数学八年级下册（2024）2.3 一元二次方程根与系数的关系课堂检测

这是一份数学八年级下册（2024）2.3 一元二次方程根与系数的关系课堂检测，文件包含专题01二次根式的混合运算100题举一反三专项训练数学新教材浙教版八年级下册解析版docx、专题01二次根式的混合运算100题举一反三专项训练数学新教材浙教版八年级下册试题版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
考卷信息：
本套训练卷共40题，其中选择题10题，填空题10题，解答题20题． 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对根与系数的关系与根的判别式的理解！
1．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于x的一元二次方程2x2−kx−1=0时，抄错了k值的正负号，解出x的一个根为−2，则下列结论说法正确的是（ ）
结论一：原方程有两个不相等的实数根；
结论二：原方程的两根之和x1+x2=−74．
A．结论一正确、结论二不正确B．结论一不正确、结论二正确
C．结论一正确、结论二正确D．结论一不正确、结论二不正确
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二.
【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为2x2+kx−1=0，代入根x=−2得：
2×(−2)2+k−2−1=0 ，
解得：k=72，
因此，原方程为2x2−72x−1=0，
∴Δ=−722−4⋅2⋅−1=494+8=814>0，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确；
根据根与系数关系，两根之和为x1+x2=−ba=722=74，但结论二写为−74，符号错误，故结论二不正确；
综上，结论一正确、结论二不正确，
故选A
2．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）已知x1，x2是关于x的方程x2−k+1x−k2=0的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2B．x1=x2C．x1x2>0D．x1+x2>0
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论．
【详解】解：∵ x2−(k+1)x−k2=0，
∴Δ=[−(k+1)]2+4k2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵ x1,x2是关于x的方程x2−(k+1)x−k2=0的两个根，
∴ x1≠x2；故A正确，B错误；
∴x1+x2=k+1,x1x2=−k2≤0，故选项C错误；
∴ x1,x2异号或其中一个的值为0，
∴x1+x2的值可能大于 0 ，可能等于 0 ，也有可能小于 0 ，故D错误；
故选：A．
3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根x1，x2，且满足x1x2+x1+x2=m2+6，则m=（）
A．−3或1B．1C．3或−1D．−1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．
根据一元二次方程根与系数的关系得到m2+2m−3=0，解得m1=−3，m2=1，结合根的判别式作答即可．
【详解】解：由根与系数关系可得x1+x2=4，x1x2=−2m+5，
代入x1x2+x1+x2=m2+6得−2m+5+4=m2+6，
即m2+2m−3=0
解得：m1=−3，m2=1
∵原方程有实数根，
∴Δ=(−4)2−4⋅1⋅−2m+5=8m−4≥0，
解得m≥0.5
因此m=−3不满足，舍去，
综上，m=1，
故选：B．
4．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若AC=a+c，则方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．两根之和为ca
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、一元二次方程根的判别式、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据AC=c−a=a+c，得到a为负数，c为正数，进而得到Δ=b2−4ac>0，结合两根之和为−ba即可得到正确答案．
【详解】解：根据题意可知，AC=c−a=a+c，
∴a=−a，c=c，
∴a为负数，c为正数，
∴a，c异号，
∴ac0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，两根之和为−ba，
故选：B．
5．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：a&b=a2−2ab+2，如：3&4=32−2×3×4+2=−13．若x&x−1=−4，则所有满足条件的实数x的和为（ ）
A．−2B．2C．−6D．230
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得x2−2xx−1+2=−4，即x2−2x−6=0，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案．
【详解】解：∵x&x−1=−4，
∴x2−2xx−1+2=−4，
∴x2−2x−6=0，
∵Δ=−22−4×−1×6=28>0
∴原方程有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2=−2−1=2．
故选：B．
6．（2025·河北邯郸·二模）已知x1=−1是关于x的方程x2+bx+c=0的一个解，该方程的另一个解为x2，则下列说法正确的是（ ）
A．b−c=−1B．b2≤4c
C．b=1−x2D．c=x2
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：∵x1=−1是方程x2+bx+c=0的解，
∴1−b+c=0，
∴b−c=1，故A错误；
由题意得，该方程有两个实数根，
∴Δ=b2−4c≥0，
∴b2≥4c，故B错误；
∵x2+bx+c=0的两个解为x1=−1，x2，
∴−1+x2=−b,−x2=c，
∴b=1−x2,c=−x2，故C正确，D错误．
