北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，故，，
故，
故选：D.
2. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原不等式即为即，故，
故，
故选：D.
3. 某科研院所共有科员人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定采取分层抽样的方法抽取样本，其中含无职称的8人，则共抽取（ ）
A. 20人B. 40人C. 60人D. 80人
【答案】D
【解析】无职称的占比为：，
所以共抽取人，
故选：D
4. 以下茎叶图中甲组数据的75%分位数和乙组数据的方差分别是（ ）
A. 168.5，65.7B. 168.5，41.7
C. 170，41.7D. 170，65.7
【答案】C
【解析】甲组数据从小到大排列为：，
因为，所以甲组数据的75%分位数是第五个数据，为；
乙组数据为：，其平均数为：，
其方差为：
故选：C.
5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A，的定义域为R，是偶函数，且在上单调递减，A是；
对于B，当时，在上单调递增，B不是；
对于C，函数的定义域为R，图象关于不对称，不是偶函数，C不是；
对于D，当时，在上单调递增，D不是.
故选：A
6. 已知幂函数，则“”是“在其定义域上是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，定义域为，但在定义域上不是增函数；
若幂函数在其定义域上是增函数，由其性质可以推出，
故“”是“在其定义域上是增函数”的必要不充分条件，
故选：B.
7. 已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数平均数和方差分别为、、、，则它们的大小关系是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】，
故，
，
，故，
故选：B.
8. 人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为），另一种是隐性基因（记为）；基因总是成对出现（如），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮；有一对夫妻，父亲的基因为，母亲的基因是，不考虑基因突变，则他们的孩子是单眼皮的概率为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因.
则所有的基本事件有：，共4个基本事件，
孩子要是单眼皮，成对的基因只能是，
因此所求概率为.
故选：C
9. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在同一坐标系内作出函数的图象，如图，

观察图象知，当且仅当时，函数的图象不在直线的下方，
所以不等式的解集是.
故选：A
10. 方程的实数解个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】原方程等价于即，
设，
因为均为上的减函数，所以为上的减函数，
而，，
所以为上仅有一个零点即原方程只有一个实数解.
故选：B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知，，则的最大值为______，最小值为______.
【答案】 6 2
【解析】设的夹角为，则，
因为，，所以
，
因为，所以，
所以，
即，
所以的最大值为6，最小值为2.
故答案为：6 ； 2.
12. 已知在平行四边形ABCD中，E是BD边上中点，，，用，分别表示向量______，______.
【答案】
【解析】
，
而为的中点，故，即，
所以，
故答案为：；.
13. 已知，则的值为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
故.
故答案为：.
14. 已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立.
【答案】
【解析】，
当且仅当即时等号成立，
故的最大值为，此时，
故答案为：；.
15. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论：
①等级为0dB的声音的强度为；
②函数在定义域上是增函数；
③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10；
④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【解析】对于①，由即，可得，
因此等级为0dB的声音强度为，故①正确；
对于②，令，则，易知和在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确；
对于③，设，则，解得．
设，同理可得．
因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确；
对于④，设，则，解得．
设，同理可得．
因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误.
故答案为：①②③.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.
16. （1）求方程的解集；
（2）求不等式的解集；
（3）求方程组的解集；
（4）已知一元二次方程的两根为与，利用一元二次方程根与系数关系求的值.
解：（1）即为，
所以即，故方程的解集为；
（2）即为，
故不等式的解集为，
（3）由可得，整理得到，
所以或，故方程组的解为或，
故方程组的解集为.
（4）由韦达定理可得，
故.
17. 计算下列各式的值或简化下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）.
（2）
.
（3）.
（4）.
18. 已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下：
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（3）写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明）
解：（1）设事件为＂甲是组的第i个人＂，事件为＂乙是B组的第i个人＂，.
由题意，得
由题意可知，事件＂甲的康复时间不少于14天＂等价于＂甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人＂，
所以甲的康复时间不少于14天的概率是．
（2）设事件C为＂甲的康复时间比乙的康复时间长＂，由题意，得
因此．
（3）A组病人康复时间平均数为：，
其方差为：.
B两组病人康复时间平均数为：
其方差为：
依题意：，解得或
19. （1）比较下列各题中两个值的大小，并说明理由：
①与；
②与；
③与0；
④已知实数a，b满足，与的大小.
（2）设，其中且，比较与的大小，并证明.
解：（1）①函数在R上单调递减，，所以；
②函数在上单调递减，，所以；
③函数在上单调递增，，所以；
④函数在上单调递增，由，得，
函数在上单调递减，所以.
（2）函数，，
，
由，得，
当时，，因此；
当时，，因此.
20. 已知函数.
（1）求函数的定义域、值域；
（2）判断的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式；
（3）如果，求m的取值范围；
（4）令，已知是偶函数，求a的值.
解：（1）函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为，值域为.
（2）函数存在反函数，
函数在上单调递增，对每个函数值，都有唯一自变量与之对应，因此存在反函数，
由，得，，所以的反函数为.
（3）函数在上单调递增，由，得，解得，
所以m的取值范围是.
（4）依题意，，其定义域为R，
由是偶函数，得，则，
整理得，而不恒为0，
所以，即.
21. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”.
（1）当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由；
（2）若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明.
解：（1）当时，，.
的含有个元素的子集为，其中，，，满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10，
所以是集合的“相关数”.
的含有个元素的子集，其中任意个元素的和都不等于10，
不满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10，
所以不是集合的“相关数”.
（2）先证明.
将集合中的元素分成组：，，，，
每组两个元素的和都为.
要使子集不满足有个元素的和等于，那么在选取元素时，
最多从这组中选取个元素（每组选一个），再加上这个元素，
此时子集元素个数为个.
而为“相关数”，所以要保证一定能出现个元素的和等于，
则至少要比大，即，移项可得;
所以不是集合的“相关数”.A组
11
12
13
14
15
16
17
B组
13
14
16
17
18
15
a