2026年上海市金山区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市金山区中考数学二模试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，有理数是（ ）
A．B．C．D．
2．在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
3．用纸板剪成的两个全等的直角三角形，一定能够拼成的四边形是（ ）
A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形
4．已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．不确定
5．在直角梯形中，，，点为上一点，联结、．联结与交于点，△为等腰直角三角形，△为等边三角形．以下结论：①；②△△；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④
二、填空题（共10题，每题4分，满分40分）.
6．计算： ．
7．分解因式： ．
8．已知关于的方程，那么 ．
9．已知正比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而 （填“增大”或“减小” ．
10．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是 ．
11．在如图所示的月历表中任取1天，恰好这一天是星期日的概率是 ．
12．在△中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示 ．
13．通常水分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（含有水分子数量约个）的质量约为 ．（用科学记数法表示）
14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元， ．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件）
15．在△中，，，，直线经过边的中点，将△沿直线翻折得到△（点、、分别与点、、对应），若△的重心在射线上，那么到直线的距离为 ．
三、解答题（本大题共8题，满分90分）
16．（10分）计算：．
17．（10分）解不等式组：．
18．（10分）班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题：
（1）班共有多少名学生参加知识竞赛？
（2）分布在分这一组的频率是多少？
（3）成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？
（4）求成绩高于60分的学生占全部学生人数的百分率．
19．（10分）如图，在中，弦的长为，，令．
（1）用含和的代数式表示①的半径；
（2）过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值．
20．（12分）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：与总电阻（单位：成反比例，其中，已知．
可变电阻（单位：与油量体积（单位：之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为．
（1）当油箱内油量体积为时，求总电阻的值；
（2）求关于总电阻的函数解析式；
（3）当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围．
21．（12分）在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点、且点、分别与点、不重合），使，甲、乙、丙分别提出方案（如图）．
（1）选择其中一种正确的方案进行证明：；
（2）根据你在（1）中选择的方案，延长交边于点，若，求证：．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）若点到抛物线的对称轴的距离为2，求的值；
（2）若，点为抛物线上一点，线段与轴交于点，且，求点的坐标；
（3）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线上．如果，求抛物线的解析式．
23．（14分）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、．
（1）求证：；
（2）联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积；
（3）直线与直线交于点，若△为等腰三角形，求的长．
参考答案
一、选择题（共5题，每题4分，满分20分）.
1．下列实数中，有理数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．
解：、、是无理数，，是有理数．
故选：．
2．在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设，则，原方程可变为：，再去分母即可得出结论．
解：设，则，
原方程可变为：，
去分母得：，
整理得：．
故选：．
3．用纸板剪成的两个全等的直角三角形，一定能够拼成的四边形是（ ）
A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】此题需要动手操作或画图，用完全相同的直角三角形一定可以拼成矩形、等腰三角形．
解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出矩形和等腰三角形，共2种图形．
画出图形如下所示：
故选：．
4．已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．不确定
【分析】设两圆的半径长分别是为厘米，厘米，得到，求出，得到两圆的半径长分别是15厘米和6厘米，由，判定这两圆的位置关系是相交．
解：两圆的半径长之比为，
设两圆的半径长分别是为厘米，厘米，
两圆内切时的圆心距为9厘米，
，
，
，，
，
这两圆的位置关系是相交．
故选：．
5．在直角梯形中，，，点为上一点，联结、．联结与交于点，△为等腰直角三角形，△为等边三角形．以下结论：①；②△△；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④
【分析】①先求出，根据△为等腰直角三角形得，，再根据△为等边三角形，，由此得，进而可求出，据此得，则结论①正确；
