上海市虹口区2025届高三下学期期中学生学习能力诊断测试数学试卷（含答案）

这是一份上海市虹口区2025届高三下学期期中学生学习能力诊断测试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a是实数，则“a2>1”是“a>2”的( )条件．
A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
2.下列函数中为奇函数的是( )
A. y= xB. y=x−2C. y=sinx+π2D. y=tanx+π
3.春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为( )．
A. 524B. 512C. 38D. 712
4.在空间中，点O为定点，设集合S=POP2−2OA⋅OP≤1, OA=1，则以下说法正确的是( )．
①若OP在OA上的数量投影为−15，则线段OP在运动过程中所形成的几何体体积为14375π；
②对于任意的Pi∈S以及任意的正实数ai，设OQ=i=14aiOPi，若i=14ai=1，则Q∈S．
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知全集U=1,2,3,4，A=1,2，则A=
6.不等式x−2x+1≤0的解集是 ．
7.若sinα=23，则cs2α= ．
8.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 ．
9.若直线l与直线y=x平行，且经过圆x2−2x+y2=0的圆心，则l的方程为
10.某公司为了解用电量y(单位：千瓦时)与气温x(单位：摄氏度)之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程y=−2x+59.5，则实数m=
11.若▵ABC的三条边的长分别为4、5、6，则▵ABC的外接圆面积为 .(结果保留π)
12.已知z是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个虚根，且|z−1|=2，若z在复平面上所对应的点在抛物线y2=4x上，则p= ．
13.某工厂生产的零件长度X(单位：毫米)服从正态分布N3,σ2，且P|X−3|≤0.5=0.8，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为
14.已知9个小球的编号为1、2、⋯、9，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有 种不同的摸取方法．
15.1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数x(t)是随着时间t连续变化的函数；②人口增长率r为常数，且单位时间内的人口增长量x′(t)与x(t)成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，r不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②r是随着时间t连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率r0，使r=r0−k⋅x(t)(k>0)，且x′(t)仅与r和x(t)有关；③存在最大人口数N，当人口数达到N时，r=0.那么在这些假设下建立的人口增长模型x′(t)= .(用含有x(t)、r0、N的式子表示)
16.记|A|为有限集合A中的元素个数.设ω>0，Sω=θ22025+ω⋅θ 能被7整除}，若对于任意实数a和任意正整数n，恒有Sω∩a,a+ne−0.5n≤3，则实数ω的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，AB=BC=2，AD=4．
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(2)若异面直线PB和CD所成角为π3，求点B到平面PCD的距离．
18.(本小题14分)
已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=2x，x∈R．
(1)解不等式：lg2f(x)−1+lg2f(x)≤1；
(2)若存在实数x0∈0,π2，使得fmsinx0，f2+sin2x0，fmcsx0成等比数列，求实数m的最小值．
19.(本小题14分)
已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示．
(1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率．
(2)请完成2×2列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？
(3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量X为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求X的分布与方差
附录：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
20.(本小题14分)
已知点F1和F2是双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)的左、右焦点．
(1)若y=x是双曲线C的一条渐近线，求C的离心率；
(2)当a= 2时，若双曲线C上存在一点P满足PF1+PF2=4，求▵PF1F2的面积；
(3)若在双曲线C上分别存在两点A和B，点A在第一象限，点B在第二象限，使得四边形F1BAF2的面积为2 a2+1，且存在实数λ使F2A=λF1B，求实数a的取值范围．
21.(本小题14分)
对于定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)，a∈R，设Ma=tt=f(x)−g(a),x≥a ．
