广东省惠州五中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省惠州五中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．8，6，4C．12，5，6D．2，3，6
2．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
4．（3分）经常开窗通风，可以有效地利用阳光和空气中的紫外线杀死病菌，清除室内空气中的有害气体，净化空气，如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
5．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
7．（3分）如图用直尺和圆规作一个角的角平分线，能得出∠AOP＝∠BOP的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
9．（3分）下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）
A．两个底边相等等腰三角形
B．斜边相等的两个直角三角形
C．两个等边三角形
D．有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形A1A2A3，三角形A3A4A5，三角形A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若三角形A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的坐标为（ ）
A．（﹣1012，0）B．（2，1012）C．（1，﹣1013）D．（1014，0）
二、填空题（每题3分；共15分）
11．（3分）如图，△ABD≌△ECB，若AD＝5，DE＝6，则BC的长为 ．
12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是 cm2．
13．（3分）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．
14．（3分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是 ．
15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为 ．
三、解答题一（16题6分，17，18每的题7分，共20）
16．（6分）已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC，求证：∠A＝∠D．
17．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF．
18．（7分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．
四、解答题二（每题9分，共27）
19．（9分）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 ；
（2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数；
（3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数．
20．（9分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1（不要求写作法）；
（2）写出点A1、B1，C1的坐标；
（3）在x轴上找一点P，当PA+PC的值最小时，求△PAC的面积．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA．
（1）求证：△BDM≌△ACM；
（2）求证：∠CEF＝∠BDF．
五、解答题三（每题14分，共28分）
22．（14分）如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点．由点A向点C运动（P与点A、C不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．
（1）若设AP的长为x，则PC＝ ，QC＝ ．
（2）当∠BQD＝30°时，求BD的长．
（3）点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
23．（14分）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝3.2cm，DE＝2.3cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：在平面直角坐标系中，A（5，2），点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，△ABC为等腰直角三角形．
①如图3，当∠CBA＝90°时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
2024-2025学年广东省惠州五中教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．8，6，4C．12，5，6D．2，3，6
【答案】B
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边．
A、1+2＝3＜4，不能组成三角形，故本选项错误；
B、4+6＝10＞8，能组成三角形，故本选项正确；
C、5+6＝11＜12，不能够组成三角形，故本选项错误；
D、2+3＝5＜6，不能组成三角形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
2．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
【答案】D
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为 （1，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查两点关于x轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
4．（3分）经常开窗通风，可以有效地利用阳光和空气中的紫外线杀死病菌，清除室内空气中的有害气体，净化空气，如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【答案】A
【分析】由三角形的稳定性即可得出答案．
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，加上窗钩AB构成了△AOB，而三角形具有稳定性是解题的关键．
5．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
【答案】B
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【答案】C
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求多边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°＝360°×2
解得n＝6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
7．（3分）如图用直尺和圆规作一个角的角平分线，能得出∠AOP＝∠BOP的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【分析】连接PN，PM，由作图痕迹可知，ON＝OM，PN＝PM，结合全等三角形的判定可得△OPN≌△OPM，进而可得答案．
【解答】解：连接PN，PM，
由作图痕迹可知，ON＝OM，PN＝PM，
∵OP＝OP，
∴△OPN≌△OPM（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴能得出∠AOP＝∠BOP的依据是SSS．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
8．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
【答案】D
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
9．（3分）下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）
A．两个底边相等等腰三角形
B．斜边相等的两个直角三角形
C．两个等边三角形
D．有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析判断．
【解答】解：A、底边相等的两个等腰三角形的腰长不一定相等，因此底边相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；
B、斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，不符合题意；
C、两个等边三角形的对应边不一定相等，则这两个等边三角形不一定全等，不符合题意；
D、根据“SAS”可以判定“有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形”，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形A1A2A3，三角形A3A4A5，三角形A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若三角形A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的坐标为（ ）
A．（﹣1012，0）B．（2，1012）C．（1，﹣1013）D．（1014，0）
【答案】D
【分析】由图形中点的位置得到落在x轴上的点都是奇数点，则A2025这点在x轴上，A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8类推每4个为一组，得到A2025在A1点的右侧，由图形观察得到点A1（2，0），A5（4，0），A9（6，0）的横坐标间相差2，故可得到A2025的横坐标，得到结果．
