河南南阳市镇平县第一高级中学等校2026届高考冲刺演练数学试卷（含答案）

这是一份河南南阳市镇平县第一高级中学等校2026届高考冲刺演练数学试卷（含答案），文件包含第5章比与比例压轴题专项训练原卷版pdf、第5章比与比例压轴题专项训练解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
1.已知集合A=x∈N∣x2−x−120)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.若圆x−32+y−42=r2(r>0)与椭圆x23+y2=1的蒙日圆有且仅有两个公共点，则r的取值范围是( )
A. 3,+∞B. 0,7C. 3,7D. 7,+∞
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4
B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1
C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈6.852，根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验：χ0.0052=7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%
D. 若随机变量X服从正态分布N3,σ2，且PX≤4=0.7，则P(20的左、右顶点，Px0,y0为双曲线上位于第一象限内任意一点，记∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ(其中α,β,y均不为π2)，▵PAB的面积为S，则( )
A. PAPB的值随着x0的增大而减小B. tanα−tanβ≤2ba
C. S⋅tanγ为定值D. csγcs2β+γ为定值
11.如图所示的花灯的轮廓是正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，其棱长均相等，且所有棱长的总和为36，则( )
A. AB//平面CD1F
B. BD1⊥平面B1DE
C. 直线DE到平面B1CF的距离等于2 217
D. 平面ABC1与平面B1CF的夹角的余弦值等于17
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线C:y2=ax的准线方程为x=−1，则a=
13.已知等差数列{an}的各项均为正数，记其前n项和为Sn，若数列{ Sn}是等差数列，且{ Sn}与{an}的公差相等，则a1= ．
14.已知(1+ix)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(x∈R)，其中i为虚数单位，从组合数Cn0、Cn1、Cn2…、Cnn中取出一个数记作a，从展开式中项的系数a0、a1、a2、…、an中取出一个数记作b，若n=40，则(a+bi)(b+ai)∈R的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an的首项a1=12，且满足an+1=an3an+1n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足bn=anan+1，求bn的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
2026 年 4 月 19 日， 第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行， 来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注.为研究 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的 500 台机器人进行统计，得到如下列联表 (单位： 台)：
(1)根据小概率值 α=0.001 的独立性检验，能否认为 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 有关?
(2)从该 500 台机器人中，采用按比例分层抽样的方法(以是否搭载智能避障系统分类)，抽取一个容量为 10 的样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中 “搭载智能避障系统” 的台数为X.求X的数学期望 EX ．
附： χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ，其中 n=a+b+c+d ．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，侧面PBC为正三角形，且平面PBC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点，PE=λPA00)的离心率为 22，其左焦点F1到点P(2,1)的距离是 10．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=3截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求△AOB面积S的最大值．
19.(本小题17分)
意大利画家达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数fx=ex+e−x2的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为chx=ex+e−x2，把gx=ex−e−x2称为“双曲正弦函数”，记shx=ex−e−x2，易知sh2x=2shx⋅chx．
(1)证明：(i)当x>0时，shx>x；
(ii)当x>0时，csx>1−12x2；
(2)证明：sh2tan1+sh1tan12+sh23tan13+⋯+sh2ntan1n>2n−4n2n+1n∈N∗．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.A
5.A
6.D
7.B
8.C
9.BD
10.ACD
11.ACD
12.4
13.14
14.401681
15.解：(1)在数列an中，a1=12，an+1=an3an+1，可得1an+1=1an+3，
即数列1an是首项为2，公差为3的等差数列，
所以1an=2+3(n−1)=3n−1，即an=13n−1．
(2)由(1)得bn=anan+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，
所以Sn=b1+b2+b3+⋯+bn
=13[(12−15)+(15−18)+(18−111)+⋯+(13n−1−13n+2)]
=13(12−13n+2)=n6n+4．
16.解：(1)完善列联表如下：
设H0:“机器人是否搭载智能避障系统与“能否完成全程比赛”无关，
则χ2=500(180×130−70×120)2250×250×300×200=30>10.828，
故根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”有关；
(2) (2)根据分层抽样可得10台机器人中“搭载智能避障系统”的台数为10×250500=5，
故X可取0，1，2，3，
又P(X=0)=C53C50C103=10120=112，P(X=1)=C52C51C103=50120=512，
P(X=2)=C51C52C103=50120=512，P(X=3)=C50C53C103=10120=112，
故E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=32．
17.解：(1)证明：
因为底面ABCD为矩形，所以BC//AD，
又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC//面PAD，
又面PAD∩面BCE=EF，BC⊂平面BCE，
故BC//EF；
(2)设BC的中点为O，连接PO，
显然PO⊥BC，以O为坐标原点，分别以OB,OP所在直线为x,z轴，在底面内过点O垂直于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知P0,0,2 3,A2,2,0,B2,0,0,C−2,0,0,D−2,2,0，
当λ=12时，E1,1, 3，设Qa,b,c，
则BC=−4,0,0,BE=−1,1, 3,PB=2,0,−2 3,QB=2−a,−b,−c，PQ=a,b,c−2 3,PC=−2,0,−2 3,PD=−2,2,−2 3，
设平面BCE的一个法向量为m=x,y,z，
则m⋅BC=−4x=0m⋅BE=−x+y+ 3z=0，取z=−1，则y= 3,x=0，
所以m=0, 3,−1，
由题易知点P到平面BCE的距离与点Q到平面BCE的距离相等，且PQ//m，
即a=0,b 3=c−2 3−1,PB⋅mm=QB⋅mm，
即a=0,b=6− 3c，且2 3=− 3b+c，解得c= 3或c=2 3(舍去)，b=3，
所以Q0,3, 3．
设平面QAB的一个法向量为t=x0,y0,z0，
又QA=2,−1,− 3,QB=2,−3,− 3，
则QA⋅t=2x0−y0− 3z0=0QB⋅t=2x0−3y0− 3z0=0，取x0= 3,y0=0,z0=2，
所以t= 3,0,2．
设平面PCD的一个法向量为n=x1,y1,z1，
则n⋅PC=−2x1−2 3z1=0n⋅PD=−2x1+2y1−2 3z1=0，取x1= 3，
则y=0,z=−1，所以n= 3,0,−1
设平面QAB与平面PCD所成角的平面角为θ，
则csθ=cst,n=12 7= 714．
故平面QAB与平面PCD所成角的余弦值为 714．

