2026年上海市闵行区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市闵行区中考数学二模试卷（含解析），共58页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，比0小的是（ ）
A．B．C．D．的倒数
2．下列函数，图象不是一条直线的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这10次成绩的方差的描述正确的是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
6．如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．因式分解： ．
8．如果分式有意义，那么实数的取值范围是 ．
9．方程的解是 ．
10．如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为 ．
11．已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为 ．
12．从，2，4这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作和．如果点的坐标为，那么点在第二象限内的概率是 ．
13．在△中，，，，那么 ．
14．可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．那么平均每天上线人数用科学记数法表示为 ．
15．生活中很多瓶装矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费．为此数学兴趣小组对某次会议所发瓶装矿泉水的使用情况进行统计，大致可分为四种：Ⅰ．全部喝完；Ⅱ．剩约；Ⅲ．剩约一半；Ⅳ．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如图所示的两个不完整的统计图，那么参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数为 人．
16．已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为 ．
17．如图，在△中，，，垂足为点，点是△的重心，，．点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是 ．
18．如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，联结，如果，那么的正切值是 ．
三、解答题（本大题共7题，共78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解不等式组：．
21．（10分）探究：在铁片上裁剪正方形．
（1）如图△是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片．
Ⅰ．请根据以下步骤画图：
①在边上取点（如图），过作，垂足为；
②以为边在△内部作正方形；
③联结并延长交于点；
④过作交于点、交于点；过作交于点．
Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形是正方形．
（2）如果△是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为 ．
22．（10分）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
23．（12分）如图，在△中，，．点在边上，点在的延长线上，联结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．（12分）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为．（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果点在抛物线上，且在第四象限．过点作轴，与抛物线的另一个交点为，联结，作轴，交于点，联结．
①当时，求的值；
②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标．
25．（14分）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，联结交弦于点、交弦交于点，且，联结、．
（1）如图①，求证：四边形是等腰梯形；
（2）点在直径上不与、重合），联结交与点．
Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值；
Ⅱ．联结，半圆的半径为1，．
当△为直角三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题（共24分，每小题4分）
1．下列实数中，比0小的是（ ）
A．B．C．D．的倒数
【分析】计算每个选项的结果，将结果与0比较大小，即可得到正确选项．
解：逐一计算各选项结果并比较大小：
选项，，不符合要求
选项，，不符合要求
选项，，不符合要求
选项的倒数是，，符合要求，
故选：．
2．下列函数，图象不是一条直线的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可．
解：根据一次函数图象特征作出判断如下：
是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意；
是一次函数，图象是一条直线，不符合题意；
是一条平行于轴的直线，不符合题意；
是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意．
故选：．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】、根据同底数幂的乘法法则（同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加）去判断；
、根据合并同类项法则（同类项法则：系数相加字母及指数不变）去判断；
、根据同底数幂的除法法则（同底数幂的除法法则：底数不变指数相减）去判断；
、根据幂的乘方法则（幂的乘方法则：底数不变指数相乘）去判断．
解：．，故此项错误，不符合题意；
．，故此项错误，不符合题意；
．，故此项错误，不符合题意；
．，故此项正确，符合题意；
故选：．
4．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：、该图形不属于中心对称图形，不符合题意；
