时间 N的运行时间（选填“>”“=”或“”“=”或“
【详解】[1]由左手定则可知， M带负电；
[2]根据
可知，两粒子的周期相同，可知M的运行时间等于N的运行时间，故填“=”；
[3]根据
可得
因M的半径较大，可知M的入射速度大于N的入射速度，故填 “>”。
【变式训练2·变考法】（2024·福建泉州·模拟）云雾室也称云室（clud chamber）是一种早期的核辐射探测器，也是最早的带电粒子径迹探测器。因发明者为英国物理学家威尔逊，一般称为威尔逊云室。如图所示，将大量正、负带电粒子以大小相同的速度喷入云雾室里，观察到有两个粒子的径迹弯曲程度相同，但弯曲方向相反。已知云雾室中匀强磁场方向垂直纸面向里，只考虑带电粒子在匀强磁场中受到的洛伦兹力。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子①受到的洛伦兹力不变提供向心力
B．粒子②一定带负电
C．粒子①和②的质量一定相等
D．粒子①和②的比荷一定相等
【答案】D
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，洛伦兹力的方向始终指向圆心，洛伦兹力大小一定，方向不断发生变化，故A错误；
B．根据左手定则可知，粒子②带正电，故B错误；
CD．两个粒子的径迹弯曲程度相同，即轨道半径相等，根据
解得
可知，两粒子的比荷相等，质量不一定相等，故C错误，D正确。
故选D。

考点二 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
\l "_Tc25045" 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
3．半径和周期公式：(v⊥B)
4．带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定
\l "_Tc25045" 知识点2 带电粒子在有界磁场中的运动
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界：往往存在临界条件，如图所示。
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
(4)三角形、四边形边界磁场
1．三角形边界磁场：带电粒子速度的大小不同，运动半径不同，出射点的位置也不同。

2．四边形边界磁场：带电粒子射入磁场的初速度方向与边界垂直，速度不同，对应不同的粒子轨迹；粒子速度不变，磁感应强度可调时，也可对应类似轨迹。
\l "_Tc17630" 考向1 直线边界磁场
例1 （2024·福建泉州·模拟）如图在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为（）的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。若粒子重力不计，则粒子在磁场中运动的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】粒子在磁场中的第二象限和第一象限的运动轨迹如图所示
对应的轨迹半径分别为和，由洛伦兹力提供向心力有
可得
，
根据几何关系可得
解得
粒子在第二象限、第一象限做圆周运动的周期分别为
，
则带电粒子在第二象限、第一象限中运动的时间分别为
，
则粒子在磁场中运动的时间
故选D。
【变式训练1】（2024·福建莆田·模拟）如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一、二象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。当沿x轴正方向射入时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带负电B．粒子入射速率为
C．粒子在磁场运动的最短时间为D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】CD
【详解】A．根据题意，当粒子的速度沿x轴正方向射入时，粒子运动的轨迹如图所示
由此可知，在P点所受洛伦兹力提供向心力，方向向下，根据左手定则可确定粒子带正电，故A错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力，则，
解得
故B错误；
C．当粒子在磁场中运动时间最短时，粒子的运动轨迹如图所示
根据几何关系可得
粒子运动的时间为
故C正确；
D．当粒子离开磁场的位置与P点连线是轨迹圆的直径时，位置最远，如图所示
由图可知，
解得
故D正确。
故选CD。
【变式训练2】）如图所示，一个质量为m、电荷量为-q的不计重力的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度 v，沿与x轴正方向成 的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：
(1)粒子做圆周运动的半径R；
(2)匀强磁场的磁感应强度B
(3)穿过第一象限的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）作出带电粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得
解得
（2）根据牛顿第二定律有
解得
（3）带电粒子在磁场中运动的周期为
由几何关系可知，粒子在磁场中运动的圆心角为
则粒子在磁场中运动的时间为
解得
\l "_Tc16322" 考向2 平行边界磁场
例2 （2025高三上·福建宁德·阶段练习）如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】BD
【详解】A．粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，速度的偏向角等于圆弧所对的圆心角
根据几何关系有
故A错误；
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度
故B正确；
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间
