甘肃甘南藏族自治州临潭县第二中学2025_2026学年第二学期高一数学期中考试试题 [含答案]

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．考试范围：湘教版必修第二册第1-3章
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【正确答案】D
【详解】因为为纯虚数，
所以，且，解得．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 在菱形中一定有D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量
【正确答案】C
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则与大小相等，方向不确定，故A错误；
对于B，若时，则与方向不确定，
故与可能共线也可能不共线，故B错误；
对于C，由菱形，可且，
所以，一定有，故C正确；
对于D，两个非零向量的方向相同或方向相反时我们两向量为平行向量，
规定零向量与任一向量为平行向量，平行向量又称共线向量，
故共线向量不一定是在同一条直线上的向量，也可在相互平行的直线上，故D错误.
故选：C.
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. 4D. 1
【正确答案】C
【详解】由.
4. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【正确答案】D
【详解】由正弦定理得，解得.
5. 已知α为第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由同角的正余弦的平方和求得，进而求得，再利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为α为第二象限角，且，所以，
则，所以．
故选：D.
6. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【正确答案】B
【详解】
7. 在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出点,利用倍角公式可求答案.
【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以；
因为角的终边过点，所以，
所以.
故选：C
8. 已知是关于的方程的一个虚根，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【正确答案】C
【分析】根据实系数一元二次方程虚数根共轭和韦达定理可求的值.
【详解】因为是关于的方程的一个虚根，
所以是关于的方程的另一个虚根，
所以，解得.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反
B. 向量的长度与向量的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 若与同向，且，则
【正确答案】BC
【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；
B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对；
C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；
D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.
10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
【正确答案】AD
【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由余弦定理，可知为锐角，
但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确.
故选：AD.
11. 已知复数，，则（ ）
A. 的虚部为
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
【正确答案】BCD
【分析】利用复数的运算，共轭复数和模的概念，以及复数的几何意义，即可求解.
【详解】因为，，
对于A，易知，其虚部为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，为纯虚数，故C正确；
对于D，，对应的点位于第四象限，故D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数的模等于2，则实数的值为______.
【正确答案】
【详解】复数的模等于2，故，
故，解得.
13. 若，则________．
【正确答案】
【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解.
【详解】.
故
14. 已知向量，满足，，则_____．
【正确答案】
【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可.
【详解】结合题意：，所以
因为，所以
所以．
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设复数．
（1）若，求、的值．
（2）若与复数是互为共轭复数，求.
【正确答案】（1），
（2）5
【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的概念可求、的值.
（2）根据共轭复数的概念结合复数的乘法运算法则求值.
【小问1详解】
因为，
故，.
【小问2详解】
因为与复数是互为共轭复数，则，
故.
16. 已知向量，满足，，且与的夹角为.
（1）分别求与的值；
（2）若，求的值.
【正确答案】（1）1，
（2）
【分析】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可.
（2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值.
【小问1详解】
.
.
【小问2详解】
因为，
所以，解得.
17. 已知函数．
（1）求函数的周期和其图像的对称轴方程；
（2）当时，求的值域．
【正确答案】（1）最小正周期为，对称轴为
（2）
【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程.
(2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域.
【小问1详解】
，
所以；
令，解得．
【小问2详解】
因为，所以
从而可知，
因此，故所求值域为．
18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求的值；
（2）若，求
（i）的值；
（ii）的值.
【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii）.
【分析】（1）利用余弦定理可求出的值；
（2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值；
（ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值.
【小问1详解】
因为，可得，即，
由余弦定理可得.
【小问2详解】
（i）因为，故为锐角，所以，
因为，由正弦定理可得，故；
（ii）因为，则，即，故为锐角，
所以，
所以，
，
因此，.
19. 在中，角所对的边分别是，且.
（1）求；
（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；
（3）若是的角平分线，，，求的长.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得；
（2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可；
（3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以，故；
【小问2详解】
解：因为是边上靠近的三等分点，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，化简得，
即，解得或（舍去），
所以；
【小问3详解】
解：已知平分，且，故，
由 得；
将 ，代入得 ，解得
∵
∴