2022年上海市闵行区初三6月线下中考二模数学试卷（含答案）

2021学年九年级第二学期模拟练习

数 学 学 科

（考试时间100分钟，满分150分）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．下列实数中，一定是无限不循环小数的是

（A）； （B）； （C）； （D）0.2022022022…．

2．下列运算正确的是

（A）； （B）；

（C）；  （D）．

3．在下列方程中，有实数根的是

（A）； （B）；

（C）；  （D）．

4．2019年1月1日“学习强国”学习平台正式上线，每天登录“学习强国”APP学习可以获得积分．小张在今年5月份最后几天每天的学习积分依次为50，46，44，43，42，46，那么这组数据的中位数和众数分别是

（A）44和50； （B）44和46； （C）45和46； （D）45和50．

5．在下列函数中，同时具备以下三个特征的是

①图像经过点（1，1）；②图像经过第三象限；③当x<0时，y的值随x的值增大而增大．

（A）； （B）； （C）； （D）．

6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结

DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是

①△DEF的周长是△ABC周长的一半； ②AE与DF互相平分；

③如果∠BAC = 90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；

④如果AB = AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．

（A）1个；   （B）2个；   （C）3个；   （D）4个．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．因式分解：    ．

8．计算：    ．

9．已知函数，那么    ．

10．方程的根是    ．

11．不等式组的解集是    ．

12．一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从布袋中任取一个球记下数字作为点P的横坐标x，不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点P的纵坐标y，那么点P（x，y）落在直线上的概率是    ．

13．明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长    尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）

14．“双减”政策全面实施后，中学生可以自由选择是否参加校内课后延时服务，因此放学时间也有差异，有甲（16:30）、乙（17:20）、丙（18:00）三个时间点供选择．为了解某校七年级全体学生的放学时间情况，随机抽取了该校七年级部分学生进行统计，绘制成如下不完整的统计图表，那么扇形统计图中表示丙时间点的扇形圆心角为    度．

15．如图，过原点且平行于的直线与反比例函数的图像相交于点C，过直线OC上的点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图像于点D，且AD = 2BD，那么点C的坐标为    ．

16．如图，点G为等腰△ABC的重心，AC = BC，如果以2为半径的⊙G分别与AC、BC相切，且CG =，那么AB的长为    ．

17．如图，已知点G是正六边形ABCDEF对角线FB上的一点，满足BG = 3FG，联结FC，如果△EFG的面积为1，那么△FBC的面积等于    ．

18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点M是AB的中点，将AM沿CM所在的直线翻折，点A落在点A'处，A'M⊥AB，且交BC于点D，A'D∶DM的值为    ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）

计算：．

20．（本题满分10分）

解方程组：

21．（本题满分10分）

北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？

22．（本题共3小题，第（1）（2）小题各2分，第（3）小题6分，满分10分）

直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．

如图，在△ABC中，AB = AC，顶角A的正对记作preA，这时preA．

仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：

（1）pre60°的值为（  ）．

      （A）；    （B）1；   （C）；   （D）2．

（2）对于0° < A < 180°，∠A的正对值preA的取值范围是    ．

  （3）如果，其中∠A为锐角，试求preA的值．

23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）

如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．

（1）求证：BE = FG；

（2）如果，联结AM、DE，

求证：AM垂直平分DE．

24．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．

（1）求抛物线的表达式；

（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．

当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．

25．（本题共3小题，第（1）（2）小题各4分，第（3）小题6分，满分14分）

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = 26，BC = 42，，AD = DC．点M在射线CB上，以点C为圆心，CM为半径的⊙C交射线CD于点N，联结MN，交射线CA于点G．