、该图形不属于中心对称图形，不符合题意；
、该图形属于中心对称图形，符合题意；
、该图形不属于中心对称图形，不符合题意．
故选：．
5．在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这10次成绩的方差的描述正确的是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可．
解：根据方差来衡量数据波动大小、离散程度可知：甲的成绩比乙的成绩更加分散，
．
故选：．
6．如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设扇形的半径为，完全打开时的角度为，表示出，然后得到，进而求解即可．
解：当扇面张开的角度为时，扇面面积为，
设扇形的半径为，完全打开时的角度为，
，
当扇面张开的角度为时，扇面面积，
，
与成正比例关系，
与关系的大致图象是：
．
故选：．
二、填空题（共48分，每小题4分）
7．因式分解： ．
【分析】原式提取公因式即可得到结果．
解：原式，
故答案为：．
8．如果分式有意义，那么实数的取值范围是 ．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
解：由题意得，
解得．
故答案为：．
9．方程的解是 ．
【分析】将方程两边平方转化为一元一次方程求解，求解后需检验根的有效性．
解：原方程两边平方得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，左边右边，
因此是原方程的解．
故答案为：．
10．如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为 1 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
解：由题知，
因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
故答案为：1．
11．已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为 直线 ．
【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴．
解：由条件可知两点关于抛物线的对称轴对称，
原抛物线的对称轴为：直线，
将抛物线向右平移2个单位时，对称轴同步向右平移2个单位，
平移后抛物线的对称轴为直线．
故答案为：直线．
12．从，2，4这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作和．如果点的坐标为，那么点在第二象限内的概率是 ．
【分析】先列举出所有等可能的结果，再根据第二象限内点的坐标特征找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可．
解：列举所有等可能的点，共有6种等可能的结果，
分别为：，，，，，，
第二象限内点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0，
符合该特征的点有2个，分别为，，
根据概率公式可得点在第二象限内的概率为．
故答案为：．
13．在△中，，，，那么 ．
【分析】利用勾股定理计算，然后根据向量加法的三角形法则求解．
解：如图，
在△中，，，，
由勾股定理得，
，
故答案为：．
14．可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．那么平均每天上线人数用科学记数法表示为 ．
【分析】先求出平均每天上线人数，再根据科学记数法的要求表示结果，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．
解：平均每天上线人数为：．
故答案为：．
15．生活中很多瓶装矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费．为此数学兴趣小组对某次会议所发瓶装矿泉水的使用情况进行统计，大致可分为四种：Ⅰ．全部喝完；Ⅱ．剩约；Ⅲ．剩约一半；Ⅳ．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如图所示的两个不完整的统计图，那么参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数为 10 人．
【分析】根据样本推算总体后即可求解．
解：参加这次会议的有：（人，
则矿泉水剩约一半的人数为：（人．
故答案为：10．
16．已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为 ．
【分析】先根据正多边形内角和与外角和的关系求出边数，再将正多边形分解为若干个全等的等腰三角形，通过计算单个等腰三角形面积，求和得到正多边形的面积．
解：设正多边形的边数为，半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，
根据题意得，
解得，
该正多边形为正八边形，如图正八边形，连接，，，交于点，过点作于，
半径为2
，，
，
，
正八边形的面积．
故答案为：．
17．如图，在△中，，，垂足为点，点是△的重心，，．点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是或 ．
【分析】如图，过点作于点，交于点，首先利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，然后由重心的性质求出，然后根据题意分与外切和与内切两种情况讨论，分别求解即可．
解：如图，过点作于点，交于点，
在△中，，，
，
，
，
，
，
，点是△的重心，
，
以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，
当与外切时，如图，当点在点处时，
，
的半径取得最小值，即的长度；
如图，当点在点处时，
，
的半径取得最大值，即的长度8；
；
当与内切时，如图，当点在点处时，与的延长线交于点，
，
的半径取得最小值，即的长度；
如图，当点在点处时，与的延长线交于点，
，
的半径取得最大值，即的长度16；
．
综上所述，的半径的取值范围是或，
故答案为：或．
18．如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，联结，如果，那么的正切值是 ．
【分析】如图，过点作于点，设，，得到，利用勾股定理表示出，设，证明出△△，得到，利用勾股定理得到，进而求解即可．