【解答】解：∵根据图中点坐标特点，奇数点均在x轴上，
∴A2025在x轴上，且纵坐标为0，
∵A1到A4，A5到A8，以此类推，每4个为一组，且2025÷4＝506……1，
∴A2025在A1点有右侧，其横坐标为正数，
∵A1（2，0），A5（4，0），A9（6，0），
∴A（4n﹣3）的横坐标为2n，
∴A2025＝A（4×507﹣3）＝2×507＝1014．∴A2025的坐标为（1014，0）．
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，通过找规律来找相关点的坐标是解题的关键．
二、填空题（每题3分；共15分）
11．（3分）如图，△ABD≌△ECB，若AD＝5，DE＝6，则BC的长为 11 ．
【答案】11．
【分析】由全等三角形的性质得到BE＝AD＝5，BD＝CB，求出BD＝BE+DE＝11，即可得到 BC＝11．
【解答】解：∵△ABD≌△ECB，
∴BE＝AD＝5，CB＝BD，
∵DE＝6，
∴BD＝BE+DE＝11，
∴BC＝11．
故答案为 11．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边、对应角相等．
12．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是 4.5 cm2．
【答案】4.5．
【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B＝30°，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝6cm，
∴AC＝3cm．
由题意可知BC∥DE，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝3cm．
故（cm2）．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
13．（3分）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 10：21 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．
【解答】解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：21．
【点评】对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
14．（3分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是 13 ．
【答案】13．
【分析】根据题意得到△APC周长的最小值是AB+AC直接求解即可得到答案．
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，
∴PB＝PC，
∴AP+CP＝BP+AP，
∴AP+CP最小为AB，
∴C△APC最小＝AB+AC＝6+7＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查垂直平分线的性质及牧人饮马最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
15．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为 2或 ．
【答案】2或．
【分析】当△EAP与PBQ全等时，有两种情况：①当EA＝PB时，△APE≌△BQP，②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【解答】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，
∴BQ＝AP＝4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s，
∴v的值为：4÷2＝2cm/s；
②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，
∵5÷2＝2.5s，
∴2.5v＝6，
∴v＝•
故答案为：2或．
【点评】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三、解答题一（16题6分，17，18每的题7分，共20）
16．（6分）已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC，求证：∠A＝∠D．
【答案】证明过程详见解答过程．
【分析】欲证∠A＝∠D，可证△ABC≌△DEF．由AF＝DC，得AC＝DF．由BC∥EF，得∠EFC＝∠BCA，从而证得△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC．
∴AC＝DF．
∵BC∥EF，
∴∠EFC＝∠BCA．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠A＝∠D．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质以及全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
17．（7分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF．
【答案】证明见解答．
【分析】由AB＝AC，AD是BC边上的中线，得BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，由DE⊥AB，DF⊥AC，得DE＝DF，即可根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，则BE＝CF．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．
18．（7分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形；
（2）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中
∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，
又∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
故∠A的度数为36°．
【点评】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
四、解答题二（每题9分，共27）
19．（9分）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 1 ；
（2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数；
（3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先由CD是中线得BD＝AD，再分别求出△BCD和△ACD的周长，然后再求出它们的差即可；
（2）先根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝31°，然后根据三角形的外角定理可得∠BOC的度数；
（2）先利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝102°，由此可根据据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB＝51°，然后利用三角形的内角和定理可求出∠BOC的度数．
【解答】解：（1）∵CD是中线，
∴BD＝AD，
∵BC＝3，AC＝2，
∴△BCD的周长P1＝BC+BD+AD＝3+AD+CD，△ACD的周长为P2＝AD+CD+AC＝2+AD+CD，
∴P1﹣P2＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1．
故答案为：1．
（2）CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝1/2∠ABC＝1/2×62°＝31°，
∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°，
（3）∵∠A＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣78°＝102°，
∵BE，CD是△ABC的角平分线，
∴∠OBC＝1/2∠ABC，∠OCB＝1/2∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝1/2（∠ABC+∠ACB）＝1/2×102°＝51°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计算是解答此题的关键．
20．（9分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1（不要求写作法）；
（2）写出点A1、B1，C1的坐标；
（3）在x轴上找一点P，当PA+PC的值最小时，求△PAC的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）A1（2，1），B1（4，5），C（5，2）；
（3）图见解答，2．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）取点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（2）由图可得，A1（2，1），B1（4，5），C（5，2）；
（3）取点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，交x轴于点P，此时 PA+PC 的值最小，
∴点P的坐标为 （﹣3，0），
作 AD⊥x轴，垂足为D；CE⊥x轴，垂足E，
．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA．
（1）求证：△BDM≌△ACM；
（2）求证：∠CEF＝∠BDF．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据题中条件通过SAS即可证明；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG，根据条件证明△BFG≌△CFE（SAS），从而得到BD＝CE＝BG，即可证明．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，
