2026年上海市长宁区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市长宁区中考数学二模试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题.等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，比3小的无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．上海市2025年全年地区生产总值约为5.67万亿元，其中5.67万亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．已知及其所在平面内的直线1，为直线1上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线的表述不正确的是（ ）
A．直线1可能经过圆心B．直线1可能与相交
C．直线1可能与相切D．直线1可能与相离
4．在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（ ）
A．平均数是6B．中位数是6C．众数是6D．方差是6
5．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形、、、均为格点），那么下列说法中正确的是（ ）
A．四边形是菱形
B．四边形的周长是
C．四边形的面积是6
D．
6．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是
（ ）
A．B．0C．1D．2
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．计算： ．
8．请写出使代数式有意义的的一个值为： ．
9．方程的解是 ．
10．数据90、91、92、93、94的标准差是 ．
11．方程组的解是 ．
12．已知线段，从这五个数中任意选取一个数作为线段的长度，那么，，是某直角三角形三边的长的概率是 ．
13．如果关于的方程有一根是，那么该方程的另一根是 ．
14．已知点在反比例函数的图象上，那么在每个象限内，该函数的值随的值增大而 ．（填“增大”或“减小”
15．在正方形中，是其对角线，那么的值为 ．
16．已知正八边形的中心是点，联结，，，点是△的重心，如果，那么线段的长等于 ．
17．在直角坐标平面内，如果存在正整数和常数，使得点满足，，其中，那么称点为“优点”．比如当，时，点为“优点”（这是因为满足，，．已知点在抛物线上，且它还是“优点”，那么点的坐标是 ．
18．如图，在△中，，．将△绕着点旋转，点、的对应点分别是点、，如果点恰好在直线上，且，那么的值为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（10分）计算：．
20．（10分）解不等式组：．
21．（10分）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为（万元）．
（1）求与的关系式；
（2）已知该商场未来5年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围．
22．（10分）在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质．
请运用上述信息，解决下列问题：
（1）填空：等腰△的顶角，且，那么底边 ．
（2）如图1，在△中，，，且，求的长．
（3）如图2，已知点是线段的黄金分割点，在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，联结．请判断△是否是黄金三角形？并说明理由．
23．（12分）如图，正方形中，点在对角线上，点在边上（点与点不重合），且．
（1）求证：；
（2）在图中延长与交于点，如果，求证：．
24．（12分）已知抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点．
（1）求△的面积；
（2）如图，点是抛物线第四象限上的一点，直线分别交、于点、，如果，求直线的表达式；
（3）在第（2）小题的基础上，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点（点在点的上方），如果点恰好是线段的中点，求抛物线的表达式．
25．（14分）已知线段是的一条弦，点是上的一点．
（1）联结、，如图1，如果，，且，求的半径长；
（2）当圆心在线段上时，
①如图2，已知点在上，满足，且，如果，求的长；
②如图3，已知点在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列实数中，比3小的无理数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据平方根定义和二次根式的性质计算，选项中的式子，再估算的大小，从而进行判断即可．
解：，，，
，即，
比3小的无理数是，
故选：．
2．上海市2025年全年地区生产总值约为5.67万亿元，其中5.67万亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
解：，
故选：．
3．已知及其所在平面内的直线1，为直线1上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线的表述不正确的是（ ）
A．直线1可能经过圆心B．直线1可能与相交
C．直线1可能与相切D．直线1可能与相离
【分析】根据圆心到直线的距离是3，则直线和圆相交或相切，据此可以得到公共点的个数．
解：的半径为3，为所在平面内某直线上一点，，
直线与圆相切或相交，
故公共点的个数为1或2．
故选：．
4．在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（ ）
A．平均数是6B．中位数是6C．众数是6D．方差是6
【分析】分别根据中位数、众数、算术平均数以及极差的定义解答即可．
解：该组数据的平均数是，故选项说法正确，不符合题意；
