北京市延庆区2025-2026学年第二学期期中试卷高一数学（含解析）

这是一份北京市延庆区2025-2026学年第二学期期中试卷高一数学（含解析），共13页。试卷主要包含了05， 若角是第二象限的角，则， 若，，则， 若，且，则的值为， ，，，则， 已知．则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
2026.05
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若角是第二象限的角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】角是第二象限的角，则，，，.
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，，可知位于第四象限，则，
又因为，则，
且，可得，
即，所以.
3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据三角函数定义可知，
而根据诱导公式可知.
4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数、余弦函数性质依次求出周期、单调性判断.
【详解】周期是，且在区间上为先减后增，A错误；
周期为，B错误；
周期是，且在区间上为减函数，C错误；
周期是，在区间上为增函数，D正确.
故选：D
5. 若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，故，故，
所以，故.
6. 若非零向量，，满足，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由可得，即，
又，，是非零向量，
故.
7. ，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦、正切函数的单调性分析即可求解.
【详解】函数在上单调递增，
所以，
又函数在上单调递增，
所以，
所以.
8. 已知．则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.
【详解】，，
则或，
由得，
由得，
显然，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.
9. 已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解.
【详解】，
令，由得，
设，
其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，
因为在上取得最大值2，
所以，解得.
10. 已知函数若直线与函数恰有2个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】直线与函数恰有2个交点，将函数图像画出即可求出实数的取值范围是.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若，则的值为______.
【答案】
【解析】
【详解】，故，
故.
12. 已知，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【详解】因为，故，而，
故即，故的取值范围为.
13. 把函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则此时______；把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象.则此时______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移、伸缩变换即可求解.
【详解】函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，
则；
把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，
则.
14. 化简的结果是______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解.
【详解】原式.
15. 设，且，给出下列四个结论：
①对于任意实数，实数的取值范围为；
②对于任意实数，实数的取值范围为；
③对于任意实数，的最大值为5；
④对于任意实数，的最小值为.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①④
【解析】
【分析】由题意，根据可得、，即可判断①②；根据二倍角的余弦公式可得，利用换元法（）得，结合二次函数的图象与性质求出最值即可判断③④.
【详解】由，得，
又，
所以，解得，
所以实数的取值范围为R不成立，故②错误；
同时，解得，
所以实数的取值范围为R，故①正确；
，
令，则，
其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，
所以当时，，
所以当时，，故③错误，④正确.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 设向量，，.
（1）若与平行，求的值；
（2）若与垂直，求的值；
（3）求的余弦值；
（4）求在上的投影数量.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【小问1详解】
因为，
所以，
因为与平行，所以，所以
【小问2详解】
因为，，
所以，
又因为与垂直，故，所以
【小问3详解】
因为，，
所以，
所以
所以的余弦值为
【小问4详解】
因为，，所以
所以
则在上的投影数量为.
17. 已知函数，的部分图象如图所示.
（1）试确定函数的解析式；
（2）求函数的对称轴方程；
（3）求函数的单调递增区间；
（4）求函数的对称中心.
【答案】（1）
（2），
（3）单调递增区间为
（4）
【解析】
【小问1详解】
如图可知，且，所以.
因为，且，所以.
因为图象过点，所以.
所以.所以，.
所以，.
因为，所以.
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，
的对称轴方程，
【小问3详解】
因为，
所以，
所以函数的单调递增区间为
【小问4详解】
因为，，
所以函数的对称中心为
说明：或者写（对称中心为
18. 已知函数，.
（1）写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表；
（2）若，且是函数的一个零点，直线是函数的一条对称轴，求的值；
（3）当时，求直线与的交点个数.
【答案】（1）个关键的点为：，，，，.
完善题设中的表格如下：
（2） （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据五点法可得关键的个关键的点，从而可完善表格；
（2）利用整体法求出零点和对称轴可求的值；
（3）先讨论函数在上的单调性，再画出相应的函数图象，数形结合后可得交点个数.
【小问1详解】
个关键的点为，，，，.
完善题设中的表格如下：
【小问2详解】
因为是函数的一个零点，且，
所以，解得，
即，又因为，所以.
又因为直线是函数的一条对称轴
所以，解得,
又因为，所以,所以
【小问3详解】
因为，所以，
令，则，
因为在为增函数，故在上为增函数，
同理在上为减函数，故在的图象如下图所示：
由图可得当或时，有0个交点；
当或时，有1个交点；当时，有1个交点；
当或时，有2个交点.
19. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开求解即可；
（2）利用二倍角公式求出，再由同角三角函数基本关系求出，最后利用商数关系可求tanβ即可；
（3）利用两角和公式分别求出，，，，最后利用两角差余弦求解即可.
【小问1详解】
由题设，，，
∴，，
【小问2详解】
因为，则，所以
【小问3详解】
由，
则，
由，
则，
∴，，
又因为，
∴，
而，故.
20. 已知，，函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值；
（3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集.
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
（3），.
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标形式和三角变换公式可得，最后根据公式求得周期；
（2）利用整体法可求函数的最值及对应的的值；
（3）根据平移变换求得的解析式，根据的图象的对称性可求的值，利用整体法可求不等式的解.
【小问1详解】
由已知，，
故，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，故，
故，
当，即时，，
当，即时，.
【小问3详解】
将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，所以.
又函数的图象关于点对称，所以，
故，即时即时，
当取最小值且时，此时，
此时，即
解得，解得，其中，
即不等式解集为，.
21. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）或.
【解析】
【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
【小问1详解】
假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不是 “自均值函数”.
【小问2详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；
综上得：或，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.
结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.0
3
0
0
0
3
0
0
0
3
0
0