②根据，，，则可依据“”判定△和△全等，则结论②正确；
③设的中点为，过点作，交于点，连接，则，继而可求出，在△中，设，则，根据三角形三边之间的关系得，则，证明是线段的垂直平分线得，由此得，则结论③不正确；
④根据△为等腰直角三角形可设，则，由此得，再求出得，据此得结论④正确；综上所述即可得出答案．
解：①如图1所示：
在直角梯形中，，，
，
点为上以点，且△为等腰直角三角形，
，，
△为等边三角形，
，，
，
，
，
，
故结论①正确；
②在△和△中，
，
△△，
故结论②正确；
③设的中点为，过点作，交于点，连接，如图2所示：
是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
△是直角三角形，
在△中，设，则，
，
根据三角形三边之间的关系得：，
，
，，
点，都是在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，
，
即，
，
故结论③不正确；
④是线段的垂直平分线，
，
又△为等腰直角三角形，
设，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
故结论④正确；
综上所述：正确的结论有①②④．
故选：．
二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分）
6．计算： ．
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算即可．
解：．
7．分解因式： ．
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．此题可用平方差公式分解．
解：．
8．已知关于的方程，那么 10 ．
【分析】先把方程两边开方得到，然后解一次方程，最后进行检验确定原方程的解．
解：，
，
解得，
检验：当时，左边，
左边右边，
为原方程的解，
所以原方程的解为．
故答案为：10．
9．已知正比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而 增大 （填“增大”或“减小” ．
【分析】根据正比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，可知，随的增大而增大．
解：正比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，
，
随的增大而增大，
故答案为：增大．
10．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是 2 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
解：由题知，
因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
故答案为：2．
11．在如图所示的月历表中任取1天，恰好这一天是星期日的概率是 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：由题意可知，在如图所示的月历表中任取1天，其中有4个星期日，
恰好这一天是星期日的概率是，
故答案为：．
12．在△中，设，，点在边上且，用、的线性组合表示 ．
【分析】根据平面向量三角形运算法则求出，再根据求出，即可推出结果．
解：，，
，
点在边上且，
，
，
故答案为：．
13．通常水分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（含有水分子数量约个）的质量约为 ．（用科学记数法表示）
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
解：1滴水（含有水分子数量约个）的质量约为，
故答案为：．
14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元， 商场平均每天可多售出2件 ．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件）
【分析】根据降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，结合方程，即可得出结论．
解：，
合适的条件为：商场平均每天可多售出2件，
故答案为：商场平均每天可多售出2件．
15．在△中，，，，直线经过边的中点，将△沿直线翻折得到△（点、、分别与点、、对应），若△的重心在射线上，那么到直线的距离为或 ．
【分析】根据题意，得出直线垂直于，据此可解决问题．
解：由题知，
因为，，，
所以．
因为点为边的中点，
所以，
则△的重心在上．
因为直线经过点且△沿直线翻折得到△的重心在射线上，
所以直线垂直于．
当点在延长线上时，过点分别作及直线的垂线，垂足分别为和，如图所示，
因为，，，
所以四边形是矩形，
所以．
因为，
所以，
解得，
所以，
所以；
当点在线段上时，
因为，
所以，
则，
根据轴对称的性质可知，点到的距离与相等为，
综上所述，点到直线的距离为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8题，满分90分）
16．（10分）计算：．
【分析】根据分数指数幂，负整数指数幂，二次根式的计算法则，绝对值的性质计算即可求解．
解：
．
17．（10分）解不等式组：．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
解：由得：，
由得：，
不等式组无解．
18．（10分）班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题：
（1）班共有多少名学生参加知识竞赛？
（2）分布在分这一组的频率是多少？
（3）成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？
（4）求成绩高于60分的学生占全部学生人数的百分率．
【分析】（1）各组人数求和得总人数；
（2）用频数总数求频率；
（3）找第23个数据位置定中位数；
（4）高于60分人数除以总数求百分比．
解：（1）根据频数分布直方图，各组人数依次为：3人、6人、12人、11人、7人、6人，
总人数为各组频数之和：（名，
答：班共有45名学生参加知识竞赛；
（2）该组频数为6，频率公式为：频率，
答：该组的频率是；
（3）45个数据的中位数是第个数据，
前两组累计人数：，
前三组累计人数：，
前四组累计人数：，
第23个数据落在分这一组，