解：四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，如图，过点作于点，
．
设，．
，
，，，
根据题意得，，，
，
，
设，
，平分，
，
又，，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，
的正切值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，共78分）
19．（10分）计算：．
【分析】根据实数的运算法则计算即可．
解：原式
．
20．（10分）解不等式组：．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分得出答案．
解：解不等式组：．则：
，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是．
21．（10分）探究：在铁片上裁剪正方形．
（1）如图△是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片．
Ⅰ．请根据以下步骤画图：
①在边上取点（如图），过作，垂足为；
②以为边在△内部作正方形；
③联结并延长交于点；
④过作交于点、交于点；过作交于点．
Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形是正方形．
（2）如果△是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为 ．
【分析】（1）根据题意画出图形，根据作图得出四边形为矩形，进而根据相似三角形的性质与判定证明，即可得出四边形是正方形；
（2）勾股定理求得△的面积，分两种情况讨论，分别求得正方形的面积，比较大小，即可求解．
解：（1）如图所示，
证明：四边形是正方形，，，，
，
四边形为矩形，
，
，
△△，
，
同理，
，
又，
，
矩形为正方形．
（2）在△中，，，，
，
；
①当正方形的边在△的直角边上时，
如图，连接，
设正方形的边长为，则，
，
，
正方形的面积为
②当正方形的边在△的斜边上时，如图，
设正方形的边长为，
，
△△，
，
即，
，，
，
，，
△△，
，即，
，
，
解得：，
正方形的面积为，
这个正方形铁片的最大面积为．
故答案为：．
22．（10分）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
【分析】（1）根据6个纸杯叠放增加的高度是，所以每增加1个纸杯，高度增加即可求得．
解：（1）我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是，所以每增加1个纸杯，高度增加，
由图①知，当时，，
函数解析式为；
（2）在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，
由题意得，
解得，
答：纸杯的数量为30个．
23．（12分）如图，在△中，，．点在边上，点在的延长线上，联结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）根据△为等腰直角三角形，△为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理以及角的和差关系得到，根据等角的余角相等得到，继而根据等腰三角形三线合一的性质得证结论．
（2）通过证明△△，△△，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证结论．
【解答】（1）证明；，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△是等腰三角形，
，
；
（2）证明：由（1）知，，，△是等腰三角形，
，
又，，，
△△，△△，
，，
，即，
又，
代入上式得．
24．（12分）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为．（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果点在抛物线上，且在第四象限．过点作轴，与抛物线的另一个交点为，联结，作轴，交于点，联结．
①当时，求的值；
②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①分类在对称轴的左右侧进行讨论，分别把，，的坐标用来表示，根据构造方程求解即可；
②根据对称得到点的坐标，设出直线的解析式，将坐标代入求解即可．
解：（1）将、两点代入，
得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）①当在对称轴的左侧，
由题可知，点，，
设直线的解析式为：，
将点，，、代入解析式得：，
解得：，
则直线的解析式为：，
点在抛物线上，
则点，
点，，
，，
，
，
解得：；
当在对称轴的右侧，
点，
点，，
，，
，
，
解得：，
综上所述：或；
②根据题意可知：
点，点，
点，
，，
设直线的解析式为：，
则将，代入解析式，
得：，
解得：，
则直线的解析式为：，
将点代入直线解析式，
得：，
解得或，
点或．
25．（14分）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，联结交弦于点、交弦交于点，且，联结、．
（1）如图①，求证：四边形是等腰梯形；
（2）点在直径上不与、重合），联结交与点．
Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值；
Ⅱ．联结，半圆的半径为1，．
当△为直角三角形时，求的长．
【分析】（1）根据，证明，则点为的中点，再根据点为的中点，可得，则，，，即可得证；
（2）Ⅰ．设，则，．，先证明四边形是平行四边形，再证明△△，即可求解；
Ⅱ．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出的长．
【解答】（1）证明：为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，，，
，，
四边形是等腰梯形；
（2）解：Ⅰ．设，
为的中点，
．
．
．
，，
．
，
四边形是平行四边形．
．
，
△△．
，
；
Ⅱ．如图，当时，
设，则，
由（1）可得四边形是平行四边形，
，．
，，
．
，
△△．
．
，
，，
，
．
，
，
，
，
解得（舍，．
；
如图，当时，
，，
．
，
．
此时点与点重合，此种情况不存在．
当时，
，
此种情况不存在．
综上所述，．