2024-2025学年北京市延庆区高一下学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市延庆区高一下学期期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，，，则为（ ）
A．B．C．D．
3．已知在三角形中，，，用，表示向量（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．4B．2C．12D．13
5．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则“”是“角为第一或第二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．（ ）
A．1B．C．D．
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题
11．函数的定义域为 .
12．化简 ．
13．已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ．
14．已知，则的值为 ．
15．已知圆心角为的扇形的半径为1，是弧上一动点（不包括、），作矩形，与相交于点，给出下列四个结论：
①存在点，使得与的面积相等；
②存在点，使得与的面积相等；
③面积的最大值为，此时；
④矩形面积的最大值为，此时．
其中，所有正确结论的序号为 ．
三、解答题
16．已知点，，．
(1)若与垂直，求的值；
(2)若三点共线，求的值；
(3)若，求的值；
(4)将向量绕原点逆时针旋转得到向量，求点的坐标．
17．已知．
(1)若，求的值：
(2)若，求的值；
(3)若，求，的值；
(4)求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．
18．已知函数．
(1)求函数的周期和其图像的对称轴方程；
(2)当时，求的值域．
19．已知函数的部分图像如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像；
(3)求函数的单调递减区间；
(4)求不等式的解集．
20．已知函数．
(1)求函数的定义域、值域；
(2)求不等式的解集；
(3)如果，求的取值范围；
(4)令，已知是偶函数，求的值．
21．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)求证：.
《北京市延庆区2024-2025学年高一下学期期中数学试卷》参考答案
1．C
【分析】根据并集的定义求解即可.
【详解】由，，
则.
故选：C.
2．A
【分析】代入公式直接计算可得.
【详解】因为，
所以
故选：A.
3．D
【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案.
【详解】.
故选:D.
4．B
【分析】对 两边平方可得答案.
【详解】因为，，，
所以.
故选：B.
5．B
【分析】先利用扇形的弧长公式求出扇形的半径，最后利用面积公式计算即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
又扇形的圆心角为，由弧长公式得，
，解得，，
该扇形的面积为.
故选：.
6．B
【分析】先判断由“角为第一或第二象限角”能否推出“”，再判断“”能否推出“角为第一或第二象限角”.
【详解】根据任意角三角函数的定义，知道“角为第一或第二象限角”能推出“”；
但“”，根据任意角三角函数的定义， 此时角的终边可能在第一象限，
也可能在第二象限，还可能在轴非负半轴上.不能推出“角为第一或第二象限角”.
由充分必要条件的定义可知，“”是“角为第一或第二象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
7．D
【分析】利用两角和的正切公式，结合特殊角的正切值，可得结果.
【详解】.
故选：D.
8．B
【分析】利用诱导公式转换为即可得解.
【详解】，，
，
而，故，
故选：B.
9．D
【分析】由函数奇偶性的定义判断奇偶性，由幂函数、指数函数、对数函数的单调性判断单调性.
【详解】A选项，，定义域为，关于原点对称，
又因为，所以是偶函数，
因为，由幂函数性质知在上单调递增，
又因为是偶函数，所以在上单调递减，不符合题意；
B选项，，定义域为，关于原点对称，
又因为，所以是偶函数，
当时，，
因为，所以在上单调递减，不符合题意；
C选项，定义域为，关于原点对称，
因为，所以不是偶函数，不符合题意；
D选项，定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，
当时，，
因为，所以在上单调递减，
又因为是偶函数，所以在上单调递增，符合题意.
故选：D.
10．A
【分析】利用勾股定理判断出，求得斜边上的高，由此求得的取值范围，根据的夹角的取值范围，以及向量数量积运算公式，求得的最大值.
【详解】由于，，，
.
如图，作，垂足为D.
由，得.
由题意知,
且.
又.
∴当点均与点A重合时，最大
故.

故选：A
11．
【分析】根据正切函数的定义域求解即可.
【详解】
解得:
故函数 的定义域为
【点睛】本题考查了正切函数的定义域，属于基础题.
12．/
【分析】运用诱导公式化简求值即可.
【详解】因为，
，
，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段的长度，结合向量即可求得点的坐标.