故C错误；
D．由洛伦兹力提供向心力得
解得
故D正确。
故选BD。
【变式训练】如图所示，平行边界间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，两边界足够长，间距为。一不计重力、质量为、电荷量绝对值为的粒子以速度从边界上的点与边界成角斜向上入射，粒子恰好不从右边界出射，在磁场中运动时间为。若其他条件不变，将磁场方向改为垂直纸面向外且磁感应强度大小改为，该粒子也恰好不从右边界出射，在磁场中运动时间为。下列说法正确的是（ ）
A．若粒子带正电，两磁场磁感应强度大小之比
B．若粒子带负电，两磁场磁感应强度大小之比
C．若粒子带正电，粒子在两磁场中运动时间之比
D．若粒子带负电，粒子在两磁场中运动时间之比
【答案】B
【详解】若粒子带正电时，匀强磁场垂直纸面向里，当粒子的运动轨迹恰好与边界PQ相切时，其运动轨迹如图所示
设粒子运动轨迹的半径为，则有
由几何关系有
解得
正粒子运动圆弧对应的圆心角为，正粒子磁场中运动时间
若粒子带正电时，匀强磁场垂直纸面向外，当粒子的运动轨迹恰好与边界PQ相切时，其运动轨迹如图所示
设粒子运动轨迹的半径为，则有
由几何关系有
解得
正粒子运动圆弧对应的圆心角为，正粒子磁场中运动时间
若粒子带正电，两磁场磁感应强度大小之比
带正电粒子在两磁场中运动时间之比
若粒子带负电，同理可以求得
带负电粒子在两磁场中运动时间之比
故选B。
\l "_Tc16322" 考向3 圆形边界磁场
例3 （2025·福建泉州·模拟练习）如图，在圆心为、半径为的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从点在纸面内沿与成角的方向射入磁场。粒子的质量为、电荷量为，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从点正上方的点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从点离开磁场
【答案】C
【详解】A．当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间
故A错误；
B．粒子运动轨迹如图所示
当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径
设粒子的速度大小为，根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
故B错误；
C．设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为，根据几何关系有
设粒子的速度大小为v2，根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
故C正确；
D．当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子从MN边界离开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。
故选C。
【变式训练·变考法】（2025·福建厦门·模拟练习）如图所示，半径为R圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD方向射入磁场，经过圆心O后离开磁场，已知A点到CD的距离为，粒子重力不计，下列说法正确的是（ ）
A．粒子运动速率为
B．粒子运动速率为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的时间为
【答案】AD
【详解】AB．由于粒子经过圆心O，最后离开磁场，可知粒子在A点所受洛伦兹力方向向下，根据左手定则可知，四指指向与速度方向相反，所以粒子带负电。根据题意，作出粒子的运动轨迹，如图所示
由于圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，令粒子做圆周运动的轨迹半径为r，根据几何关系有r=R
粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则
解得粒子运动速率为
故A正确，B错误；
CD．由于圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，根据上述分析，粒子做圆周运动的轨迹半径也为R，则△AOO'与△EOO'均为等边三角形，所以轨迹所对应的圆心角∠AO′E=120°；粒子在磁场中运动的时间为
故C错误，D正确。
故选AD。
\l "_Tc16322" 考向4 三角形、四边形边界磁场
例4（2025高三下·福建·模拟练习）如图所示，在正三角形abc内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。 a处有比荷相等的甲、乙两种粒子，甲粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场，经时间t1垂直bc边射出磁场，乙粒子沿与ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁场，经时间t2从c点射出磁场。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中的运行周期为，因为甲、乙两种粒子的比荷相等，故 设正三角形的边长为L，则由图可知，甲粒子运行半径为，运行时间为，乙粒子运行半径为，运行时间为，又，故有，。故选AD。
【变式训练1】（2025·福建厦门·阶段练习）如图所示，边长为L的正方形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一质量为m，带电量为q的粒子从bc边中点O垂直bc边入射，恰能从b点离开磁场，不计粒子重力，回答以下问题：
(1)判断粒子带电性质；
(2)求出此时粒子入射速度大小；
(3)其它条件不变，仅调整磁感应强度大小，为使粒子从ad边射出，求磁感应强度大小取值范围。
【答案】(1)带正电
(2)
(3)
【详解】（1）带电量为q的粒子从bc边中点O垂直bc边入射，恰能从b点离开磁场，由左手定则可知粒子带正电。