该组数据的中位数是6，故选项说法正确，不符合题意；
该组数据的众数是6，故选项说法正确，不符合题意；
该组数据的方差为，故选项说法错误，符合题意；
故选：．
5．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形、、、均为格点），那么下列说法中正确的是（ ）
A．四边形是菱形
B．四边形的周长是
C．四边形的面积是6
D．
【分析】根据菱形的判定，勾股定理，菱形的性质即可得到结论．
解：，，
，
，
四边形不是菱形，故不符合题意；
四边形的周长是，故不符合题意；
，
四边形的面积是，故符合题意，
，
，故不符合题意，
故选：．
6．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是
（ ）
A．B．0C．1D．2
【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出的范围，进而选出符合条件的选项．
解：如图，
当时，的取值范围是，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
点较点更靠近对称轴，即，
整理得，
当时，即，有，
解得，
当时，即，有，
解得，
综上，或，
只有选项符合题意，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7．计算： ．
【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
解：．
故答案为：．
8．请写出使代数式有意义的的一个值为： 2（答案不唯一） ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组求出的范围，得出结论．
解：由题意得：且，
解得：且，
则使代数式有意义的的一个值为2，
故答案为：2（答案不唯一）．
9．方程的解是 ．
【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可．
解：方程两边同时乘，得，
移项、合并同类项，得，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为．
故答案为：．
10．数据90、91、92、93、94的标准差是 ．
【分析】先求出数据的平均数，再根据标准差的计算公式计算．
解：，
标准差，
故答案为：．
11．方程组的解是 ．
【分析】对二次方程因式分解构造平方差；代入已知一次方程化简，得到新的一次方程；联立两个一次方程，用加减消元法求解．
解：由得：，
即，
整理可得：，
①②得：，，
将代入①得：，
所以方程组的解为：．
12．已知线段，从这五个数中任意选取一个数作为线段的长度，那么，，是某直角三角形三边的长的概率是 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理得，，是某直角三角形三边的长的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：线段，从这五个数中任意选取一个数作为线段的长度，其中，，是某直角三角形三边的长的结果有2种，即1，，
，，是某直角三角形三边的长的概率是，
故答案为：．
13．如果关于的方程有一根是，那么该方程的另一根是 ．
【分析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，，然后解一次方程即可．
解：设方程的另一根为，
根据题意得：，，
解得，，
即方程的另一根为．
故答案为：．
14．已知点在反比例函数的图象上，那么在每个象限内，该函数的值随的值增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”
【分析】先根据点的坐标计算出的符号，再根据反比例函数的性质判断其增减性．
解：已知点在反比例函数上，
则，
，
，因此，
对于反比例函数，当时，在每个象限内，的值随的值增大而增大．
故答案为：增大．
15．在正方形中，是其对角线，那么的值为 ．
【分析】根据题意画出图形，根据平面向量平行四边形法则得出，据此解答．
解：如图，延长到使，连接，，
四边形是正方形，
，，
，
，
故答案为：．
16．已知正八边形的中心是点，联结，，，点是△的重心，如果，那么线段的长等于 ．
【分析】连接，连接交于点，过点作于点，先证明△是等腰直角三角形，由勾股定理得，进而得，根据三角形重心的定义得，证明△是等腰直角三角形得，再证明是△的中位线得，进而得，然后证明△和△相似，利用相似三角形的性质即可得出线段的长．
解：连接，连接交于点，过点作于点，如图所示：
，
正八边形的每个内角的度数为：，
由正八边形性质得：，，，经过中心，
，，
同理：，
，
△是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
△的重心在上，，
根据三角形重心的定义得：是△的中线，
，
在△中，，，
△是等腰直角三角形，
，
，，
，
又，
是△的中位线，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
即线段的长等于．
故答案为：．
17．在直角坐标平面内，如果存在正整数和常数，使得点满足，，其中，那么称点为“优点”．比如当，时，点为“优点”（这是因为满足，，．已知点在抛物线上，且它还是“优点”，那么点的坐标是或 ．
【分析】先根据“优点”的定义，将两式相减求出，再结合抛物线方程联立求解点的坐标．
解：已知点是“优点”，满足：
，
两式相减得：
，
，
，两边同除以得：
，
，
又点在抛物线上，代入得：
，
整理得：
，
解得：
，
解得，
对应值：
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时，符合条件．
故答案为：或．
18．如图，在△中，，．将△绕着点旋转，点、的对应点分别是点、，如果点恰好在直线上，且，那么的值为 ．
【分析】如图，设，先根据旋转的性质得到，，，则，再根据平行线的性质得到，接着利用三角形内解和定理可计算出，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后证明，所以．
