2025-2026学年福建省厦门市第一中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省厦门市第一中学高二（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f（x）=（x-1）2，则=（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知数列{an}是等差数列，且a1+a2+a3=-3，a3+a4+a5=9，则S5=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
3.设随机变量的分布列如表所示，且E（ξ）=1.6，则ab=（ ）
A. 0.2B. 0.1C. 0.15D. 0.4
4.（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 30
5.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则g（-2023）+g（-2024）+g（2025）+g（2026）=（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
6.无重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A. 136B. 328C. 360D. 720
7.已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，y=kx与双曲线C交于M（M在第一象限），N两点，3|MF|=|NF|，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为；若他前1天选择了B套餐，则第2天选择了A套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为，在该同学第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.记圆M：（x-1）2+y2=a2，圆N：（x-2）2+（y-1）2=4a2，则（ ）
A.
B. 若坐标原点在圆M上，则点（0，1）在圆N上
C. 若圆M与圆N内切，则
D. 当a=1时，圆M与圆N的相交弦方程为2x+2y-1=0
10.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ）
A. 第6行从左到右第4个数是15
B. 第2026行的第1014个数最大
C.
D. 记第n行的第i个数为ai，则
11.已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点，动点F满足，其中λ，μ∈R，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若λ+μ=1，则CF⊥AB1
B. 若λ+4μ=1，λ≠0，则点A到平面A1FG的距离为
C. 若，则直线EF与直线BC所成角的最小值为
D. 若A1F与A1A夹角为，则|EF|+|GF|的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，且l∥α，则t= .
13.城区某中学安排5位老师到A，B，C三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排1位老师，每位老师只能去1个中学支教，则不同的安排方式有 种.
14.已知f（x）=ex-2x,g（x）=lnx-ax,若对任意x1∈（0，+∞），都存在x2∈（0，+∞），使得，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an-2.
（1）求该数列的通项an；
（2）若bn=lg2an，求数列的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
已知函数在x=1处取得极值.
（1）求a,b；
（2）证明：t＞0时，.
17.(本小题15分)
平面直角坐标系中，动点P到点M（2，0）的距离与它到直线x=8的距离之比为.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点N（-2，0），△AMN与△BMN的面积之比为，求△ABN的内切圆半径.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax2-lnx（a∈R）.
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（3）当时，证明：函数有且仅有两个零点.
19.(本小题17分)
1907年物理学家Tatiana和PaulEhrenfest为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模型，编号为A和B的两个容器相互连通，当中仅用薄膜分割（允许分子在两容器间穿梭），当一个分子从一个容器转移到另一个容器，则称发生一次转移.发生n次转移后，容器A中的分子数记为Xn，容器A的分子数从Xn=i到Xn+1=j的概率记为Pi,j，即Pi,j=P（Xn+1=j|Xn=i）.初始状态时，容器A内有2个分子，容器B内有8个分子.假设每个分子发生转移的可能性相同，均为.
（1）求P2，1，P2，3；
（2）求2次转移后，容器A中的分子数X2的分布列与期望；
（3）求出E（Xn）与E（Xn-1）的关系式，并解释当n→+∞时E（Xn）的含义.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】1
13.【答案】150
14.【答案】
15.【答案】解：（1）Sn=2an-2，
当n=1时，S1=a1=2a1-2，a1=2；
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，所以Sn-Sn-1=2an-2an-1，
得an=2an-1，n≥2，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
故；
（2）由（1）知，，得bn=lg2an=n,
所以，
可得
=．
16.【答案】a=1，b=0 当t＞0时，，
令，t＞0，
求导得，
由g′（t）＜0，得t＞2．由g′（t）＞0，得0＜t＜2；所以g（t）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
则，所以在（0，+∞）上恒成立．
所以t＞0时，
17.【答案】
18.【答案】y=3x-1 （-∞，） 证明：由题意得，则，
令g（x）=x3-2x2-x-1，x＞0，则g′（x）=3x2-4x-1，
令g'（x）=0可得，（舍）或，
当时，g′（x）＜0，则g（x）在上单调递减，
当时，g′（x）＞0，则g（x）在上单调递增，
又g（0）=-1，g（2）=-3＜0，g（3）=5＞0，
所以存在x0∈（2，3），使得g（x0）=0，即H′（x0）=0，
所以当x∈（0，x0）时，H′（x）＜0，则H（x）在（0，x0）上单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，H′（x）＞0，则H（x）在（x0，+∞）上单调递增，
因为x→0时，H（x）→+∞，，
所以存在x1∈（0，1），使得H（x1）=0，
又，
所以存在x2∈（4，5），使得H（x2）=0，
所以函数有且仅有两个零点
19.【答案】，
，
当n→+∞时，E（Xn）→5．充分混合后，最终两容器分子数相等．
期望递推关系为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
X2
0
2
4
P