2022-2023学年广东省惠州五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州五中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面的图形是用数学家名字命名的，其中有多条对称轴的轴对称图形是(    )

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线

2.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  二次根式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是(    )

A.  B.
C.  D.  

6.  如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得点、分别是、的中点，若测得，则、间的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  菱形具有而矩形不具有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 四条边都相等 C. 对角相等 D. 邻角互补

8.  如图，在▱中，于，于，若，，▱的周长为，则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别是、，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  与最简二次根式是同类二次根式，则          ．

12.  已知▱中，，则的度数是______．

13.  如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，添加一个条件：______使平行四边形是菱形．

14.  如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，已知，，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为______．

15.  如图，边长为的菱形两条对角线相交于点，以为斜边向外作，连接，则线段长度的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算；

17.  本小题分
为了绿化环境，某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，求出空地的面积．

18.  本小题分
如图，在▱中，点、分别是、边的中点，求证：．

19.  本小题分
下面是小明同学对于题目“化简并求值：，其中”的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式第一步
第二步
第三步
把代入得，原式第四步
任务一：填空：第______ 步开始出现错误，错误原因是______ ．
任务二：请直接写出代数式正确的值______ ．

20.  本小题分
超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路的距离为的处这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为并测得，．
求和的长．
试判断此车是否超过了的限制速度？

21.  本小题分
如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

22.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
用含的代数式表示．
当点在线段上时， ______ ．
当点在线段的延长线上时， ______ ．
当为直角三角形时，求的值．

23.  本小题分
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点，延长交于点，连接．

试判断四边形的形状，并证明你的判断：
如图，若，证明：；
如图，若，，请直接写出的周长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意；
B、该图形有条对称轴，不符合题意；
C、该图形有多条对称轴，符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意．
故选：．
分别利用轴对称图形的性质和轴对称图形的定义分析得出即可．
本题考查了轴对称的性质和轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
所以，，都不是最简二次根式，为最简二次根式．
故选：．
根据最简二次根式的条件对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．把二次根式化简为最简二次根式是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
C.，此选项正确，符合题意；
D.与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的运算你法则逐项判断即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握同类二次根式的概念、二次根式的乘法、减法法则及二次根式的性质．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可．
【解答】
解：要使有意义，必须，
，
故选：．
【点评】
本题考查了二次根式有意义的条件，注意：要使有意义，必须．  

5.【答案】 

【解析】解：、，故不能组成直角三角形，符合题意；
B、，故是直角三角形，不符合题意；
C、，故是直角三角形，不符合题意；
D、，故是直角三角形，不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
．
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：．
与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
考查菱形和矩形的基本性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，
▱的周长为，
，
▱的面积，
，
解得，
▱的面积．
故选：．
设，根据平行四边形的周长表示出，然后根据平行四边形的面积列式求出，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．
本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积的表示出列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知：大正方形的面积，个直角三角形的面积之和，
所以．
故选：．
由勾股定理得，由小正方形面积是，得出，即可得出结果．
本题考查了以弦图为背景的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：三角板每秒旋转，
点的位置秒一循环．
，
第秒时，点的对应点的位置与第时，位置相同，如图所示：

，
根据旋转可知，，，，
，
此时点在轴上，
轴，
的纵坐标为，
，
，
，
解得：，负值舍去，
此时点的坐标为．
故选：．
求出第秒时，点的对应点的坐标为，由三角板每秒旋转，得到此后点的位置秒一循环，根据除以的结果得到答案．
此题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，勾股定理，含度角直角三角形的性质，根据每秒旋转的角度，找到点的位置秒一循环是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【解答】
解：与最简二次根式是同类二次根式，且，
，解得：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，再由已知条件求出，即可得出．
本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加一个条件为：，理由如下：
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，
故答案为：答案不唯一．
由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

14.【答案】或或 

【解析】解：如图，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为或或填一个即可．
故答案为：或或．
首先根据题意画出图形，然后根据图形即可求得平行四边形中点的坐标．
此题考查了平行四边形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

15.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，，

四边形是菱形，
，
点是的中点，
，
以为斜边向外作，点是的中点，
，
在中，，
，
，
线段长度的最大值为，
故答案为：．
取的中点，连接，，利用菱形的性质可得是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线可得，由三角形的三边关系即可求解．
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】先算除法，把二次根式化简，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
 

17.【答案】解：如图，连接，
在中，，
在中，，，
而，即，
所以，
则
答：空地的面积是． 

【解析】直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出，然后利用“割补法”求得空地的面积．
此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理的逆定理推知是解题关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是▱边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，又由点、分别是▱边、的中点，可得，继而证得四边形是平行四边形，即可证得结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

19.【答案】二  算术平方根必须是非负数   

【解析】解：任务一：第二步开始出现错误，错误原因是算术平方根必须是非负数，
故答案为：二，算术平方根必须是非负数；
任务二：原式
，
当时，原式．
故答案为：．
根据二次根式的性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意知：米，，，
在直角三角形中，
，
，
在直角三角形中，
，
，
；
由题意知：米，，，
在直角三角形中，
米，
从处行驶到处所用的时间为秒，
速度为米秒千米时千米时，
此车超过每小时千米的限制速度． 

【解析】利用勾股定理计算即可；
首先利用两个直角三角形求得的长，然后除以时间即可得到速度．
本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．
 

21.【答案】解：证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
，且，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
设到的距离为，
，，，
． 

【解析】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积．
先证明，得，根据一组对边平行且相等可得四边形是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得，根据菱形的判定即可证明四边形是菱形；
先根据菱形和三角形的面积可得菱形的面积直角三角形的面积，即可解答．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，，
，
当点在线段上时， ，
故答案为： ；
当点在线段的延长线上时，，
故答案为：；
当为直角时，点与点重合，，即；
当为直角时，，，，
在中，，
在中，，
即：，
解得：，
故当为直角三角形时，或．
由勾股定理可求的长，由线段和差关系可求解；
分两种情况讨论，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】四边形是正方形，
证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的，
，，
又，
，
四边形是矩形，
由旋转可知，
四边形是正方形；
如图中，过点作于点，则，，

，
 ，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
 ，
≌，
，
由旋转可知，
由可知四边形是正方形，
，
，
；
如图，过点作于点，

≌，
，
，
，
，
，舍去，
，
，，
，
又，，
≌，
，
的周长为：． 

【解析】是由绕点按顺时针方向旋转得到的，，，，，四边形是矩形，由旋转可知，四边形是正方形；
过点作于点则，，，，四边形是正方形，，≌，，由旋转可知，由可知四边形是正方形，，；
过点作于点，≌，，，求出，，，，，≌，，进而作答．
本题考查旋转，正方形的性质，三角形全等综合问题，解题的关键是对三角形全等的灵活运用．