甘肃省临潭县第一中学2024−2025学年高三下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省临潭县第一中学2024−2025学年高三下学期期中考试 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共7小题）
1．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A．B．C．D．
4．已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．对个正整数用k种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设k的最大值为，则（ ）
A．B．
C．D．
7．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
8．如图所示，四边形ABDC为梯形，其中，O为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行与两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（ ）
A．若，则.
B．，
C．，
D．，.
9．已知，其中，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．3是函数的周期D．
三、填空题（本大题共3小题）
11．已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 .
12．已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则 ， .
13．已知，，，则下列结论中正确的是 .
①当时，；
②当时，有1个元素；
③若有2个元素，则；
④若有4个元素，则无整数解；
四、解答题（本大题共5小题）
14．已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：.
15．生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的.
(1)直接写出的数学期望.
(2)用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根.
(3)若某种细胞发生基因突变，当时.
（ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率.
16．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)设函数，当时，若，证明：.
17．把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．
(1)若是1，2，3，…，8的生成数列，记，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和；
(2)若是1，2，3，…，10的生成数列，记，若数列中的最小项为T．
①证明：；
②求T的最大值．
18．阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：
知识卡片1：
一般地，如果两数在区间上的图象连续不断，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（，2，…，n），作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数的图象连续不断且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积.
知识卡片2：
一般地，如果在区间上的图象连续不断，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数（），从几何上看，定积分的值为由直线，，和曲线所围成的区域即曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得.
(1)求下列定积分：
① ；
② ；
③ ；
④ .
(2)已知，计算：
①；
②
(3)当，时，有如下表达式：.计算：
参考答案
1．【答案】C
【详解】当时，，为偶函数
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：
当时：无解；
当时：有2个根；
当时：有4个根；
当时：有2个根；
当时：有1个根；
当时：无解；
有且仅有6个不等的实数根
和满足： 或
则满足：
则满足：
综上所述：
故选.
2．【答案】A
【详解】构造函数，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
由，可得，即，
即，
由，可得，即，
即，
因为，在上单调递增，
所以，故，
因为在上单调递减，，故，
因为，
故，即，
因为，所以，
因为在上单调递减，，故，
从而.
故选A.
3．【答案】A
【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，

设点，，则，
因为为的重心，所以，
因为轴，所以点横坐标也为，，
因为为的角平分线，
则有，
又因为，所以可得，
又由角平分线的性质可得，，而
所以得，
所以，，
所以，即，
因为
即，解得，所以答案为A.
4．【答案】A
【详解】令，则
，令，则
，令，则.
令在上单调递增；
在上单调递减；
又，，则有且只有两根，分别为.
则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，
等价于方程组有且只有一组实数根.
令，则，
当时，，则此时在上递增，又.
即，则有且只有一组实数根.
当时，方程组有且只有一组实数根，
等价于函数图象与直线图象有两个交点，
临界情况为两条直线与图象相切.
当与相切，设对应切点为，因
，则相应切线方程为
；
当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为
，则.
综上，.
故选A.
5．【答案】B
【详解】解：记则，
所以在单调递增，
故，
记，则，令，解得，故在上单调递减，
故，即，即，故，
记，则，
故当时，，故在上是增函数，
故，即，故，
故.
故选B.
6．【答案】A
【详解】取，则，将1234染成即可．因此选项CD错误．
下面证明．
设为正整数n中素数p的幂次，即．
对于任意的正整数，将m染成第种颜色，这样就用了种颜色．
此时对于任意不同色的正整数x，y，有，
因此和均与x，y之一同色，符合题意．这样就证明了．
接下来设，则右侧不等式即．
对k进行归纳，应用数学归纳法证明．
当时，，此时，命题成立．
假设命题对成立，对已有的染色，考虑1，2，…，n的染色，若其中有两种或两种以上新增的颜色，不妨设为红色和蓝色，且最小的红色数为x，最小的蓝色数为y，且，则，
考虑正整数，它与异色数对成等差数列，于是必然与x，y之一同色，但，这与之前假设的x，y的最小性矛盾．
因此1，2，…，n的染色至多在之前的基础上增加1种，从而命题得证．
综上所述，有．
接下来考虑的情形，此时，排除选项B．
故选A.
7．【答案】C
【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答.
【详解】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接，
因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，
从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图，
取中点M，连接，因为，则，显然，
又平面，则平面，
而平面，平面，即有，
又平面，则平面，平面与平面有公共点，
显然平面与平面为同一平面，有，而，，
在直角梯形中，过作于I，，
球O的半径，
过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，
则，，
由已知得，即，
，，则点到直线的距离有：,
球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离，
截得的最小截面圆半径为，而，则
，
所以截得的截面圆面积的最小值是.
故选C.
【关键点拨】解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
8．【答案】ABD
【详解】由梯形中位线性质可得.
因为梯形与梯形KLDC相似，所以，即,
当时，，A正确；
由基本不等式可知时，，B正确；
设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为，高分别为，
则，即，
解得，
由题意可知，解得，C错误；
因为，所以，
所以，所以，
易知，所以，得，所以，D正确.
故选ABD.
9．【答案】CD
【分析】令，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，解法一：记，设，，利用导数求出的范围即可.
解法二：由，两式相减，可得，令，令，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.