18.解：(1)由题意可得e=ca= 22， (2+c)2+1= 10，
解得c=1，a= 2，b= a2−c2=1，即有椭圆的方程为x22+y2=1；
(2)∵O到l的距离d= r2−(32)2= 3−94= 32，∴d=|m| k2+1= 32，
∴m2=34(k2+1)．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，把y=kx+m代入x22+y2=1，
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
∴x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2，
∴|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2 16k2m2(1+2k2)2−8(m2−1)1+2k2= 1+k2⋅ 2(1+5k2)1+2k2= 2⋅ (k2+1)(5k2+1)1+2k2，
∵S=12|AB|⋅d= 34|AB|= 24⋅ (3k2+3)(5k2+1)1+2k2≤ 24⋅12(3k2+3+5k2+1)1+2k2= 22，
∴当3k2+3=5k2+1，即k=±1时，Smax= 22，
即△AOB面积S的最大值为 22．

19.证明：(1)(i)由sh(x)=ex−e−x2，
令F(x)=sh(x)−x=ex−e−x2−x,(x>0)，
则F′(x)=ex+e−x2−1>0，
所以F(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以F(x)=sh(x)−x>F(0)=sh(0)−0=0，
所以当x>0时，sh(x)>x成立；
(ii)令H(x)=csx−1+12x2,(x>0)，
则H′(x)=−sinx+x，
令φ(x)=x−sinx，
则φ′(x)=1−csx≥0，
因此ϕ(x)在(0,+∞)上单调递增；
所以φ(x)=x−sinx≥φ(0)=0，
故x>sinx，
即H′(x)=−sinx+x>0，
所以H(x)在(0,+∞)上单调递增，
即H(x)=csx−1+12x2>H(0)=0，
所以当x>0时，csx>1−12x2成立；
(2)由x>0时，csx>1−12x2成立，
令x=1n,n≥1，且n∈N∗，
则cs1n>1−12n2，
即cs1n>1−12n2=1−24n2>1−24n2−1=1−(12n−1−12n+1)，
由题意sh(2x)=2sh(x)⋅ch(x)，
令x=1n,n≥1且n∈N∗，可得sh(2n)=2sh(1n)⋅ch(1n)，
因为ch(x)=ex+e−x2>1，
所以sh(2n)=2sh(1n)⋅ch(1n)>2sh(1n)，
由①当x>0时，sh(x)>x，
所以令x=1n,n≥1且n∈N∗，可得sh(1n)>1n，
所以sh(2n)=2sh(1n)⋅ch(1n)>2sh(1n)>2n，
由前面解答过程得，对任意x>0，x>sinx成立，
令x=1n,n≥1且n∈N∗，
可得1n>sin1n，
所以sh(2n)=2sh(1n)⋅ch(1n)>2sh(1n)>2n>2sin(1n)=2cs(1n)⋅tan(1n)，
又n≥1且n∈N∗，所以02cs(1n)>2[1−(12n−1−12n+1)]，
所以可得sh(2)tan1+sh(1)tan12+sh(23)tan13+⋯+sh(2n)tan1n
>2[1−(1−13)+(13−15)+⋯+1−(12n−1−12n+1)]
=2n−2+22n+1=2n−4n2n+1，
即可得sh(2)tan1+sh(1)tan12+sh(23)tan13+⋯+sh(2n)tan1n>2n−4n2n+1(n∈N∗)． 完成比赛
未完成比赛
搭载智能避障系统
180
70
未搭载智能避障系统
120
130
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
完成比赛
未完成比赛
合计
搭载智能避障系统
180
70
250
未搭载智能避障系统
120
130
250
合计
300
200
500
X
0
1
2
3
P
112．
512
512
112