故选：C．
7．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若方程x2−2x+k=0的两根之积为4k−3，则k的值是（ ）
A．-1B．1C．−54D．54
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程求解，并验证判别式是否非负．
【详解】解：对于方程 x2−2x+k=0，设其两根为 x1 和 x2，根据根与系数的关系，根的积为 k1=k．
题目给出根的积为 4k−3，因此有：
k=4k−3
解得：
k=1
验证判别式：
Δ=−22−4⋅1⋅k=4−4k
当 k=1 时，Δ=4−4⋅1=0≥0，方程有实根，符合条件．
故选B．
8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程x2−2x−8=m的两根分别为x1，x2，且x1−x2>6，则m的取值范围为（ ）
A．−236，
∴m>0，
综上，m的取值范围为m>0，
故选：D．
9．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个相等的实数根，且满足9a−3b+c=0，则（ ）
A．ax+32=0 B．b=a
C．−ax−32=0D．c=3a
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据方程满足9a−3b+c=0，可得x=−3是方程ax2+bx+c=0a≠0的根，再由方程有两个相等的实数根，结合根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵方程ax2+bx+c=0a≠0满足9a−3b+c=0，
∴x=−3是方程ax2+bx+c=0a≠0的根，
∴ax+32=0成立，−ax−32=0不成立，故A选项符合题意；C选项不符合题意；
∵一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个相等的实数根，
∴x1=x2=−3，
∴−3−3=−ba，−3×−3=ca，
∴b=6a,c=9a，B，D选项不符合题意；
故选：A．
10．（2025·广东广州·一模）若关于x的方程x2−2m−2x+m2−2m=0有两个实数根，且两根之和不小于−6，则代数式m+22−8m−m+1化简的结果是（ ）
A．−1B．1C．−2m−1D．−2m+1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识．
根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出m的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题．
【详解】解：∵关于x的方程x2−2m−2x+m2−2m=0有两个实数根，
∴−2m−22−4m2−2m≥0
4m−22−4m2−2m≥0
4m2−16m+16−4m2+8m≥0
−8m≥−16
m≤2，
∵两根之和不小于−6，
∴2m−2≥−6，
解得m≥−1，
综上−1≤m≤2，
∴−3≤m−2≤0， 0≤m+1≤3，
∴ m+22−8m−m+1
=m2−4m+4−m−1
=m−22−m−1
=m−2−m−1
=−2m+1，
故选：D．
11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一定二次方程x2−x+2t=0，有两个实数根m,n．设y=m−2n−2则y的最大值为
【答案】94
【分析】题考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据题意得出m+n=1,mn=2t，Δ=b2−4ac=1−8t≥0，解得：t≤18，将m+n=1,mn=2t，代入函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一定二次方程x2−x+2t=0，有两个实数根m,n．
∴m+n=1,mn=2t，Δ=b2−4ac=1−8t≥0
解得：t≤18
∴y=m−2n−2
=mn−2m+n+4
=2t−2+4
=2t+2
∵2>0，y随t的增大而增大，
∴当t=18时，y取得最大值为94
故答案为：94．
12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2+2a−4x+a2−3=0的两个实数根互为倒数，则a的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与系数的关系、根的判别式等知识点，灵活运用一元二次方程的相关知识成为解题的关键．
根据一元二次方程的定义和根与系数的关系得到：x1·x2=a2−3=1，解得a=2或−2，然后再运用根的判别式验证即可．
【详解】解：设方程的两根为x1，x2，
∵关于x的一元二次方程x2+2a−4x+a2−3=0的两个实数根互为倒数，
∴x1·x2=a2−3=1，解得：a=2或−2，
当a=2时，原方程变形为x2+1=0，该方程无实数根；
当a=−2时，原方程变形为x2−8x+1=0，Δ=−82−4×1×1=60>0，故该方程有两个不等实数根，符合题意．
故答案为：−2．
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足b+c−1=0,a−bc−1=0．
（1）当b=2时，则a= ；
（2）实数a的取值范围是 ．
【答案】 −1 a≤54
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是根据式子特点，构造一元二次方程：
（1）把b=2代入两个式子，进行求解即可；
（2）根据b+c−1=0,a−bc−1=0，得到b+c=1,bc=a−1，得到b,c为一元二次方程x2−x+a−1=0的两个根，根据根的判别式，列出不等式求出a的范围即可．
【详解】解：（1）把b=2代入b+c−1=0,a−bc−1=0，得：
2+c−1=0,a−2c−1=0，
∴c=−1，
∴a=2c+1=2×−1+1=−1；
故答案为：−1；
（2）∵b+c−1=0,a−bc−1=0，
∴b+c=1,bc=a−1，
∴b,c可以看作是一元二次方程x2−x+a−1=0的两个根，
∴Δ=−12−4a−1≥0，
解得：a≤54；
故答案为：a≤54．
14．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知x1, x2是一元二次方程x2+m+1x+1=0的两个根，且0