河南省郑州市高新区朗悦慧外国语中学八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）

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一、单选题（每题3分，共36分）
1. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意；
B、，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、0属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，掌握实数的分类是解答本题的关键．
2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 3，4，7B. 0.5，1.2，1.4
C. 6，8，10D. 32，42，52
【答案】C
【解析】
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不合题意；
B、都不是正整数，不合题意；
C、，符合勾股数的定义，符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
3. 下列计算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项．
【详解】解：A、，故正确；
B、，故错误；
C、3，计算正确，故正确；
D、，故正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟记二次公式的性质．
4. 若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（ ）
A. ﹣1B. 1C. 5D. ﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得x、y的值，根据有理数的加法，可得答案；
【详解】解：由在第二象限，得，
由，，得，
所以，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了第二象限点坐标符号特点、化简绝对值，熟练掌握第四象限点坐标符号特点是解题关键．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 平方根等于本身的数是0，1
B. 立方根等于本身的数是，0，1
C. 两个无理数的和一定是无理数
D. 是负分数
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根，立方根，无理数的意义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．平方根等于本身的数是0，故不符合题意；
B．立方根等于本身的数是，0，1，故符合题意；
C．两个无理数的和不一定是无理数，故不符合题意；
D．是无理数，不是负分数，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
6. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为（ ）
A. 28B. 56C. 84D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形三边与以三角形各边为边长所作的正方形面积的关系及勾股定理解答即可．
【详解】
，
根据勾股定理，得，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的几何背景，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．
【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数；
然后求得4的算术平方根是2，它是有理数；
则2的立方根为，它是无理数，输出答案；
故选：C．
8. 已知点和点关于轴对称，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了关于x轴对称的点坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数，及已知字母的值求代数式的值，正确理解关于x轴对称的点坐标特点求得是解题的关键
【详解】解：∵点和点关于轴对称，
∴，
∴，
∴
故选：C．
9. 如图，在每个正方形的边长都为1的正方形网格中，点都在格点上，从这四个点中任取三个点构成三角形，则构成的三角形中，不是直角三角形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出每边的平方，得出AB2＋AC2＝BC2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋AB2＝AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】解：设小正方形边长为1，
由勾股定理得：AB2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，AD2＝22＋42＝20，BD2＝52＝25，CD2＝12＋32＝10，BC2＝12＋22＝5，
∴AB2＋BC2＝AC2，AC2＋CD2＝AD2，AD2＋AB2＝BD2，BC2＋CD2≠BD2
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，△BCD不是直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
10. 若实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据数轴判断，，的正负，再根据绝对值的意义和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，绝对值的意义，根据数轴判断，，的正负是解题的关键．
11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，则CD等于（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求出AB，然后利用角平分线的性质得到CD=DE，接着在Rt△DEB中利用勾股定理建立方程模型求解．
【详解】解：∵AD是∠CAB平分线，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE=6，
由勾股定理得，AB==10，
设CD=x，则DE=x，BD=8-x，
在Rt△DEB中，，
∴，
∴CD=x=3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．
12. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A. 10B. C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图1，
，，，
，，
；
如图2，
，，，
，，
，
，
它需要爬行的最短路程为10．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
13. 请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：该无理数可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键．
14. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
15. 若，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件，求出的值是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件，求的值，进而求的值，然后代入计算．
【详解】解：依题意得：，
，
将代入得：，
，
故答案为：1．
16. 已知点，，点A在y轴正半轴上，且三角形的面积为2，则点A的坐标为______
【答案】
【解析】
【分析】设则，，根据三角形面积公式得到，即，由此即可得到答案．
【详解】解：设则，，
∵三角形的面积为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，熟知三角形面积公式是解题的关键．
17. 定义：如图，点，把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．若，，则的长为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可．
【详解】解：分两种情况：
①当为最大线段时，
点 、是线段的勾股分割点，
；
②当为最大线段时，
点、是线段的勾股分割点，
．
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（共49分）
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
（1）先化简每一项，再合并即可；
（2）运用完全平方公式和平方差公式先化简，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
19. 已知a为的整数部分，是121的算术平方根，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出a的值，进而结合算术平方根的定义得出b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵是121的算术平方根，
∴，，
∴．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小和算术平方根的求解，正确掌握相关定义是解题关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，B(−2，1)，．
（1）的面积是 ；
（2）把以y轴为对称轴对称，得到，请你在图中画出，并写出A，B，C三点的对应点的坐标．
【答案】（1）4 （2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了轴对称作图，割补法求三角形面积，掌握点关于原点的对称规律及对称图形的作法是解题的关键．
（1）运用割补法求面积即可即可；
（2）按要求作出图形，再根据图象写出坐标即可；
【小问1详解】
解：，
故答案是：4；
【小问2详解】
解：如图，为所求作．
点的坐标为：
21. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．

（1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数．
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【答案】（1）
（2）7.5m
【解析】
【分析】（1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论；
（2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴，
∴点C表示的数是；
故答案为：．
【小问2详解】
解：设秋千绳索的长度为xm，
由题意可得xm，
四边形为矩形，，
∴，
在中，，
即
解得；
即的长度为7.5m；
答：绳索长为7.5m．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22. 将一张矩形的纸片放到平面直角坐标系中，使矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴上．如图，将△OAB沿对角线OB翻折到△ONB，ON与CB交于点M．
（1）重叠部分△OBM是什么形状的三角形，请说明你的理由；
（2）已知OC＝3，，请直接写出点M坐标（______，______）．
【答案】（1）等腰三角形，见解析；
（2）1，3
【解析】
【分析】（1）△OBM是等腰三角形，根据矩形的性质得到OA∥BC，证得∠AOB=∠OBC，由折叠得∠AOB=∠BON，即可证得OM=BM，由此得到△OBM是等腰三角形；
（2）由矩形得到∠OCB=90°，OA=BC，勾股定理求出CM即可．
小问1详解】
解：△OBM是等腰三角形，理由如下，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠AOB=∠OBC，
由折叠得∠AOB=∠BON，
∴∠OBC=∠BON，
∴OM=BM，
∴△OBM是等腰三角形；
小问2详解】
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OA=BC，
∵OC＝3，OM=，
∴CM=，
∴点M的坐标为（1，3），
故答案为：1，3．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定定理，勾股定理，正确理解折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
23. 发现问题：如图1所示，已知直角梯形中，A是上一点，，，，且，，试说明直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系：
初步探究：（1）试说明：；
问题解决：（2）请用两种含有a，b，c的代数式的方法表示直角梯形的面积：
______．
______．
由此，你能得到的a、b、c的数量关系是：____________．
【拓展应用】（3）如图2，等腰三角形中，D是底边上的中点，，，E、F分别是线段和上的两个动点，求：的最小值．
图1 图2
【答案】（1）见解析（2），，（3）
【解析】
【分析】（1）由可得，利用即可证明；
（2）根据梯形的面积公式以及，可得两种含有a，b，的代数式的的表示方法，进而得出a、b、c的数量关系；
（3）过点B作于点，交于，此时，即的最小值，利用勾股定理求出，利用面积法可求出的值，即的最小值．
【详解】解：（1）∵四边形是直角梯形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，，；
（3）过点B作于点，交于，此时，即的最小值，
，点D为底边的中点，，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及面积的计算，勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．