2026年上海市宝山区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市宝山区中考数学二模试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．B．5C．D．0
2．若，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，点为射线上一点，，如果是以点为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
5．如图，在△中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将△剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有种不同的剪法．
A．1种B．2种C．3种D．4种
6．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②联结交于点，交于点，交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点、．那么线段的长是（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．实数的立方根是 ．
8．因式分解： ．
9．方程的解是 ．
10．计算： ．
11．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
12．2025年我国人工智能产业活力迸发、亮点纷呈，人工智能企业数量超6000家，核心产业规模预计实破1.2万亿元，将数据1.2万亿元用科学记数法表示为 元．
13．已知一次函数经过点且随增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式： ．
14．在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是 ．
15．如图，在中，的平分线交于点，，设，，那么用向量、表示向量是 ．
16．如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形的边心距是 ．
17．如图，在矩形中，将△绕点旋转至△的位置，点在的延长线上，与交于点，如果，，那么四边形的面积是 ．
18．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”，如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么△的面积与其外接圆面积的比值是 ．（保留
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解关于的不等式组：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点，点和点关于原点对称．
（1）求与的值；
（2）求的值．
22．（10分）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“唱歌、狮蹈、器乐、戏剧、其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图．
（1）扇形统计图中“舞蹈”所在扇形的圆心角度数为 ；
（2）本次大赛总共报名 人，请补全条形统计图；
（3）才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下：
①表中的数据： ， ， ；
②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法．
．
23．（12分）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点，将△沿着直线翻折得到△（点对应点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果四边形是矩形，且，求证：．
24．（12分）【问题背景】
图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架．
【数据测量】
图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边、、为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上．
【问题解决】
如图3，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式；
（2）当支撑架为正方形时，求架骨的长；
（3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围．
25．（14分）如图1，是的直径，是延长线上一点，是圆的切线，为切点，联结，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于，
①如果，求的长；
②联结、，如果△是以为腰的等腰三角形，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．B．5C．D．0
【分析】先比较大小，再选择即可．
解：，
最小的数为．
故选：．
2．若，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
解：．若，则，故选项错误；
．若，则，故选项错误；
．若，则，故选项正确；
．若，则，，故选项错误．
故选：．
3．下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】形如为常数，的函数称为反比例函数，据此进行判断即可．
解：，不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数，
中是的反比例函数，而非的反比例函数，
中是的反比例函数，
故选：．
4．如图，，点为射线上一点，，如果是以点为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离，由此即可判断．
解：过作于，
，
，
到的距离，
的半径，
，
与相离．
故选：．
5．如图，在△中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将△剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有种不同的剪法．
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断．
解：过作的平行线交于，得到△△；
过作的平行线交于，得到△△；
过作的垂线交于，得到△△，
有3种不同的剪法．
故选：．
6．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②联结交于点，交于点，交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点、．那么线段的长是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】连结、、、，如图，利用基本作图得到垂直平分，，所以点为矩形的对称中心，根据中心对称图形的性质得到，则可判断四边形为正方形，所以，再利用勾股定理计算出，所以，接着证明△△，利用相似比求出，从而得到的长．
解：连结、、、，如图，
由作法得垂直平分，，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
四边形为正方形，
，
，，
，
，
，，
△△，
，
即，
，
．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上，超出答题区域书写的答案无效】
7．实数的立方根是 ．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
解：，
的立方根是．
故答案．
8．因式分解： ．
【分析】利用平方差公式直接分解即可．
解：
故答案为：．
9．方程的解是 5 ．
【分析】将原方程两边同时平方后解得的值，然后进行检验即可．
解：原方程两边同时平方得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：5．
10．计算：， ．
【分析】将除法化为乘法并约分即可．
解：原式
，
故答案为：．
11．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可．
解：由题知，
因为关于的方程有两个不相等的实数根，
所以△，
解得．
故答案为：．
12．2025年我国人工智能产业活力迸发、亮点纷呈，人工智能企业数量超6000家，核心产业规模预计实破1.2万亿元，将数据1.2万亿元用科学记数法表示为 元．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时是负整数，由此进行求解即可得到答案．