（2）此时粒子圆周运动半径为
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力
解得
（3）当粒子从a点射出时，磁感应强度最大，此时粒子圆周运动半径为
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力
解得
即
【变式训练2】（2025·福建莆田·三模）如图所示，直角三角形区域内有垂直三角形平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长为，在边中点在三角形平面内沿与边夹角为的方向向磁场内射入质量为、电荷量为的各种不同速度的带正电粒子，有的粒子能沿垂直边的方向射出磁场，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（ ）
A．磁场方向垂直三角形平面向里
B．当粒子速度大小为时，粒子的运动轨迹与边相切
C．边有粒子射出的区域长度接近
D．边有粒子射出的区域长度接近
【答案】BC
【详解】A．由于射出的粒子有的能沿垂直边射出，由左手定则可知磁场方向一定垂直三角形平面向外，A项错误；
B．设粒子射出速度大小为时，轨迹与相切，设轨迹半径为，根据几何关系，
解得
根据牛顿第二定律，
解得
B项正确；
CD．由几何关系可知，边有粒子射出区域长度接近，AC边有粒子射出区域长度接近
C项正确，D项错误。
故选BC。

考点三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
知识点 常见多解类型及分析
考向 带电粒子在磁场中运动多解问题
例1 （2023·福建福州·二模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场中有一固定竖直挡板，挡板足够长，P处有一粒子源，PO连线垂直挡板，P到O的距离为L。粒子源能垂直磁场沿纸面向各个方向发射速度大小均为v的带正电粒子。粒子质量均为m，电荷量均为q，到达挡板的粒子都被吸收，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）若有粒子能到达挡板，求磁感应强度大小B应满足的条件；
（2）若粒子到达挡板上侧最远处为M点，下侧最远处为N点，且，求磁感应强度的大小B。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）若恰有粒子能到达挡板，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径最小，为

如图1所示，由几何关系可知
洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律有
解得
即当时，有粒子能到达挡板。
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，粒子到达挡板上侧最远处M点时，轨迹圆在M点与挡板相切，如图2所示。设O、M间距离为

由几何关系有
粒子到达挡板下侧最远处N点时，PN为轨迹圆的直径。设O、N间距离为，由几何关系可得
由题意知
解得
由牛顿第二定律有
解得
【变式训练】（2025·福建泉州·模拟）如图，在，的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的某点P沿着与x轴成角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点B．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为
C．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为
【答案】BC
【详解】A．如图
利用“放缩圆法”，根据同一直线边界上粒子运动的对称性可知，粒子不可能通过坐标原点，故A错误；
B．若粒子从x轴边界射出，圆心角为，如轨迹③，运动时间
此时粒子在磁场中运动时间最长，故B正确；
D．若粒子从y轴边界射出，圆心角，当圆心角为时，粒子在磁场中运动的时间，为
粒子从y轴边界射出时，粒子在磁场中运动的时间要大于，故D错误；
C．若粒子从y轴边界射出，圆心角为，粒子在磁场中运动的时间，为
由于，故C正确。
故选BC。

考点四 带电粒子在组合场中的运动
\l "_Tc25045" 知识点1 带电粒子在组合场中运动的分析
组合场：电场与磁场各自位于一定的区域内且不重叠；或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现
2．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。
第3步：用规律
3．“电偏转”与“磁偏转”的比较
\l "_Tc25045" 知识点2 两类基本组合场
1.先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
2.先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。
\l "_Tc17630" 考向1 先电场后磁场
例1 （2024·福建宁德·模拟预测）如图所示，竖直挡板左边有电场强度为E的匀强电场，方向水平向左。挡板右边有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，一带负电的粒子从S点由静止开始仅在电场力的作用下加速运动，垂直于挡板经过小孔A射入磁场中，一段时间后垂直打在挡板上点。粒子的电荷量为q、质量为m，S、A两点的距离为d，不计粒子的重力，求：
（1）粒子从S点到A点的时间；
（2）A、两点间的距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）粒子在电场中运动，根据牛顿第二定律
根据运动学公式
解得
（2）由题意可知，为粒子在磁场中圆周运动的直径，粒子进入磁场时的速度为
粒子在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
则A、两点间的距离为
