2025-2026学年广东省惠州市第五中学教育集团八年级（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省惠州市第五中学教育集团八年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，1，B. 5，12，13C. 3，5，7D. 2，2.5，1.5
3.在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D为AB的中点，则∠ACD等于（ ）
A. 20°B. 40°C. 60°D. 70°
4.若最简二次根式可以与合并，则a的值是（ ）
A. 11B. 4C. 2D. 1
5.如图，已知矩形ABCD，点O是对角线AC上的中点，其中AB=3，AD=4，连接OB，则OB的长为（ ）
A. 3
B. 4
C.
D.
6.如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（ ）
A. 35海里
B. 50海里
C. 60海里
D. 40海里
7.已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，连接AC、BD，添加以下条件能使四边形EFGH为菱形的是（ ）
A. AB=BDB. AD=CDC. AC=BDD. AC⊥BD
8.如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近（ ）
A. AB. BC. CD. D
9.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AE=DE=6，CD=2，AB=3，连接BE、CE.若∠BEC=45°，则△BCE的面积为（ ）
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30
10.下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；
第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12.已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为 ．
13.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF∥BC交CD边于点F，如果∠ABC=50°，那么∠DEF的度数为 .
14.如图，实心圆柱的高为8cm,底面圆的周长为12cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到距离下底面4cm且与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为 cm.
15.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=12cm，M是BC上一点，且BM=9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t=______
​​​​​​​
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：
（1）；
（2）.
17.(本小题7分)
已知O是BD的中点，DC∥AB，求证：四边形ABCD为平行四边形.
18.(本小题7分)
为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动.其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示：
请你选择其中的一种测量方案，求古树AB的高度.（结果保留根号）
19.(本小题9分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=BC.
（1）尺规作图：在AC的右侧作一点D，使四边形ABCD为菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BD，交AC于点O，若BD=4，四边形ABCD周长为，求四边形ABCD的面积.
20.(本小题9分)
我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.它的证明如下：
如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，∠ABC=90°，求证：.
证明；延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD，
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OA=OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.（①______）
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形.（②______）
∴BD=AC.（③______）
∴.
（1）认真阅读上面证明过程，在括号内填写相应的推理依据.
（2）类比探究逆命题：如图，CO是△ABC的中线，，△ABC是否为直角三角形？如果是，请说明理由.
21.(本小题9分)
【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果.例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方.a2=1，b2=18，则a2＜b2，a＞0，b＞0，a＜b.
【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小.例如.
比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：
，
，
∵，
∴，
.
根据材料，解决下面问题：
（1）比较，的大小，c______d（填写“＞”＜”或“=”）.
（2）比较大小；______（填“＞”，“＜”或“=”）.
（3）若，求a2-4a+3的值.
22.(本小题13分)
【数学背景】
我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”，其中3，4，5是一组勾股数，课外兴趣小组查阅资料后发现3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；…，这些也都是勾股数.于是为了更好地学习和理解勾股数，决定探究勾股数的规律.
【尝试探究】
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.
事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，.根据你发现的规律，分别写出勾是7时，股的算式为______，弦的算式为______；
【猜想证明】
（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，猜想它们之间的相等关系，并加以证明；
【深入思考】
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数.且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，当勾为m时，直接用m（m为偶数.且m≥4）的代数式来表示股和弦，不用证明.
23.(本小题14分)
综合与实践
【问题提出】数学课上，学习完四边形章节后，同学们发现对于很多问题，把一个条件和结论调换后仍然是正确的，或者把一些严格的限制条件更换成宽泛的要求，结论仍然成立，于是兴趣小组针对课本上给出的一些问题，进行更改条件后对此进行探究.
【动手探究】
（1）如图1，正方形ABCD，M是BC上的一点，连接AM.点N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM，分别交直线AB，CD于点E，F.求证：AM=EF.
（2）如图2，正方形的边ABCD，M是线段BC上的一点，连接AM，过点M作MQ⊥AM，交正方形的外角∠DCG平分线于点Q，我们知道，当M是BC中点时，有AM=MQ，如果去掉M是BC中点这个条件，AM=MQ这个结论是否仍然成立？
【拓展应用】
（3）如图3，正方形ABCD中，AB=4，M是BC上的一点，且BM=1，连接AM.点N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM，分别交直线AB，CD于点E，F，连接ME，AF，求ME+AF的最小值，并说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】x＞-5
12.【答案】5
13.【答案】25°．
14.【答案】．
15.【答案】或
16.【答案】 +7-4
17.【答案】∵AB∥CD，
∴∠OCD=∠OAB．
∵O是BD的中点，
∴OD=OB．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AO=CO．
∵OD=OB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
18.【答案】解：选甲组，
∵四边形BECD为矩形，
∴BE=CD=4m,
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，
∴AC=2AE，
由勾股定理得，AC2-AE2=EC2，
即4AE2-AE2=122，
解得AE=4（负值舍去），
∴AB=AE+BE=（4）m；
选乙组，
在Rt△BCD中，∠BCD=60°，CD=4m,
∴BC=2CD=8m,
∴BD=（m），
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD=4，
∴AB=AD+BD=（4）m.
19.【答案】如图，四边形ABCD即为所求； 4
20.【答案】①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③矩形的对角线相等 △ABC是直角三角形，理由如下：
延长CO到E，使EO=CO，连接AE，BE，如图2所示：
∴CE=EO+CO=2CO，
∵CO=AB，
∴CE=AB，
∵CO是△ABC的边AB上的中线，
∴AO=BO，
在四边形ACBE中，EO=CO，AO=BO，
∴四边形ACBE是平行四边形，
又∵CE=AB，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形
21.【答案】＞ ＜ 5
22.【答案】×（72-1）;×（72+1） 勾、股、弦分别为：n，（n2-1），（n2+1），
它们之间的关系为：勾2+股2=弦2；证明：n2+[（n2-1）]2
=n2+n4-n2+
=n4+n2+
=[（n2+1）]2，
∴勾2+股2=弦2 当m≥4，且m为偶数时，股、弦分别为：（）2-1，（）2+1
23.【答案】证明：过点B作BG∥EF交CD于G，交AM于H，如图，

∵正方形ABCD，
∴∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，AB=BC，
∴∠ABG+∠MBG=∠ABC=90°，
由条件可知四边形BGFE是平行四边形，
∴BG=EF，
∵EF⊥AM，BG∥EF，
∴∠AHB=∠ANE=90°，
∴∠ABG+∠BAM=90°，∠AHB=∠C，
∴∠BAM=∠MBG，
∴△ABM≌△BCG（ASA），
∴AM=BG，
∴AM=EF．
仍然成立；
证明：在边BA上截取BE，使BE=BM，连接ME，如图，

由条件可知∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
∴∠AMB+∠BAM=90°，
∵BE=BM，
∴∠BEM=∠BME=45°，AB-BE=BC-BM，即AE=CM，
∴∠AEM=180°-∠BEM=135°，
∵CQ是正方形的外角∠DCG平分线，
∴∠DCQ=45°，
∴∠MCQ=135°，
∴∠AEM=∠MCQ，
由条件可知∠AMQ=90°，
∴∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
∴△AEM≌△MCQ（ASA），
∴AM=MQ；
活动课题
测量古树AB的高度
研学小组
甲组
乙组
测量示意图
测量说明
CE⊥AB于点E，BECD为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内.
CD⊥AB于点D，图中所有的点都在同一平面内.
测量数据
CD=4m,CE=12m,∠ACE=30°.
∠ACD=45°，∠BCD=60°，CD=4m.