北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】集合，，所以.
故选：D
2. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，
故选：D.
3. 已知全集且，则集合中元素有（ ）
A. 2个B. 4个C. 5个D. 7个
【答案】B
【解析】依题意，，解不等式，得，则，
所以，集合中的元素有4个.
故选：B
4. 已知集合满足，则有（ ）
A. 2个B. 4个C. 5个D. 7个
【答案】D
【解析】集合满足，则集合可视为集合与集合的每个真子集的并集，而集合的真子集个数为，所以有7个.
故选：D
5. 若和，则和的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以，当且仅当时取等号，所以，
故选：C
6. 设，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，取满足，而，B错误；
对于C，取满足，而，C错误；
对于D，由不等式性质知，由，得，D正确.
故选：D
7. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. ，D.
【答案】A
【解析】对于选项A，因为，定义域为，关于原点对称，
又，所以是偶函数，又由幂函数的性质知在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故选项A正确，
对于选项B，因为图象不关于轴对称，即不是偶函数，所以选项B错误，
对于选项C，因为，的定义域不关于原点对称，即，是非奇非偶函数，所以选项C错误，
对于选项D，当时，在区间上单调递减，所以选项D错误，
故选：A.
8. 已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因函数的定义域是,故“为奇函数”是“”的充分条件；
反之,若,则函数不一定是奇函数,“ f(x)为奇函数”不是必要条件.应选A.
9. 已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，
由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，
得且或且，
则或，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：C
10. ，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】在同一坐标系内作出直线，，，
由取，，三个函数值中的最小值，
得的图象为下图中实线构成的折线图，
则的最大值即为的图象最高点对应的纵坐标值，
观察图象知，的图象最高点是直线与的交点，
由，得，因此的图象最高点是，
所以的最大值为2.
故选：B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】依题意，，解得，
所以函数的定义域是.
故答案：
12. 已知奇函数满足，则______.
【答案】
【解析】由奇函数满足，得，所以.
故答案为：
13. 已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是______
【答案】
【解析】因为是的必要不充分条件，则，
又，，所以，
故答案为：.
14. 已知，则的最大值是______，当且仅当______时，等号成立.
【答案】①. ②.
【解析】由，得，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最大值.
故答案为：；
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①函数是偶函数；
②函数的增区间为；
③不等式的解集是；
④当时，令，则的最小值为.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①④
【解析】函数的定义域为R，
对于①，，函数偶函数，①正确；
对于②，，函数的增区间为，②错误；
对于③，不等式，则或，
解得或，所以不等式的解集是，③错误；
对于④，依题意，，
当时，，
当且仅当，即时取等号；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
而，
即，所以的最小值为，④正确.
故所有正确结论的序号是①④.
故答案为：①④
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 求下列方程（组）的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）由得，，
解得，故方程的解集为.
（2）当时，方程无解，解集为，
当时，解方程得，方程解集为.
（3）令，则方程可化为，
解方程得，（舍），
，故方程解集为.
（4）由得，，解得,
方程组的解为，，
故方程组解集为.
17. 求下列不等式（组）的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）由，得到，所以或，
故不等式的解集为或.
（2）由，即，得到，
所以，故不等式的解集为.
（3）由，得到，等价于且，
所以或，故不等式的解集为或.
（4）由，得到，即，
对，因为，所以的解集为，故不等式组的解集为.
18. 已知关于的方程，.
（1）当时，若方程两根为与，求下列各式的值：
①;②;③;
（2）若该方程的两根同号，求实数的取值范围.
解：（1）当时，方程，，
则，
①；
②；
③.
（2）由方程的两根同号，得，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 已知函数过点.
（1）求函数的解析式及定义域；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）令，求的解析式，并证明的图像关于对称.
（1）解：因为函数过点，则，得到，
所以，定义域为.
（2）解：函数为偶函数，证明如下：
因为的定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数.
（3）证明：因为，
设是图象上任意一点，关于的对称点为，
因为，
所以，
即点也在图象上，所以的图像关于对称.
20. 已知函数.
（1）当，时，求函数的值域；
（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）当时，比较与的次小.
解：（1）当时，，对称轴为直线，
在上为减函数，在上为增函数，
，
故函数的值域为.
（2）函数，对称轴为直线，
当函数在上是单调增函数时，，，
当函数在上是单调减函数时，，，
综上得，实数的取值范围为.
（3）当时，，对称轴为直线，
在上为减函数，在上为增函数，且，
∵，
∴，故.
21. 设集合，对于集合A中的任意元素和及实数，定义：当且仅当时；.若A的子集满足：当且仅当时，，则称为A的完美子集.
（1）集合，，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；
（2）集合，若不是A的完美子集，求的值.
解：（1）是A的完美子集，不是A的完美子集，理由如下：
对于，因为，
所以，
所以当且仅当时，，
所以是A的完美子集；
对于，因为，
所以
，
令，
所以存在无数组解使得，
如当时，，所以不是A的完美子集.
（2）因为，
所以，
所以，
因为不是A的完美子集，所以存在，使得，
即存在使得，
解方程组得，
由集合互异性可得且，故且，
所以解得或，
且由得，
若，则有，
所以存在无数组解使得，
如当时，，
所以不是A的完美子集，符合题意；
当且时，则由得，
所以由得，又得，故，不符合题意；综上的值为.