【变式训练·变考法】（2023·福建宁德·一模）如图所示，在直角坐标系xOy中，两平行x轴的金属板M、N有两个小孔S、K，S、K均在y轴上。在以原点O为圆心、R为半径的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。圆O与M板相切于S，与x轴相交于C点。现将一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从小孔K由静止释放，粒子恰好通过C点。不计粒子所受重力。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的速度大小v；
（2）求两金属板间的电压U；
（3）若粒子在两金属板间与圆形区域内运动的时间相等，求两金属板的距离d。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，设粒子在磁场中做圆周运动的速度大小为v，有
解得粒子在磁场中做圆周运动的速度大小
（2）根据动能定理有
解得
（3）设粒子在两金属板间运动的时间为t1则
粒子在磁场中做圆周运动的周期满足
粒子在圆形区域内运动的时间
又
解得
\l "_Tc16322" 考向2 先磁场后电场
例2 （2024·福建泉州·一模）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面（纸面）内，的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从原点O处以大小为的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角，一段时间后垂直虚线边界进入电场。已知，，区域Ⅱ中电场的场强。求：
(1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小；
(2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t；
(3)粒子离开电场时的速度大小v。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，在磁场中做圆周运动的半径设为，由几何关系可得
又
解得区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小
（2）粒子运动圆轨迹所对的圆心角为，在磁场中运动时间设为，则
其中
粒子在电场中做类平拋运动，设该粒子的加速度大小为，在电场中运动时间为，沿轴负方向运动的距离为，则有
解得
其中
解得
由于
粒子从电场边界离开，则总时间
解得
（3）由动能定理得
解得
【变式训练1·变考法】（2024·福建漳州·一模）如图，在xy坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好垂直于y轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求：
(1)粒子在磁场中的运动半径r；
(2)磁感应强度B的大小：
(3)粒子从P点射入到第三次到达y轴的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在磁场中的运动情况如图所示
由几何关系得
解得
（2）根据洛伦兹力提供向心力
解得
（3）粒子在磁场做匀速圆周运动
粒子在磁场中运动时间
粒子从轴进入电场至速度为0过程中，可得
解得
粒子从点从第二次到达轴后向上偏转，经半个周期第三次到达轴，时间为
粒子从点射入到第三次到达轴的时间
解得

考点五 带电粒子在叠加场中的运动
\l "_Tc25045" 知识点1 重力场、电场和磁场
1．三种场的比较
2．关于是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。
\l "_Tc25045" 知识点2 带电粒子在叠加场中的直线运动
(1)带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。
(2)带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。
\l "_Tc25045" 知识点3 带电粒子在叠加场中的圆周运动
(1)带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。
(2)洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。
(3)带电粒子在叠加场若存在合力且不等于洛伦兹力，粒子将做一般曲线运动。解决方法可以用运动的合成与分解。
\l "_Tc17630" 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运动
例1 （2024·福建·一模）如图，内径为r=1m、外径为2r=2m的圆环内有垂直纸面向里的匀强磁场。圆环左侧的平行板电容器两板间距离为r，电压大小为U=8×10⁴V，板间存在与圆环内相同的匀强磁场。比荷为1×10⁴C/kg的正离子从电容器左侧水平飞入，在两板间恰好做匀速直线运动，并沿圆环直径方向射入环形磁场，求：
（1）当两匀强磁场的磁感应强度大小均为。时，离子射入两板间的速率以及离子在环形磁场中做圆周运动的半径；
（2）保持两磁场相同，仍使离子在两板间做匀速直线运动且不进入小圆区域，磁感应强度B的取值范围。
【答案】（1），；（2）
【详解】
（1）设离子射入匀强磁场时的速率为v，在两板间恰好做匀速直线运动，则有
解得
设离子在磁场中做圆周运动的半径为R，离子所受洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得
又
联立解得
（2）若离子恰好不进入小圆区域，设离子与小圆相切时轨道半径为R0，此时轨迹如图所示：
在中，由几何关系得
解得
要使离子不进入小圆，需满足的条件为
R≤R0
解得磁感应强度
【变式训练1·变载体】（2025·福建厦门·模拟预测）在一根足够长的竖直绝缘杆上，套着一个质量为m、带电量为的小球，球与杆之间的动摩擦因数为场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场方向如图所示，小球由静止开始下落。小球开始下落时的加速度为 ，小球运动的最大加速度为 。