(1)若f(x)=2x−1，g(x)=csx，求M0；
(2)若f(x)=x3−3x2，g(x)=−x，Ma⊆[0,+∞)，求实数a的取值范围；
(3)已知对任意a∈R，均有Ma=[0,+∞)，记ℎ(x)=g(x)−a，求证：“对任意a∈R，函数y=ℎ(x)零点个数均有限”的充要条件是“y=f(x)在R上是严格增函数”．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.A
5.3,4
6.(−1,2]
7.19
8.4π
9.x−y−1=0
10.24
11.64π7
12.−2

14.41
15.r0⋅x(t)(1−x(t)N)
16.0,21e2
17.(1)
取AD的中点E，连接CE，
∵AD=4，∴AE=ED=12AD=2，
∵AD//BC，BC=2，∴AE//BC且AE=BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，∴CE=AB=2，CE//AB，
∵AB⊥AD，∴AB⊥BC，CE⊥AD，
∴AC= AB2+BC2=2 2，CD= CE2+ED2=2 2，
∴CD2+AC2=AD2，∴CD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴CD⊥平面PAC，
∵CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD；
(2)
连接BE，BD，PE，
由(1)可知BC//ED，BC=ED，∴四边形BCDE是平行四边形，
∴CD//BE，且CD=BE，
∴∠PBE是异面直线PB和CD所成角，即∠PBE=π3，
设PA=m，∵AB=AE=2，∴PB=PE= m2+4，CD=BE=2 2，
∴△PBE是等边三角形，∴ m2+4=2 2，∴m=2，即PA=2，
∵AC=2 2，PA⊥AC，∴PC= PA2+AC2=2 3，
由(1)知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∴S▵PCD=12×CD×PC=12×2 2×2 3=2 6，
S▵BCD=12×BC×AB=12×2×2=2，
设点B到平面PCD的距离为ℎ，
∴VB−PCD=VP−BCD，即13S▵PCDℎ=13S▵BCD⋅PA，即2 6ℎ=4，
∴ℎ=42 6= 63，即点B到平面PCD的距离为 63．
18.(1)由已知代入可得不等式：lg22x−1+lg22x≤1⇔lg22x−12x≤lg22，
根据对数函数的单调性可得：2x−12x≤2且2x−1>0，
则2x2−2x−2≤0⇔2x−22x+1≤0且x>0，
解得：x| 010.828，
所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系．
(3)由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员，
故随机变量X可能为0,1,2,
且P(X=0)=C22C82=128,P(X=1)=C21C61C82=37,P(X=2)=C62C82=1528，
故分布列如下：
所以期望：E(x)=0×128+1×37+2×1528=32，
方差：D(x)=0−322×128+1−322×37+2−322×1528=928．
20.(1)若y=x是双曲线C的一条渐近线，则1a=1，可得a=1，
此时，双曲线C的离心率为e=ca= a2+b2a= 2．
(2)若a= 2，不妨设点P位于第一象限，且c= a2+b2= 3，则F1F2=2c=2 3，
由双曲线的定义可得PF1−PF2=2 2，
又因为PF1+PF2=4，则PF1=2+ 2，PF2=2− 2，
所以，PF12+PF22=2+ 22+2− 22=12=F1F22，
所以，∠F1PF2=90∘，
故S▵PF1F2=12PF1⋅PF2=12×2+ 2×2− 2=1．
(3)取点B关于原点O的对称点E，由双曲线的对称性可知，点E在双曲线上，
连接BF1、EF2，
则O为BE、F1F2的中点，所以，四边形BF1EF2为平行四边形，所以，F1B=EF2，
又因为F2A=λF1B，则F2A=λEF2，即A、F2、E三点共线，
易知，直线AE不与x轴重合，设直线AE的方程为x=my+c，
设点Ax1,y1、Ex2,y2，
因为S四边形ABF1F2=S▵BOF1+S四边形ABOF2=S▵OEF2+S四边形ABOF2=S▵ABE=2S▵AOE=2 a2+1=2c，
所以，S▵AOE=c=12OF2⋅y1−y2=12c⋅y1−y2，则y1−y2=2，
联立x=my+cx2a2−y2=1可得m2−a2y2+2mcy+1=0，
由题意可得m2−a2≠0Δ=4m2c2−4m2−a2>0y1y2=1m2−a2g(a)，则由y=f(x)在x∈[a,+∞)上的最小值为g(a)，
存在x0>a使得fx0=g(a)，故y=f(x)在x∈x0,+∞上的最小值为g(a)．
取c∈a,x0，则y=f(x)在x∈[c,+∞)上的最小值为g(c)，
故g(a)=g(c).但由y=g(x)为严格增函数，知g(c)>g(a)，矛盾．
所以假设不成立，所以f(a)=g(a)．
即对任意a∈R，函数y=f(x),x≥a的最小值为f(a)．
而对任意a∈R,y=f(x),x≥a的值域为[g(a),+∞)，故f(a)=g(a)．
于是y=g(x)与y=f(x)是相同函数，所以y=f(x)是严格增函数．
x
−1
10
13
18
y
62
38
34
m
是“志愿模范队”成员
不是“志愿模范队”成员
总计
周平均服务时长超过2小时
54
72
周平均服务时长不超过2小时
总计
72
120
Pχ2≥k
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
是“志愿模范队”成员
不是“志愿模范队”成员
总计
周平均服务时长超过2小时
54
18
72
周平均服务时长不超过2小时
18
30
48
总计
72
48
120
X
0
1
2
P
128
37
1528