解法三：令，利用导数求出函数的单调区间，再结合洛必达法则即可得解.
解法四：根据，两式相减得，再结合对数均值不等式即可得解.
【详解】令，则，
故当时，，单调递增，
当时，单调递减，
因为，，所以，
又，不妨设，
解法一：记，设，，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，，
则，
又因为，且在上单调递减，
所以，则，所以.
解法二：由，两式相减，可得，
令，
则，所以；
令，则，
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，则，即，
所以.
解法三：令，
则，
记，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又由洛必达法则可知，
所以，所以.
解法四：因为，两式相减得，
由对数均值不等式，可得，
下列对数均值不等式右半部分：，
证明：不妨设，则上述不等式可化为，
即，
记，则不等式可化为时，，
令，则，
所以在上单调递减，
则，
所以时，，所以.
故选CD.
【方法总结】
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
10．【答案】BCD
【详解】令，则，解得．
令，则，即．
又，所以，所以A错误．
令，则，
即，所以，
所以为奇函数，B正确．
令，则．
又，
所以，所以．
又，所以．
由，得，
则．
由，得．
又因为，所以．
又因为，
所以，
即．
用代替上式中的，得．
又，
所以，即，
所以3是函数的周期，所以C正确．
由，函数为奇函数，得，
所以．
又，所以，
所以，所以D正确．
故选BCD．
11．【答案】
【详解】，即，
，
当且仅当时等号成立.
，
由于，所以当或时，
有最小值为，
所以，则，即，
即，解得.
12．【答案】 1 -2026
【详解】由得，，，
∴，故是周期为的函数.
∵为偶函数，∴，∴，
令，得，
令，得.
在中，令，得，
∴.
令，得，故，
令，得，故.
由函数的周期性得，
.
13．【答案】①②④
【详解】①当时，
，
由令，解得，
由令，解得，
画出对应点集如下图所示，所以，
所以①正确.
②当时，
，
画出对应点集如下图所示，
圆的圆心为，半径为，
直线，即，
到的距离为，
所以圆与直线相切，
所以有个元素，所以②正确.
对于③，当时，
，
画出对应点集如下图所示，
半圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
此时有个元素，所以③错误.
对于④，若，
则
，
此时直线与圆至多有个公共点，不符合题意.
若，则由③的分析可知有个元素，
综上所述，若有4个元素，则无整数解,所以④正确；
14．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，则，
若在上单调递增，
则在上恒成立且等号不恒成立，
即上恒成立，
又在上单调递减，
所以，所以，
数的取值范围为.
（2），
则，
依题意可得，是方程的两个不同的根，
于是，，，即，
又，则，，
要证，
只需证，
即证，，
因为，所以，
从而，
令，，
则，
设，则，
令，解得舍去，
由，得；由，得，
于是在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
而，，
因此在上，，因此在上单调递增，
从而，
所以当时，成立，
所以原命题得证.
15．【答案】(1)
(2)，，证明见解析
(3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）.
（2），
则：，
，由于分裂后细胞相互独立，
. ，
所以：.
若能取到中的所有数，则令：，有：，
为该方程的一个实根，.，
由于的每一项在上均单调递增，故单调递增，.
由于，则：①当时，单调递减，，，故在，只有唯一零点，
这是原方程的最小正实根，符合的实际意义；
②当时，，故唯一使，
此时在单调递减，在单调递增且.
所以在有两个零点与，其中：.由于，
故，故，此时也取到原方程的最小正实根，符合的实际意义.
综上：该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根.
（3）（ⅰ）由（2）可知：若一个细胞失去分裂为两个的能力，则灭绝概率，
故对该细胞母体：，
，解得：，该细胞的灭绝是必然事件.
（ⅱ）由条件：，
，
.
16．【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）当时，，则.
因，得切线过点，斜率为1.
则在处的切线方程为；
（2）由题，当时，，
则.令，则.
令，得在上单调递增；
，得在上单调递减.则.
则，，当且仅当时取等号.
得在R上单调递增，而，，
则不妨设.
令，其中.
则.令，.
则，得在上单调递增，
则，得在上单调递增，
有，即时，.
因，则，
又，则，又注意到在R上单调递增，
则.
17．【答案】(1)
(2)①证明见解析；②17
【详解】（1）因为是1，2，3，…，8的生成数列，且，
所以的所有项的和为：
，
，，
所以S所有可能的取值为57，58，59，…，69，故其和为．
（2）①假设，因为，
所以，所以，又，所以，
同理有，
所以，所以，又，所以，
，与已知矛盾，所以假设不成立，故．
②由①，又为正整数，假设，
由，
得，所以，
又，
所以，，同理可得，，
记的各项依次为1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，
则的各项依次为17，18，19，17，18，20，17，18，满足题意，假设可以成立，
所以T的最大值为17．
18．【答案】(1)答案见解析
(2)①；②
(3)
【详解】（1）；
；
令，，则，
所以表示以坐标原点为圆心，半径为的圆在第一象限部分及点，，
所以表示直线，，和曲线围成的区域的面积，
则；
因为，.
（2）①因为，
两边对求导可得，
令可得；
②因为，
又，
，，
，，
，，
，，
所以.
（3）因为，
所以，
其中，
，
所以，
所以.