【答案】 g
【详解】[1]小环静止时只受电场力、重力及摩擦力，电场力水平向右，摩擦力竖直向上；开始时，由牛顿第二定律得
小环的加速度应为
[2]小环速度将增大，产生洛伦兹力，由左手定则可知，洛伦兹力向左，故杆的弹力先减小后增大，摩擦力先减小后增大，故加速度先增加后减小；当时水平方向合力为0，摩擦力减小到0，加速度达到最大，所以小环由静止沿棒下落的最大加速度为
\l "_Tc16322" 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动
例2 （2025·福建福州·三模）如图竖直平面直角坐标系xOy，在y轴右侧区域内同时存在匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向水平向左（大小未知），匀强磁场方向垂直于纸面（图中未画出）。一质量为m，电量为q的小球，从a（，L）点水平向右抛出，经O点进入y轴右侧区域后，恰能沿直线运动。小球的运动均在竖直面内，空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)小球水平抛出的初速度；
(2)小球的电性、磁感应强度的大小和方向；
(3)若小球直线运动到b点（图中未标出）时撤去电场，磁场保持不变，经一段时间小球运动至c点（图中未标出）时速度大小为，求b、c两点间的竖直高度。
【答案】(1)
(2)带正电，，垂直纸面向里
(3)
【详解】（1）粒子在电场中做平抛运动，设粒子从a点到O点所用时间为t，根据动规律，沿y方向有
沿x轴方向，粒子做初速度为0的匀加速直线运动，有
联立解得
（2）设小球在O点速度为v，由平抛运动有，
可得
方向
则
根据题意分析可知小球沿aO做匀速直线运动，则受力如图所示
则电荷为正电荷，磁场方向垂直纸面向里。
根据几何关系
由洛伦兹力提供向心力
联立得
（3）小球在重力和垂直纸面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理有
综上可得
【变式训练】如图所示，在地面附近有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场.磁感应强度为B。一质量为m、带电荷量为的带电微粒在此区域竖直平面内恰好做逆时针方向的、速度大小为v的匀速圆周运动.某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°，如图所示（重力加速度为g）（ ）
A．电场强度的方向竖直向下
B．磁感应强度方向水平并垂直纸面向外
C．从P点运动到距地面最高点至少须经时间
D．最高点距地面的高度为
【答案】D
【详解】A．带电微粒在竖直平面内做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，因此解得
方向竖直向上，A错误；
B．微粒带正电且做逆时针方向的匀速圆周运动，由左手定则知，磁感应强度方向水平并垂直纸面向里，B错误；
C．该微粒运动的周期为从P点运动到最高点所用时间为，C错误；
D．设粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R，有最高点与地面的距离为
解得，D正确。故选D。
\l "_Tc16322" 考向3 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动
例2 （2025·福建·模拟预测）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点沿轴正方向水平入射。入射速度为时，电子沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。若电子入射速度在范围内均匀分布，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度
B．若电子入射速度为，运动到速度为时位置的纵坐标为
C．若电子入射速度为，最大运动速度为
D．能到达位置的电子的百分比为
【答案】AC
【详解】A．根据题意，入射速度为时，电子沿轴做直线运动，竖直方向受力平衡，有
解得
故A正确；
B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射为，则电子受到电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
故B错误；
C．若电子入射速度为，由于电子在最高点与最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
在最低点有
联立解得
故C正确；
D．设以速度射入时能到达位置，对该位置电子进行分析，根据动能定理有
由C选项中有，联立解得
可知能到达位置的电子的百分比为，故D错误。
故选AC。

考点六 复合场中的各类仪器
知识点1 组合场中的各类仪器
1.质谱仪
（1）作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。
（2）原理(如图所示)
①加速电场：qU＝ eq \f(1,2) mv2。
②偏转磁场：qvB＝ eq \f(mv2,r) ，l＝2r，由以上两式可得r＝ eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q)) ，m＝ eq \f(qr2B2,2U) ， eq \f(q,m) ＝ eq \f(2U,B2r2) 。
回旋加速器
（1）构造
如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。
（2）原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次。
（3）最大动能
由qvmB＝ eq \f(mvm2,R) 、Ekm＝ eq \f(1,2) mvm2得Ekm＝ eq \f(q2B2R2,2m) ，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
