2026舟山五校联盟高二下学期期中调研试题数学含解析

这是一份2026舟山五校联盟高二下学期期中调研试题数学含解析，共8页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 的展开式中的系数为， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
I卷 选择题部分（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合补集、交集运算可求出结果.
【详解】根据题意，集合，则，
又由，则，
故选：A.
2. （ ）
A. 110B. 98C. 95D. 148
【答案】C
【解析】
【详解】．
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】特称命题“”的否定是全称命题“”，条件“”保持不变，
而结论取反，“”的否定是“”，
所以原命题的否定为：．
4. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可.
【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为；
不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ，
合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ，
根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为；
根据古典概型得.
故选：B
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 5B. 10C. 20D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式的通项计算.
【详解】的通项为，所以的展开式中的项为，则系数为10.
故选：B.
6. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质求解.
【详解】∵ 考试的成绩服从正态分布，
∴ 考试的成绩关于对称，，
，
∴ 该班学生数学成绩在120分以上的人数为.
故选：B.
7. 象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值，它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法不正确的是（ ）
A. 共有120种排列方式B. 若两个“马”不相邻，则有72种排列方式
C. 若两个“车”相邻，则有24种排列方式D. 若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，由全排列即可判断；对于B，先将剩余的3个棋子进行全排列，再两个“马”插空即可确定；对于C，两个“车”先捆绑，再与其他全排列即可判断；对于D，将2个黑色的棋子进行全排列，再将红色棋子插空即可求解．
【详解】对于A，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确；
对于B，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空，
再将两个“马”插空，故共有种排列方式，故B正确；
对于C，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式，
再和剩余的3个棋子进行全排列，有，故一共有种排列方式，故C错误；
对于D，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空，
故共有种排列方式，故D正确．
8. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由，，得，则，，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则
B. “”是“”的充要条件
C. 若，则的最小值是5
D. 不等式对一切实数恒成立，则
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A，，
因为，所以可知，即，故A正确；
对于B，充分性：若，则且，充分性成立，
必要性：若，当时，可得，即，
当时，可得，即，
综上解集为或，所以必要性不成立，故B错误；
对于C，令，则可变为，
等号当且仅当即，成立，所以原式最小值为5，故C正确；
对于D，当时，不等式为，恒成立，
当时，需满足，解得，
综上，，故D错误．
10. 某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ）
参考公式：．
A.
B. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为
C. 由散点图知变量和正相关，相关系数的绝对值越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
D. 当时，残差为
【答案】ABD
【解析】
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，根据公式计算回归系数，
，
所以回归直线方程为，故B正确；
对于C，散点图如下所示，
由图可知，变量x和正相关，但相关系数越接近1，线性相关程度越强，
越接近0，相关程度越弱，故C错误；
对于D当时，预测值，实际值，
残差，故D正确．
11. 下列命题中，真命题有（ ）
A. 若则
B. 若随机变量，则
C. 若不等式的解集为或，则
D. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件概率公式、二项分布的方差公式、组合数的公式以及排列组合的应用逐项计算判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，A错误；
对于B，若随机变量，则，B正确；
对于C，若不等式的解集为或，
则为方程的两个根，那么，
所以不等式变为，解得，所以，C正确；
对于D，由题意可得恰有两个盒子为空的放法种数为 ，D正确.
II非选择题部分（共92分）
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________．
【答案】##
【解析】
【详解】因为，
所以．
13. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数有___________个.
【答案】120
【解析】
【详解】试题分析：首位为的有个，首位为的有个，故共有个.
考点：排列组合.
14. 已知，且，则的最小值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】先对进行通分，再结合已知条件，将式子变形，最后利用基本不等式求解最小值.
【详解】，因为，所以，
所以.
当且仅当，即时，等号成立，
结合可得或，
此时取得最小值2.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）若，求A，B及；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【小问1详解】
当时，由，解得，
所以，由，解得，所以，
所以．
【小问2详解】
由，解得，所以，
又“”是“”的充分条件，所以，
已知，则可得，解得，
所以a的取值范围为．
16. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64．
（1）求正整数的值，第3项二项式系数及第3项系数；
（2）求常数项；
（3）求二项展开式中各项系数之和．
【答案】（1），第3项二项式系数为15，系数为240
（2）60 （3）729
【解析】
【小问1详解】
二项式系数之和为，由题意得，解得，
所以二项展开式的第项，
第3项即时，二项式系数为，系数为．
【小问2详解】
令，解得，
所以常数项为．
【小问3详解】
令，代入原式得 ，
所以各项系数之和为729．
17. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为，丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人．
（1）求该机器人是甲品牌合格品的概率；
（2）求该机器人是合格品的概率；
（3）若从该商店有放回地随机抽取3台机器人，求抽到的机器人中至多1台甲品牌不合格品的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
用A表示机器人是甲品牌，用B表示机器人是合格品，
则．
【小问2详解】
用C表示机器人是乙品牌，用D表示机器人是丙品牌，
则
．
【小问3详解】
单次抽到的是甲品牌且不合格的概率为，
则有放回地抽取3台，设X为抽到的甲品牌不合格数量，则，
所以至多1台的概率为
．
18. 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人．
（1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？
（2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：．
【答案】（1）
对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员性别有关联
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列，由数学期望计算公式可求得期望值．
【小问1详解】
因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，
故样本中偏好燃油汽车的人数为，
因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，
故样本中女性驾驶员的人数为，由题意，列联表补充如下：
零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联，
根据列联表数据，计算得，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
【小问2详解】
由题意，抽取的人中偏好燃油汽车的人数为人，
偏好新能源汽车的人数为人，
随机变量的可能值为，，，，
，，
，，
所以，随机变量的分布列为：
的数学期望．
19. 小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布.
（1）若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布.
（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求.
（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由.
（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数）
附：①若随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
③参考数据：，，，
，
【答案】（1）（i）；（ii）理由见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论；
（2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差.
【小问1详解】
（i）依题意得，，所以.
设，因为，
则；
（ii）由（i）得.
因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且，
所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由.
【小问2详解】
设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则.
设，由，
得
，
根据题意，得随机变量，故.
1
2
3
4
5
6
7
2
3
5
7
8
8
9
0
1
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
女性驾驶员
300
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
X
0
1
2
3
P
偏好燃油汽车
偏好新能源汽车
合计
男性驾驶员
120
100
220
女性驾驶员
30
50
80
合计
150
150
300
X
0
1
2
3
P