解：如图，设，
将△绕着点旋转，点、的对应点分别是点、，点恰好在直线上，
，，，
，
，
，
，
，
解得，
在△中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（10分）计算：．
【分析】先根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值计算，再合并即可．
解：
．
20．（10分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
21．（10分）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为（万元）．
（1）求与的关系式；
（2）已知该商场未来5年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式；
（2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围．
解：（1）根据题意可得：，
，，
，
整理可得：；
（2），
，
，
，
解得：．
22．（10分）在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质．
请运用上述信息，解决下列问题：
（1）填空：等腰△的顶角，且，那么底边 ．
（2）如图1，在△中，，，且，求的长．
（3）如图2，已知点是线段的黄金分割点，在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，联结．请判断△是否是黄金三角形？并说明理由．
【分析】（1）直接利用黄金三角形的性质求解即可；
（2）延长到点使，则△是黄金三角形，据此得解；
（3）易得，由（2）可知，过作于点，证即可得解．
解：（1）由题意可知，
，
故答案为：；
（2）如图，延长到点使，
，即，，
则垂直平分，
，
，
△是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，
根据黄金三角形的性质可知，
，
；
（3）△是黄金三角形，
理由：点是线段的黄金分割点，
，
，，
，
设，则，
，
，
由（2）知，
过作于点，
，
，
垂直平分，
，
，
，
△是黄金三角形．
23．（12分）如图，正方形中，点在对角线上，点在边上（点与点不重合），且．
（1）求证：；
（2）在图中延长与交于点，如果，求证：．
【分析】（1）连接，由正方形的性质推出，得到，判定△△，即可证明；
（2）过点作于，由正方形的性质推出，，，判定△是等腰直角三角形，得到，因此，判定平分，求出，判定△△，推出．
【解答】证明：（1）连接，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
△△，
，
；
（2）过点作于，
四边形是正方形，
，，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，，
△△，
．
24．（12分）已知抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点．
（1）求△的面积；
（2）如图，点是抛物线第四象限上的一点，直线分别交、于点、，如果，求直线的表达式；
（3）在第（2）小题的基础上，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点（点在点的上方），如果点恰好是线段的中点，求抛物线的表达式．
【分析】（1）先解方程得到，，再计算自变量为0所对应的二次函数值得到，然后根据三角形面积公式求解；
（2）先利用对顶角相等得到，则在△中利用余切的定义可求出，所以，然后利用待定系数法求出的解析式；
（3）由于，则抛物线的顶点坐标为，设抛物线向左平移个单位得到抛物线，则抛物线的解析式可表示为，设点、点的横坐标分别为，，所以，为关于的方程的两根，利用根与系数的关系得到，接着利用线段的中点坐标公式得到，所以，然后求出，从而得到抛物线的解析式．
解：（1）当时，，
解得，，
，，
当时，，
，
△的面积；
（2），
，
在△中，，
，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，，
直线的解析式为；
（3），
抛物线的顶点坐标为，
抛物线向左平移个单位得到抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
设点、点的横坐标分别为，，
，为关于的方程的两根，
方程整理为，
，
点恰好是线段的中点，
，
，
，
解得，
抛物线的解析式为，
即．
25．（14分）已知线段是的一条弦，点是上的一点．
（1）联结、，如图1，如果，，且，求的半径长；
（2）当圆心在线段上时，
①如图2，已知点在上，满足，且，如果，求的长；
②如图3，已知点在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值．
【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得到，进而得到△是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可；
（2）①连接，根据垂径定理得到、，由三角形中位线的性质得到，根据圆周角定理得到，利用，求出长，进而求出长，在△中，根据勾股定理求出长，利用求解即可；
②过点作交于点，连接、、、，设、，则，由翻折的性质得：、、，证明△△，则，再证明△△，进而得到、，证明△△，得到，据此解答即可．
解：（1）如图，连接、，
，，
△是等腰直角三角形，
在△中，，
，
解得或（舍去），
的半径长为4；
（2）①如图，连接，
、是的半径，
，，
点是的中点，
是△的中位线，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
；
②如图，过点作交于点，连接、、、，设交于点，
，
，
设、，则，
由翻折的性质得：、、，
是的直径，
，
在△中，由勾股定理得：，
、，
△△，
，
，，
△△，
，
，
、，
，，
，
，
△△，
，
在△中，．