甘肃省渭源县第二中学2025_2026学年高一下学期期中考试数学试题 [含答案]

这是一份甘肃省渭源县第二中学2025_2026学年高一下学期期中考试数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量D．零向量与任意非零向量共线
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知的内角的对边分别为．若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
4．已知为虚数单位，复数，复数的模为（ ）
A．B．C．3D．2
5．如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（ ）
A．B．1C．2D．
6．，则（ ）
A．B．C．D．
7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．若与垂直，则
B．若，则的值为5
C．若，则
D．若，则与的夹角为
10．已知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，最小正周期为B．当时，图象关于对称
C．当时，最小值为D．当时，是偶函数
11．若z为复数，则（ ）
A．若，则为实数
B．
C．若复数满足，则的最大值和最小值的和为
D．若，则
三、填空题
12．已知中，，，为所在平面内一点，且，则_____．
13．已知向量，若，则___________．
14．平面直角坐标系中与关于轴对称，则的一个取值为________.
四、解答题
15．已知O为坐标原点，复数，，，在复平面内对应的向量分别为，，．
(1)若点C在复平面的实轴上，且，求出实数k与a的值；
(2)若点C在直线上，且，求出实数a的值，并计算．
16．已知向量与的夹角为，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)设向量与的夹角为，求的值.
17．已知函数，，相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求的单调递增区间；
(2)在锐角中，若，求的取值范围.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长；
(3)求边AC上的中线BE的取值范围．
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长；
(3)若是锐角三角形，求的取值范围．
1．D
【详解】对于A：单位向量大小相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误；
对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；
对于D：零向量与任意非零向量共线，故D正确.
2．D
根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】.
3．B
【详解】由和余弦定理，可知，因此；
则，
因此是以角为直角的直角三角形.
4．B
【详解】因为，所以.
5．A
以为基底，用不同方式表示出向量，结合平面向量基本定理和投影定义求解可得.
【详解】设，则
，
同理设，则.
由平面向量基本定理得，解得，所以，
向量在上的投影向量的模为
，
而，当且仅当时取等号，
所以在上的投影向量的模取得最小值时，.
6．A
由辅助角公式及诱导公式计算即可．
【详解】
．
7．C
由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得.
【详解】由余弦定理的推论，结合，
得，
整理得，所以.
所以.
因为，所以.
8．C
利用正弦定理及三角恒等式化简即可得出结果.
【详解】在中，，
由正弦定理可得：，
所以
即
即
又因为，得：
在中，，，
所以.
故选：C
9．AC
对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量夹角的余弦坐标公式验算即可.
【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，则，
所以，故B错误；
对于C，若，则，
所以，，故C正确；
对于D，若，则，
所以，，，
则，故与的夹角不为，故D错误.
10．CD
对于AC，把对应的值代入的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、最小值；对于BD，依据定义去判断奇偶性、点对称问题即可．
【详解】对于A，当时，
，
最小正周期是，故A错误；
对于B，当时，，
，
而，故B错误；
对于C，当时，
，
所以的最小值是，故C正确；
对于D，当时，，
，故D正确．
11．ACD
设，根据复数相等的定义求解判断A，举特例判断B，根据复数模的几何意义，结合圆上的点到定点距离的最值求解判断C，化简复数，然后计算乘积后判断D.
【详解】选项A，设，即为，所以，，是实数，A正确；
选项B，如，则，，，B错；
选项C，，即，所以对应的点在以为圆心，半径为１的圆上，表示对应的点到原点的距离，
因为，所以的最大值是，最小值是，两者和为，C正确；
选项D，，所以，D正确.
12．
根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由可知为的外心，
故.
13．1
借助向量坐标运算与垂直性质计算即可得.
【详解】，则，
整理得，故.
14．（答案不唯一）
由对称的性质列方程求即可得答案．
【详解】因为与关于x轴对称，
所以，，
所以，，
整理得，所以，
所以，
故（答案不唯一）
15．(1)
(2)，
【详解】（1）因为点C在复平面的实轴上，所以，即点，
又因为，，所以，，
由且，得，
所以，解得；
（2）点C在直线上，即，所以，
又因为，，所以，
即，解得，此时，
所以.
16．(1)
(2)
(3)
（1）利用向量数量积的定义直接求解；
（2）利用向量数量积的运算律求解；
（3）利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求解.
【详解】（1）因向量与的夹角为，且，
则.
（2）由（1）得.
（3）由（1）得，
，
则.
17．(1)，；
(2)
（1）利用二倍角和辅助角公式化简函数，结合题意整体代入求解；（2）将所求转化为只含一个角的三角函数，再根据锐角三角形中角的范围确定该三角函数的取值范围.
【详解】（1），
∵相邻两条对称轴之间的距离为，
∴，
∵，∴，∴，
∵的单调递增区间为，，
∴，
得，
故单调递增区间为，；
（2），
∵，∴，
，得，
∴，
∵∴，∴，
∴，
的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知，由余弦定理可得，
因为，代入中，得，化简得，
则，因为，所以．
（2），，由余弦定理得，
即，又因为，所以，
由面积关系可得，
，
所以，即.
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，，
即，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，由及正弦定理、内角和定理，得，
即
，故得，从而，
或，
而，故（舍去）．
（2）由的面积为
又由余弦定理，得，
从而得，
所以的周长为．
（3）由正弦定理得

为锐角三角形，由，得，则，
即，故，
得，
所以的范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
A
A
C
C
AC
CD
题号
11









答案
ACD