∴AM＝BM，∠BMD＝∠AMC，
∵DM＝CM，
∴△BDM≌△ACM（SAS），
（2）证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG，如图，
∵△BDM≌△ACM，
∴BD＝AC，
∵CE＝CA，
∴CE＝BD，
∵F是BC中，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠EFC，FG＝EF，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，
∴BD＝CE＝BG，
∴∠G＝∠BDF＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠BDF；
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
五、解答题三（每题14分，共28分）
22．（14分）如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点．由点A向点C运动（P与点A、C不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．
（1）若设AP的长为x，则PC＝ 6﹣x ，QC＝ 6+x ．
（2）当∠BQD＝30°时，求BD的长．
（3）点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）6﹣x，6+x；
（2）2；
（3）点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE＝3．
【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的和差关系即可求解；
（2）易得∠QPC＝90°，由含30度角的直角三角形的性质可得∴，解答即可求得AP的长，进而得到BD的长；
（3）过点P作BC的平行线交AB于M，证得△PDM≌△QDB（AAS），得到BD＝DM，进而求得DE＝DM+ME＝AB＝3．
【解答】解：（1）∵△ABC 是边长为6的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
由点A向点C运动（P与点A、C不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），设AP的长为x，
∴PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
故答案为：6﹣x，6+x；
（2）根据题意可知：BQ＝AP＝x，
∵△ABC 是边长为6的等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠CPQ＝180°﹣∠C﹣∠BQD＝90°，∠QDB＝∠B﹣∠BQD＝30°，
∴△QCP是直角三角形，∠BQD＝∠BQD，
∴QB＝BD，
∴，
∴，
解得：x＝2，
∴BQ＝AP＝BD＝2；
（3）点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE＝3；理由如下：
如图，过点P作BC的平行线交AB于M，
∵△ABC 是边长为6的等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∵PM∥BC，
∴∠AMP＝∠A＝∠ABC＝60°，∠PMD＝∠QBD，
∴△AMP是等边三角形，
∴MP＝AP＝x，
∵PE⊥AB，
∴AE＝ME，
∵QB＝AP＝x，
∴QB＝MP，
∵∠PDM＝∠QDB，
∴△PDM≌△QDB（AAS），
∴BD＝DM，
∴DE＝DM+ME＝BM+AM＝（BM+AM）＝AB＝3，
∴点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE＝3．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行四边形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和平行四边形是解题的关键．
23．（14分）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝3.2cm，DE＝2.3cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：在平面直角坐标系中，A（5，2），点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，△ABC为等腰直角三角形．
①如图3，当∠CBA＝90°时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）0.9cm；
（3）①（0，5）；②（0，4），（0，10），．
【分析】（1）因为AD⊥DE于D，∠ACB＝90°，所以∠DAC＝∠BCE，因为AC＝BC，即可通过AAS证明△ADC≌△CEB作答．
（2）因为∠ACB＝90°，BE⊥CE，得∠CBE＝∠ACD，因为AC＝BC，即可通过AAS证明△ADC≌△CEB，再运用全等三角形的性质，即可作答．
（3）①过点B作BE⊥y轴，过点A作AD⊥EB的延长线，易得∠CBE+∠ABD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∠D＝90°，通过AAS证明△ADB≌△BEC，再设点B的坐标为（a，a），C（0，b），根据AD＝EB，CE＝BD，进行列式作答即可；②分类讨论，当∠ABC＝90°，∠BAC＝90°，和∠ACB＝90°分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥DE于D，∠ACB＝90°，
∴∠D＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°，
即∠DAC＝∠BCE，
∵BE⊥DE，
∴∠E＝∠D＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠E＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
则AD＝CE＝3.2cm，CD＝BE，
∵DE＝2.3cm，
∴CD＝CE﹣DE＝（3.2﹣2.3）cm＝0.9cm，
即BE＝0.9cm；
（3）①过点B作BE⊥y轴，过点A作AD⊥EB的延长线，如图：
因为∠ABC＝90°，过点A作AD⊥EB的延长线，
∴∠CBE+∠ABD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∠D＝90°，
∵过点B作BE⊥y轴，
∴∠CEB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD＝EB，CE＝BD，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CE＝BD，A（5，2），
∴2﹣a＝a，b﹣a＝5﹣a，
解得a＝1，b＝5，
故点C的坐标为（0，5）；
②∠ABC＝90°，AB＝BC，过点B作BE⊥y轴，过点A作射线AF∥x轴，且过点B作DB⊥AD，如图：
易知∠EBD＝90°，
因为∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠ABD，
∵过点B作BE⊥y轴，过点B作DB⊥AD，
∴∠CEB＝∠D＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，BD＝EB，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝CE，BD＝EB，A（5，2），
∴a﹣5＝b﹣a，a﹣2＝a，
此时a无解，
当∠BAC＝90°，AC＝BA，过点A作直线l∥x轴，与y轴交于点D，过点B作BE⊥l于点E，如图：
∵∠BAC＝90°，∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BAE，
即∴∠DCA＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴△ADC≌△BEA（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CD＝AE，A（5，2），
∴5＝a﹣2，b﹣2＝a﹣5，
解得a＝7，b＝4，
故点C的坐标为（0，4）；
当∠BAC＝90°，AC＝BA，过点A作直线l∥y轴，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CD⊥l于点D，如图：
∵∠BAC＝90°，∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BAE，
即∴∠DCA＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴△ADC≌△BEA（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CD＝AE，A（5，2），
∴b﹣2＝﹣a+5，5＝2﹣a，
解得a＝﹣3，b＝10，
故点C的坐标为（0，10）；
当∠ACB＝90°时，AC＝BC，过点C作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于点E，过点A作AD⊥l于点D，如图：
∵∠ACB＝90°，∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BCE，
即∠DCA＝∠BCE，
∵AC＝CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为（a，a），C（0，b），
∵AD＝CE，CD＝BE，A（5，2），
∴b﹣2＝﹣a，5＝b﹣a，
解得，
故点C的坐标为；
综上，其他符合条件的C点的坐标为（0，4），（0，10），．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键．
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