（4）总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝ eq \f(Ekm,qU) ，粒子在磁场中运动的总时间t＝ eq \f(n,2) T＝ eq \f(Ekm,2qU) · eq \f(2πm,qB) ＝ eq \f(πBR2,2U) 。
知识点2 叠加场中的各类仪器
考向1 质谱仪
例1 （2024·福建漳州·三模）如图，一质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器构成。静电分析器通道的圆弧中心线半径为R，通道内有均匀辐向电场，方向指向圆心O，中心线处各点的电场强度大小相等。磁分析器中分布着方向垂直于纸面的有界匀强磁场，边界为矩形CNQD，，。质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），由静止开始从A板经电压为U的电场加速后，沿中心线通过静电分析器，再由P点垂直磁场边界进入磁分析器，最终打在胶片ON上，则（ ）
A．磁分析器中磁场方向垂直于纸面向外
B．静电分析器中心线处的电场强度
C．仅改变粒子的比荷，粒子仍能打在胶片上的同一点
D．要使粒子能到达NQ边界，磁场磁感应强度B的最小值为
【答案】D
【详解】A．由静电分析器电场力充当向心力可知，粒子带正电，根据左手定则可知，磁分析器中磁场方向垂直于纸面向里，故A错误；
B．在加速电场中，根据动能定理
在静电分析器电场力充当向心力
联立可得
故B错误；
C．在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力
可得粒子进入磁分析器到打在胶片上的距离
所以与比荷有关，仅改变粒子的比荷，粒子不能打在胶片上的同一点，故C错误；
D．由上述公式可知，磁场磁感应强度B的越小，半径越大，当B最小值时，粒子与QD边相切，由于圆心在PN上，则半径
此时有
解得
故D正确。
故选D。
【变式训练1·变载体】（2025·福建·三模）如图所示为某种质谱仪工作原理示意图，离子从电离室A中的小孔S1飘出（初速度不计），经电压为U的加速电场加速后，通过小孔S2，从磁场上边界垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，运动半个圆周后打在照相底片D上并被吸收形成谱线。照相底片D上有刻线均匀分布的标尺（图中未画出），可以直接读出离子的比荷，则可以通过 （选填“增大”或“减小”）磁感应强度B来增大不同离子形成谱线之间的间隔，标尺上各刻线对应比荷的值是 （选填“均匀”“不均匀”或“不是均匀无法确定”）的
【答案】 减小 不均匀
【详解】[1]离子在电场中加速时，根据动能定理可得
解得
在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
谱线之间的间隔为
则可以通过减小磁感应强度B来增大不同离子形成谱线之间的间隔。
[2]标尺上各刻线到小孔S2的距离为
可知d与比荷是非线性关系，所以标尺上各刻线对应比荷的值是不均匀的。
考向2 回旋加速器
例2（2023·福建龙岩·模拟预测）回旋加速器的原理示意图如图所示，两个中空、半径为R的D型金属盒置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中，在两盒的狭缝处接电压大小为U，方向做周期性变化的交流电，其周期为T。一初速度为0的带电粒子在两盒之间被电场加速，经多次回旋，达到最大动能Ek。不计粒子在电场中的运动时间，不考虑相对论效应。下列说法正确的是（ ）
A．该粒子的最大速度只与D形盒的半径R有关
B．交流电的周期T必须等于该粒子在D形盒中运动周期的2倍
C．该粒子第3次被加速前、后做圆周运动的轨道半径之比为
D．该粒子被加速后的最大动能Ek与电压U大小无关
【答案】CD
【详解】A．由于回旋加速器中粒子在电场中加速的时间可以忽略，则由牛顿第二定律有
化简得
粒子离开加速器时的最大速度与D形盒的半径R与和磁感应强度B都有关系，故A错误；
B．由于粒子在D形盒中磁场区域做圆周运动的周期是大小不变的，为了保证粒子经过D形盒中间狭缝加速电场都能被加速，所以粒子在加速器中偏转半个周期的时间交流电源刚好方向变化一次，故当交流电源的周期与带电粒子的运动周期相同即可实现粒子经过D形盒中间狭缝加速电场都能被加速，故B错误；
C．粒子加速了2次，则有
又由牛顿第二定律有
解得
粒子加速了3次，则有
又由牛顿第二定律有
解得
则该粒子第3次被加速前、后做圆周运动的轨道半径之比为，故C正确；
D．设粒子在电场中多次加速后，从回旋加速器中离开的最大速度为，则由牛顿第二定律有
化简得
粒子离开加速器时的动能为
则可知该粒子被加速后的最大动能Ek与电压U大小无关，故D正确。
故选CD。
【变式训练】（2023·福建·模拟）回旋加速器主要结构如图，两个中空的半圆形金属盒接高频交流电源置于与盒面垂直的匀强磁场中，两盒间的狭缝宽度很小．粒子源S位于金属盒的圆心处，产生的粒子初速度可以忽略．用两台回旋加速器分别加速质子(H)和α粒子(He)，这两台加速器的金属盒半径、磁场的磁感应强度、高频交流电源的电压均相等，不考虑相对论效应，则质子和α粒子
A．所能达到的最大动量大小相等
B．所能达到的最大动能相等
C．受到的最大洛伦兹力大小相等
D．在达到最大动能的过程中通过狭缝的次数相等
【答案】BC
【详解】A项：当粒子的半径到达D型盒的半径R时，速度最大，由公式可得：，由于两粒子的电荷量不同，所以所能达到的最大动量大小不相等，故A错误；
B项：当粒子的半径到达D型盒的半径R时，速度最大，由公式可得，动能之比等于电荷量的平方之比与质量反比的积，所以所能达到的最大动能相等，故B正确；
C项：当粒子的半径到达D型盒的半径R时，速度最大，由公式可得：，
由公式 ，所以受到的最大洛伦兹力大小相等，故C正确；
D项：粒子每加速一次增加的动能为，粒子能达到的最大动能为，所以要加速的次速为，所以在达到最大动能的过程中通过狭缝的次数不相等，故D错误．
故选BC．
考向3 速度选择器
例1 （福建厦门·一模）如图所示是速度选择器的原理图，已知电场强度为 E 、磁感应强度为 B 并相互垂直分布，某一带电粒子（重力不计）沿图中虚线水平通过．则该带电粒子
A．一定带正电
B．速度大小为
C．可能沿QP方向运动