解：1.2万亿．
故答案为：．
13．已知一次函数经过点且随增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式： （答案不唯一） ．
【分析】设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图象经过点，可得的值，综合两者取值即可．
解：设一次函数的表达式为，
图象经过点，
，
随的增大而减小
，
即取负数，当时，函数解析式为．
故答案为：．
14．在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是 3 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出袋中球的个数，然后即可计算出袋中红球的个数．
解：由题意可得，
袋中的球的个数为：，
袋中红球的个数为：，
故答案为：3．
15．如图，在中，的平分线交于点，，设，，那么用向量、表示向量是 ．
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，再根据平面向量三角形运算法求解．
解：在中，的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形的边心距是 ．
【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可．
解：如图，设正六边形的中心为，过点作于点，过点作于点，
由拼图和正六边形的性质可知，，，
在△中，，，
，
，
即正六边形的边心距为．
故答案为：．
17．如图，在矩形中，将△绕点旋转至△的位置，点在的延长线上，与交于点，如果，，那么四边形的面积是 15 ．
【分析】先根据矩形的性质得到，，，再根据旋转的性质得到△△，，接着证明△△，利用相似比可求出，然后根据三角形面积公式，利用四边形的面积进行计算．
解：四边形为矩形，
，，，
△绕点旋转至△的位置，点在的延长线上，
△△，，
，
△△，
，
即，
解得，
，，
四边形的面积．
故答案为：15．
18．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”，如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么△的面积与其外接圆面积的比值是 ．（保留
【分析】易得等腰三角形的底边与半径相等，画出不同情况，求得等腰三角形的面积，进而与外接圆相比即可．
解：等腰三角形是“等接圆三角形”，
等腰三角形的底边与圆的半径相等．
设圆的半径为，，．
①如图1，连接并延长交于点，
，，
点，在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
，
，
，
△的面积与其外接圆面积的比为；
②如图，连接交于点，则，
，
△的面积与其外接圆面积的比为：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
【分析】用分数指数幂、零指数幂、负整数指数幂和实数的运算法则计算即可．
解：原式
．
20．（10分）解关于的不等式组：．
【分析】先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集．
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点，点和点关于原点对称．
（1）求与的值；
（2）求的值．
【分析】（1）待定系数法求出与的值即可；
（2）作，垂足为，利用一次函数解析式得到，，根据正切定义求出和长，继而得到结果．
解：（1）反比例函数与直线交于点，
，
，
，
；
（2）由（1）可知，一次函数，如图作，垂足为，
由一次函数解析式可知，，，
，，
，，
．
22．（10分）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“唱歌、狮蹈、器乐、戏剧、其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图．
（1）扇形统计图中“舞蹈”所在扇形的圆心角度数为 90 ；
（2）本次大赛总共报名 人，请补全条形统计图；
（3）才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下：
①表中的数据： ， ， ；
②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法．
．
【分析】（1）用计算即可；
（2）用组人数除以所占百分比即可求出大赛总人数，再用总人数乘以得出组人数；再用总人数减去，，，人数得出人数，画出条形图；
（3）①分别用平均数公式，中位数定义以及方差公式计算出，，的值；
②根据甲、乙平均数、中位数、方差得出结论．
解：（1）扇形统计图中“舞蹈”所在扇形的圆心角度数为：，
故答案为：90；
（2）本次大赛总共报名：（人，
．舞蹈人数：（人，
．其他人数：（人，
补全条形统计图；
故答案为：160；
（3）①甲得分的平均数：（分；
乙得分的中位数为：；
乙得分的方差：．
故答案为：7，8，；
②甲、乙平均数相同，说明整体水平相当；乙的中位数大，说明乙的高分段突出；甲的方差小，说明甲的成绩更稳定，
故答案为：甲同学成绩稳定，发挥平稳，乙同学成绩波动大，但高分段表现更突出，整体水平与甲相当．
23．（12分）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点，将△沿着直线翻折得到△（点对应点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果四边形是矩形，且，求证：．
【分析】（1）依据题意，由梯形中，，，从而，再结合折叠，可得△△，故，，进而可以得解；
（2）依据题意，由四边形是矩形，可得，，从而，又设，结合△△，，可得，进而可得，故，然后再根据翻折，可得，故，则，进而，进而可以证明得解．
【解答】证明：（1）梯形中，，，
四边形为等腰梯形．
．
由折叠，
△△，
，，
四边形是平行四边形；
（2）如图，
四边形是矩形，
，，
，
设，
，
△△，，
，
．
．
，
，
翻折，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
24．（12分）【问题背景】
图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架．
【数据测量】
图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边、、为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上．
【问题解决】
如图3，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式；
（2）当支撑架为正方形时，求架骨的长；
（3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围．
【分析】（1）依据题意得，顶点为，则可设抛物线为，又图象过，进而计算可以得解；
（2）由四边形为正方形，则，又设，则，，故，结合在抛物线的图象上，可得，求出后即可得解；
（3）依据题意，设，则，故，结合，，从而计算可以得解．
解：（1）由题意得，顶点为，
可设抛物线为，
又图象过，
．
．
抛物线的表达式为；
（2）四边形为正方形，
．
设，则，，
．
又在抛物线的图象上，
．
，（不合题意，舍去）．
；
（3）设，则，
．
，，
，即．
25．（14分）如图1，是的直径，是延长线上一点，是圆的切线，为切点，联结，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于，
①如果，求的长；
②联结、，如果△是以为腰的等腰三角形，求的值．
【分析】（1）易证△△，即可得证；
（2）①过点作于，过点作于，易得四边形为矩形，，，设半径为，分别利用勾股定理表示出、，建立等式求解即可；
②分两种情况讨论，依次画出图形，不过最后都证明出△为等边三角形，即可得解．
【解答】（1）证明：连接，
，
，，
，
与相切于，
，
，
，
，
，
，
，
又，
△△，
，即；
（2）解：①过点作于，过点作于，
则，，
过圆心，
，，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
设半径为，
，
在△中，，
△中，，
，
解得：，（舍，
，
，
，
，即，
；
②情况一：当时，延长交于点，
，
，
又，
为中垂线，
，
，
，
，
，
，
△为等边三角形，
，
；
情况二：当时，记与交于点，
又，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
△为等边三角形，
△为等边三角形，
同理可得；
综上：．
甲
8
6
7
6
7
9
6
乙
8
4
8
9
8
9
3
平均数
中位数
方差
甲
7
乙
7
甲
8
6
7
6
7
9
6
乙
8
4
8
9
8
9
3
平均数
中位数
方差
甲
7
乙
7