答：中位数落在分的小组内；
（4）高于60分的是后4组，人数为：，
占比为：，
答：成绩高于60分的学生占全部学生人数的．
19．（10分）如图，在中，弦的长为，，令．
（1）用含和的代数式表示①的半径；
（2）过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值．
【分析】（1）作边上的高，结合三角函数进行求解；
（2）利用三角函数与勾股定理进行求解．
解：（1）过点作，为垂足，
在中，弦的长为，，，
，
，
，
的半径为；
（2），
，
，
，
，
，
在△中根据勾股定理得，
．
20．（12分）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：与总电阻（单位：成反比例，其中，已知．
可变电阻（单位：与油量体积（单位：之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为．
（1）当油箱内油量体积为时，求总电阻的值；
（2）求关于总电阻的函数解析式；
（3）当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围．
【分析】（1）依据题意，设，结合图象，，从而，可得，进而当时，，故，即可得解；
（2）依据题意，由电流与总电阻成反比例，则，又当油箱内油量体积为时，电流表显示为，故结合（1），进而可得，从而可以得解；
（3）依据题意，由，则，从而，进而，即，故可得解．
解：（1）由题意，设，
结合图象，，
．
，．
．
当时，．
．
答：当油箱内油量体积为时，总电阻的值为；
（2）由题意，电流与总电阻成反比例，
，
又当油箱内油量体积为时，电流表显示为，
结合（1），
．
关于总电阻的函数解析式为；
（3）由题意，，
．
．
，即．
21．（12分）在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点、且点、分别与点、不重合），使，甲、乙、丙分别提出方案（如图）．
（1）选择其中一种正确的方案进行证明：；
（2）根据你在（1）中选择的方案，延长交边于点，若，求证：．
【分析】（1）选择甲方案，证明△△，得到，则可证明，得到；乙方案，证明如下：先证明，，再证明△△，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到；
（2）在方案甲中，证明△△，得到，证明△△，得到，再证明，证明在方案乙中，由（1）可得△△，则，同理可证明．
【解答】（1）解：选择甲方案，证明如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
△△，
，
，
，
；
选择乙方案，证明如下：
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）证明：如图所示，在方案甲中，
四边形是平行四边形，
，，
，，
又，
△△，
，
，
，
又，
△△，
，
，
又，
，
，
如图所示，在方案乙中，由（1）可得△△，
，
同理可证明．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）若点到抛物线的对称轴的距离为2，求的值；
（2）若，点为抛物线上一点，线段与轴交于点，且，求点的坐标；
（3）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线上．如果，求抛物线的解析式．
【分析】（1）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴为轴或在轴右侧，则可求出抛物线的对称轴为直线，进而得到，再利用待定系数法求解即可；
（2）可求出，过点作轴于点，过点作轴于点，则，证明△△，求出，据此可得答案；
（3）由待定系数法可得，则抛物线的解析式为，可得新抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，即可得到，解方程得到，；根据新抛物线经过原点，得到，解方程求出的值即可得到答案．
解：（1），
抛物线的对称轴为直线，
，，
，即抛物线的对称轴为轴或在轴右侧，
点到抛物线的对称轴的距离为2，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
把点的坐标代入得，
，
；
（2）当时，则，
把点的坐标代入，得，
，
；
如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
△△，
，
，，即，
，
，
在中，当时，，
解得，
点的坐标为；
（3）抛物线经过点，
，
，
抛物线的解析式为，
将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后得到新抛物线，
新抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的顶点在直线上，
，
，
，
，
，
（舍去）或，
；
新抛物线经过原点，
，
，
，
，
解得（舍去），
新抛物线的解析式为．
23．（14分）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、．
（1）求证：；
（2）联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积；
（3）直线与直线交于点，若△为等腰三角形，求的长．
【分析】（1）由垂径定理可得，结合切线性质导角可得；
（2）当四边形为梯形时，只能，利用平行和等腰三角形的性质推出△为等边三角形，从而四边形为菱形，通过确定出菱形的边长和高来计算其面积；
（3）分为当点在的延长线上和当在的延长线上两种情况分类画出图形，再在图形中导角推出特殊的三角形，再利用特殊的三角形的性质导边即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
由垂径定理可得，
又为的切线，，
；
（2）解：当四边形为梯形时，不平行于，
只能，
，
由垂径定理可得，
，
，
△为等边三角形，从而四边形为菱形，
菱形的边长为的半径2，
菱形的高为，
故四边形的面积为；
（3）解：当点在的延长线上时，只能，如图1所示，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△为等腰直角三角形，
故；
当在的延长线上时，只有，如图2所示，
设，，
，，
，
，
由外角关系可得，
，
，
，
，即，
解得，
取的中点，则，，
则△为黄金三角形，，
故，
，
．
综上，的长为或．