D．若沿PQ方向运动的速度大于，将一定向下极板偏转
【答案】B
【详解】粒子从左射入，不论带正电还是负电，电场力大小为qE，洛伦兹力大小F=qvB=qE，两个力平衡，速度 ，粒子做匀速直线运动．故A错误，B正确．此粒子从右端沿虚线方向进入，电场力与洛伦兹力在同一方向，不能做直线运动．故C错误．若速度 ，则粒子受到的洛伦兹力大于电场力，使粒子偏转，只有当粒子带负电时粒子向下偏转，故D错误；故选B．
【变式训练】（·福建·高考真题）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子（）以速度自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（ ）（所有粒子均不考虑重力的影响）
A．以速度的射入的正电子
B．以速度射入的电子
C．以速度射入的核
D．以速度射入的a粒子
【答案】B
【详解】质子（）以速度自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，将受到向上的洛伦兹力和电场力，满足
解得
即质子的速度满足速度选择器的条件；
A．以速度的射入的正电子，所受的洛伦兹力小于电场力，正电子将向下偏转，故A错误；
B．以速度射入的电子，依然满足电场力等于洛伦兹力，而做匀速直线运动，即速度选择题不选择电性而只选择速度，故B正确；
C．以速度射入的核，以速度射入的a粒子，其速度都不满足速度选器的条件，故都不能做匀速直线运动，故CD错误；
故选B。
考向4 磁流体发电机
例2 如图所示，一种磁流体发电机，平行金属板A、B间距为，A、B之间有一个很强的磁场，磁感应强度大小为B，将一束等离子体（即高温下电离的气体含有大量正、负电粒子）以速度喷入磁场，A、B两极间便产生电压，在A、B两极板间接入电阻，则下列说法正确的是（ ）
A．通过电阻的电流方向为从流向
B．电阻两端的电压
C．电阻消耗的热功率
D．增大A、B两板间距，则流过电阻的电流会增大
【答案】D
【详解】A．根据左手定则可知，带正电离子向下偏转，带负电粒子向上偏转，则B板带正电，A板带负电，通过电阻的电流方向为从流向，故A错误；
BC．稳定时，对离子有
解得电动势为
若等离子体的电阻可忽略不计，则电阻两端的电压为
电阻消耗的热功率为
故BC错误；
D．根据
增大A、B两板间距，则电动势增大，流过电阻的电流会增大，故D正确。
故选D。
考向5 电磁流量计
例3（2024·福建龙岩·一模）下列关于四种仪器的说法正确的是（ ）
A．甲中回旋加速器加速带电粒子的最大动能与加速电压有关
B．乙中不改变质谱仪各区域的电场、磁场时，击中光屏同一位置的粒子比荷不相同
C．丙中载流子为负电荷的霍尔元件有如图所示的电流和磁场时，N侧电势低
D．丁中长、宽、高分别为a、b、c的电磁流量计在如图所示的匀强磁场中，若流量Q恒定，前后两个金属侧面的电压与a、b无关
【答案】CD
【详解】A．根据
，
得
粒子的最大动能与加速电压无关，A错误；
B．在速度选择器中
得
通过速度选择器的粒子速度相同。根据
得
击中光屏同一位置的粒子比荷相同，B错误；
C．负电荷运动运动方向与电流方向相反，根据左手定则，负电荷向N侧偏转，则N侧电势低，C正确；
D．带电粒子在磁场做功下向M、N两侧偏转，当电场力与洛伦兹力相等时
又
得
则前后两个金属侧面的电压与a、b无关，D正确。
故选CD。
【变式训练】（2023·福建泉州·二模）如图，电磁流量计的测量管横截面直径为D，在测量管的上下两个位置固定两金属电极a、b，整个测量管处于水平向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。当含有正、负离子的液体从左向右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q（单位时间内流过的液体体积），下列说法正确的是（ ）
A．a极电势高于b极电势
B．液体流过测量管的速度大小为
C．a、b两极之间的电压为
D．若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大
【答案】AC
【详解】A．由左手定则可知，正离子向上偏转，负离子向下偏转，则a极电势高于b极电势，选项A正确；
B．由于
解得液体流过测量管的速度大小为
选项B错误；
C．当达到平衡时
解得a、b两极之间的电压为
选项C正确；
D．因ab两点间的电压与流过的液体中离子浓度无关，则当粒子浓度变高时，显示器上的示数不变，选项D错误。
故选AC。
考向6 霍尔元件
例4（2024·福建泉州·二模）利用霍尔效应制成的传感器被广泛应用于自动控制等领域。如图，宽为d的金属板置于匀强磁场中，磁场方向与金属板垂直，磁感应强度大小为B。当金属板通入如图所示的电流时，金属板 （填“上”“下”）表面聚集电子，产生霍尔电压；若已知电子定向移动速率为v，则金属板上产生的霍尔电压为 。

【答案】 上 Bdv
【详解】[1]根据左手定则可以判断，金属板中电子定向移动时受到指向上表面的洛伦兹力，金属板上表面聚集电子。
[2]电子所受静电力与磁场力相等时达到平衡，上、下表面间的霍尔电压保持不变，根据平衡条件得
解得
【变式训练】（2022·福建漳州·一模）小明用实验来探究自行车测速码表用的霍尔元件中自由电荷的电性。如图所示，设NM方向为x轴，沿EF方向（y轴）通入恒定电流I，垂直薄片方向（z轴）加向下的磁场B，测得沿 （填“x”或“z”）轴方向会产生霍尔电压，如果自由电荷为负电荷，则 （真“M”或“N”）板电势高。
【答案】 x M
【详解】[1][2]由左手定则知，带负电的自由电荷向N板偏转，NM间（a轴方向）产生霍尔电压，M板电势高。
1．（2025·福建·高考真题）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P点，重力加速度为,则（ ）
A．电场强度为
B．磁场强度为
C．NP两点的电势差为
D．粒子从N→P时距离NP的距离最大值为
【答案】BC
【详解】AB、带电体在复合场中能沿着做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。
由受力平衡可知
解得电场强度，磁感应强度，故A错误，B正确。