【详解】由题意，在平行四边形中，,,，
所以，，
所以，即，
故答案为：；.
14．
【分析】由对数运算、指数运算法则求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
15．①③④
【分析】设，，即可根据面积公式分别求解①②③，由三角形的知识易得，由三角函数公式化简可得，由和三角函数的最值可得④．
【详解】设，，
则，，，
所以，
对于①，若与的面积相等，则,
故，即，则，由于，满足要求，
故存在点，使得与的面积相等；①正确，
对于②,若存在点，使得与的面积相等，
则,则，这显然不符合要求，故②错误，
对于③，的面积为，
故当时，面积最大，为，此时；故③正确，
对于④,矩形面积
，，
当即时，取最大值，此时，故④正确.
故答案为：①③④
16．(1)
(2)
(3)不存在
(4)
【分析】（1）由点先表示出所需向量，根据平面向量垂直坐标表示即可求出的值；
（2）由三点共线转化为向量共线，利用向量共线坐标表示求出的值；
（3）由向量夹角坐标表示求出参数，然后分析即可；
（4）利用向量模相等的坐标表示以及向量垂直的坐标表示联立解出即可.
【详解】（1）因为点，，，
所以，，
又因为，
所以，
解得．
（2）因为三点共线，所以
由（1）知，，
所以，解得．
（3）因为，，
所以，
解得，将代入公式中有：
，
所以不存在．
（4）由已知得，，点在第二象限，
即，
因为，
设，则，
从而有，
解得或
又因为，所以．
17．(1)
(2)
(3)
(4)最小值为，
【分析】（1）由同角三角函数平方关系联立解得，由商数关系得到；
（2）由两角差的余弦公式计算得到答案；
（3）由二倍角公式计算得到答案；
（4）转化为二次函数求最值问题，求得最值.
【详解】（1）由同角三角函数的基本关系式得，
所以，解得或，
因为，所以，可得，
此时．
（2）因为，且，所以，
因此．
（3）因为，，所以，
因此，
．
（4），
令，则，
当时，，此时，因为，所以．
18．(1)最小正周期为，对称轴为
(2)
【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程.
(2)带入的取值得到，整体代入可得函数值域.
【详解】（1），
所以；
令，解得．
（2）因为，所以
从而可知，
因此，故所求值域为．
19．(1)
(2)答案见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据图像确定，从而可求出，再代入一点求即可；
（2）依据函数平移和伸缩变换的原则按步骤变换即可；
（3）根据整体代入法求的单调递减区间即可；
（4）根据确定的范围，解出的范围即可.
【详解】（1）由已知图象得，
，则，所以，
因为，所以，
又因为，所以，即．
（2）先将函数的图像上所有的点向右平移个单位，
就可得到的图像，
把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，就可得到的图像，
把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像．
（3）因为
所以
所以的单调递减区间为．
（4）因为，所以，
所以，
解得：，
所以不等式的解集是．
20．(1)定义域为，值域为
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用对数函数求出定义域及值域；
（2）确定函数的单调性，得不等式求解；
（3）由单调性结合定义域得不等式组求解；
（4）利用偶函数的定义求出参数值.
【详解】（1）由，得，
所以的定义域为，
因为，所以的值域为．
（2）因为，所以，
因为是增函数，所以，即，
所以不等式的解集为．
（3）因为的定义域为，且是增函数
所以，解得，
所以的取值范围是．
（4）因为是偶函数，所以恒成立，
即恒成立.
所以，即恒成立，
所以．
21．(1)具有性质，不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）明确每个数集对应的的范围，用列举法验证对任意的，是否存在，使得成立；（2）根据题意得到，，进而得到关于的不等关系，对不等式累加即可求证.
【详解】（1）对于数集，若具有性质，则，，
因为，即，
，即，
，即，
所以具有性质；
对于数集，若具有性质，则，，
因为，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
，即，，即，
所以不具有性质.
（2）因为集合具有性质：
即对任意的，使得成立，
又因为，，所以，，
所以，
即，
将上述不等式相加得：，
所以，
因为，所以，
故．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
B
B
D
B
D
A