上海市虹口区2021-2022学年高三上学期期末学生学习能力诊断测试（一模）数学试卷 附答案

这是一份上海市虹口区2021-2022学年高三上学期期末学生学习能力诊断测试（一模）数学试卷 附答案，共9页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，满分150分） 2021.12
一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）
1．已知集合，，则 ．
2．已知是方程的解，则实数的值为_____________.
3．已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ．
4．已知无穷等比数列的前项的和为，首项，公比为，且，则 .
5．圆的半径等于．
6．在的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
7．已知角、、是的三个内角，若，则该三角形
的最大内角等于_______（用反三角函数值表示）.
8．已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时有，则 ．
9．已知抛物线的焦点为，、为此抛物线上的异于坐标原点的两个不同的点，满足，且，则 ．
10．如图，在棱长为的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足：直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为 ．
已知实数、满足：，则的取值范围是 ．
已知函数，若对任意实数、，方程有解，方程也有解，则的值的集合为 .
二．选择题（每小题5分，本大题满分20分）
13．设：实数满足，：实数满足．那么是的…………（ ）
充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件
14．设函数，其中，．若对任意的恒成立，则下列结论正确的是…………………………………………………………（ ）
的图像关于直线对称
在上单调递增 过点的直线与函数的图像必有公共点
15． 设等差数列的前项和为，如果，则……………………（ ）
且 且
且 且
16．已知，，复数（其中为虚数单位）满足．给出下列结论：
①的取值范围是； ②；
③的取值范围是； ④的最小值为.
其中正确结论的个数是…………………………………………………………………（ ）

三．解答题（本大题满分76分）
17．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
如图，在直三棱柱中，已知，，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成的角的大小.
18．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
在平面直角坐标系中，在以原点为圆心半径等于1的圆上，将射线绕原点逆时针方向旋转后交该圆于点，设点的横坐标为，纵坐标为．
（1）如果，，求的值（用表示）；
（2）如果，求的值．
19．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）7小题分）
某地政府决定向当地纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的.设企业纳税额为（单位：万元），补助款为（单位：万元），其中为常数．
（1）分别判断，时，是否符合发放方案规定，并说明理由；
（2）若函数符合发放方案规定，求的取值范围．
20．（本题满分16分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点,交轴于点.
（1）若，求的值；
（2）若点在第一象限，满足，求的值；
（3）在平面内是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分）
已知集合，.中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，为数列的前项的和．
(1)求；
(2)如果,，求和的值；
(3)如果，求（用来表示）.虹口区2021学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
高三数学试题答案
一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）
1、； 2、4； 3、； 4、； 5、； 6、；
7、； 8、； 9、4； 10、； 11、； 12、；
二、选择题（每小题5分，满分20分）
13、； 14、； 15、； 16、；
三、解答题（本大题满分76分）
17、（14分）解:（1），，满足，.三棱柱是直三棱柱，．
又，平面．……………………5分
…………7分
取的中点，连、．
由于，又，所以， 又，所以，所以是直线与平面所成的角.…………10分
在直角三角形中，，，所以，所以，
所以直线与平面所成的角的大小等于．………………14分
18、（14分）解：（1），.
………………4分
当为第一象限角时，由，得,
从而.
当为第二象限角时，由，得,
…………7分
(2)，解得…………10分
.…14分
19、（14分）解：（1）当时，，所以当时不符合发放方案规定．3分
当时，，显然当时，随的增大而增大，且在上恒成立，即 不低于，所以时符合发放方案规定．……………………7分
（2）由题设可知，当时，单调递增，且恒成立．
因为图像的对称轴方程为，所以即时，在单调递增．……………10分
，即不等式在上恒成立，
即，即在上恒成立，
可以证明在上是单调递增函数，所以当时，取最小值，所以．
综上，的取值范围是．……………………14分
20、（16分）解：（1）由已知的坐标为，,.
由，得，，，.…………3分
（2）设,则，因为，,
又点在椭圆上，所以.由得,，.…………………………6分
又,由,,,得.………8分
（3）设存在定点，使得是一个确定的常数.设,，直线,
将代入，整理得
…………………………10分

………………14分

,,
所以存在点,.……………………16分
21、（18分）解:(1)
…………………………3分
由于,在数列中，,数列前项中有，,,这四项，从而等差数列2，4，6，……，取了前项.所以有,解得.……………………………………6分
设数列的前2022项中有集合中的项，,……，,有集合中的等差数列2，4，6，……，取其前项，从而有或
或，解得，………………………10分

由于且数列是递增数列.
若,则数列的前项中有集合中的项，,……，,有集合中的等差数列2，4，6，……，取其前项，所以,从而,又函数在上单调递增，所以.即.
若,由数列是递增数列及以上的推理可得,可得,由函数在递增,得,从而得出矛盾.……………………15分
综上数列的前项中有集合中的项，,……，,有集合中的等差数列2，4，6，……，取其前项.
.……………………18分