（1）求线段AD的长；

（2）设线段CM = x，，当点N在线段CD上时，试求出y关于x的函数

关系式，并写出x的取值范围；

（3）联结DM，当∠NMC = 2∠DMN时，求线段CM的长．

答案要点及评分标准

一、选择题：

1．C； 2．B； 3．B； 4．C； 5．A； 6．D．

二、填空题：

7．；  8．；  9．；  10．；  11．；  12．；

13．15；  14．36；  15．；  16．；  17．4；  18．．

三、解答题：

19．解：原式………………………………（2分+2分+2分+2分）

．……………………………………………………………………（2分）

20．解：由②得：，…………………………………………（2分）

原方程组可化为，………………………………（2分）

解得原方程组的解为，…………………………………（4分）

∴原方程组的解是，．………………………………………（2分）

21．解：设玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”．…………………………（1分）

根据题意，列方程得；…………………………………（2分）

化简得：；………………………………………………（2分）

解得：，；…………………………………………………（2分）

经检验，是原方程的根，且符合题意，不符合题意舍去．（2分）

答：玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”．……………………………（1分）

22．解：（1） B．……………………………………………………………………………（2分）

      （2） 0< preA<2．……………………………………………………………………（2分）

（3）过点B作BD⊥AC，垂足为点D．………………………………………（1分）

∵，∴令AB=17k，BD=5k，（k≠0）………（1分）

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，

AD=，…………（1分）

∵等腰△ABC，∴AB=AC=17k．∴DC=2k．………（1分）

在Rt△BCD中，BC=．…（1分）

∴preA．……………………（1分）

23．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠ECD=90°；

∴∠BAE+∠BEA=90°．………………………………………（1分）

又∵FG⊥BC，∴∠BGF=∠B=90°；……………………………（1分）

∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，即：∠AEF=90°，

∴∠GEF+∠BEA=90°；…………………………………………（1分）

∴∠BAE =∠GEF．………………………………………………（1分）

在△ABE与△EGF中，

∴△ABE≌△EGF．…………………………………………………（1分）

∴BE=FG．…………………………………………………………（1分）

（2）∵∠B=∠ECD，∠BAE =∠GEF，

∴△ABE∽△ECM． ∴．……………………………（1分）

∵，∴．…………………………（1分）

∴．∴ EM=DM．……………………………………（1分）

在Rt△AEM与Rt△ADM中，∠AEF=∠D=90°

∴Rt△AEM≌Rt△ADM．……………………………………………（1分）

∴AD=AE．

∴点A在线段DE的垂直平分线上；………………………………（1分）

∵EM =DM，∴点M在线段DE的垂直平分线上．………………（1分）

∴AM垂直平分DE．

24．解：（1）∵点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0）．

设抛物线，

∵抛物线经过点C（0，4），

∴．解得．  ……………………………………………（2分）

∴抛物线的表达式是．……………………………（2分）

（2）①由于⊙G与⊙E内切，

当时，则GB - EF =GE．………………………………………（1分）

又∵GE= GB- EB，∴EF = EB．…………………………（1分）

当时，则EF - GB =GE．………………………………………（1分）

设EF = 5t，FG = 3t，GE=4t，则5t- GB=4t，

∴GB= t<GE=4t，∴点E在线段CB的延长线上．

又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．

②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB=∠EDB=90°．

∴．∴设BD=t，则DE=．…………（1分）

∴在Rt△BED中，∠BDE=90°，．

∴． ………………………………（1分）

∴F坐标为（3-t，3t）．………………………………………………（1分）

∵F点在抛物线上，

∴．…………………………………（1分）

∴解得，（点F与点B重合，舍去）．

∴F坐标为（，）．……………………………………………（1分）

25．（1）解：过点A作AH⊥BC，垂足为点G，

∵在Rt△ABH中，∠AHB=90°，AB=26，，

∴BH = 10，AH = 24．…………………………………………（1分）

∴．

∵在Rt△AHC中，∠AHC=90°，AH = 24，CH = 32，

∴．…………………………………………（1分）

过点D作，垂足为点E，

∵AD = DC，∴∠DAC =∠DCA，．

∵AD//BC，∴…………………………………（1分）

∴在中，，

∴．……………………………………………………（1分）

（2）参考方法一：以C为圆心，CM为半径作圆，交射线CD于点N，联结MN．

∵CM = CN ，∠ACB =∠DCA，

∴CG⊥AC，．……………………（1分）

∵在中，∠MGC=90°，CM=x ，，

∴，，∴．………………（1分）

∴．……………………………（1分+1分）

参考方法二：延长MN交AD的延长线于点F．

∵AD//BC，∴，…………………………（1分）

∵CM = CN = x ，CD = AD = 25，∴ DN = 25 - x，

∴，∴ DF = 25 - x…………………………（1分）

∴AF = 25 - x，

∴．……………………………（1分+1分）

（3）当点N在线段CD上时，

∵CM=CN ，∴∠NMC=∠MNC．

∵∠NMC =2∠DMN，∠MNC=∠DMN+∠MDN，

∴∠DMN =∠MDN．

∴DN = MN = 25 - x………………………………………………（1分）

∵，，∴．

∴…………………………………………………………（1分）

∴，即CM =．………………………………………（1分）

当点N在线段CD的延长线上时，DN = x -25．

延长DA交射线MN于点P．

∵∠NMC=2∠DMN，∴∠NMD=∠DMC…………………………（1分）

∵AD//BC，∠NMC=∠MNC，∴∠NGD=∠MNC，．

∴ DN = GD = x - 25．

∵AD//BC，∴∠GDM=∠DMC，∴∠NMD=∠GDM．

∴GM = GD = x - 25．

∴，……………………………………（1分）

∴，即CM = 55．………………………………………（1分）

综上所述，线段CM的长为或55．