C、在点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。
且加速度
粒子到达点时，位移偏转角为，故在点，速度角的正切值
所以粒子在点的速度
到过程，由动能定理，有
解得两点间的电势差，C正确；
D、将粒子在点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且
故粒子能向上运动的最大距离
D错误；
故选BC。
2．（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：
(1)粒子经过时的速度大小；
(2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角；
(3)磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子从M到N的运动过程中，根据动能定理有
解得
（2）粒子在中，根据牛顿运动定律有
根据匀变速直线运动规律有
、
又
解得
（3）粒子在P处时的速度大小为
在磁场中运动时根据牛顿第二定律有
由几何关系可知
解得
考点
要求
考频
2025年
2024年
2023年
洛伦兹力及有关洛伦兹力的半径周期公式
理解
低频
\
\
\
带电粒子在有界磁场中的运动
应用
高频
\
\
2023•福建T14
带电粒子在复合场中的运动
应用
高频
2025•福建T7
2024•福建T15
\
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：高考对洛伦兹力的单独考查不是太频繁，大多在计算题中带电粒子在磁场中运动的综合性问题中应用,对带电粒子在有界磁场及复合场中的运动的考查较为频繁，多以计算题中出现，并且一般作为高考试卷的压轴题出现，难度较大
3.备考建议：本讲内容备考时候，注意洛伦兹力大小及方向的理解，会利用左手定则判断洛伦兹力的方向理解并掌握带电粒子在磁场中运动的解题方法，理解和应用带电粒子在有界磁场中圆心和半径确定的方法掌握带电粒子在电磁复合场的基本规律。学会分析带电粒子的运动情景并解决问题。
4.命题情境：与现代科技相结合考查科学仪器，另考查带电粒子运动的综合计算题型
5.常用方法：动能定理、功能关系、动量守恒、运动的合成与分解法
复习目标：
1.理解和掌握带电粒子在有界磁场中圆心和半径确定的方法。
2.理解和掌握电磁场中各类仪器的原理。
3.能够利用电磁场中各类仪器的工作原理处理有关问题
4.学会处理带电粒子在磁场和磁场组合场中的运动。
5.学会处理带电粒子在磁场和电场组合场中的运动。
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
方向
F⊥B且F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功，可能做负功，也可能不做功
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq \f(L2＋d2,2d)
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝eq \f(θ,2π)·T
②t＝eq \f(L,v)
(1)速度的偏转角φ等于eq \x\t(AB)所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ＜180°，φ＝2α；φ＞180°，φ＝360°－2α
类型
分析
图例
带电粒子
电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向
不确定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态
不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
垂直电场线进入
匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入
匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹示例
求解方法
利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝ eq \f(qE,m) ·t，y＝ eq \f(1,2) · eq \f(qE,m) ·t2
偏转角φ满足：tan φ＝ eq \f(vy,vx) ＝ eq \f(qEt,mv0)
半径：r＝ eq \f(mv,qB)
周期：T＝ eq \f(2πm,qB)
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解
运动时间
t＝ eq \f(x,v0)
t＝ eq \f(φ,2π) T＝ eq \f(φm,Bq)
动能
变化
不变
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关W＝qU
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
装置
原理图
规律
共性规律
速度选
择器
若qv0B＝Eq，即v0＝ eq \f(E,B) ，粒子做匀速直线运动
稳定平衡时电荷所受电场力和洛伦兹力平衡，即q eq \f(U,d) ＝qvB
磁流体
发电机
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电荷，两极板间电压为U时稳定，q eq \f(U,d) ＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流
量计
当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q eq \f(U,d) ＝qvB，可得v＝ eq \f(U,Bd)
霍尔
元件
当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，b、a间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q eq \f(U,d) ，可得U＝vBd