2022-2023学年福建省厦门一中高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省厦门一中高二（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）定义abcd=ad-bc，已知数列{an}为等比数列，且a3＝1，a688a8=0，则a7＝（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
2．（5分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（5分）某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（ ）
A．150种B．540种C．900种D．1440种
4．（5分）3月15日是国际消费者权益日．中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识．一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话．通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客．假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（ ）
A．0.103B．0.301C．0.897D．0.699
5．（5分）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y～B（n，p），当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p=12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）
（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
A．0.1587B．0.0228C．0.0027D．0.0014
6．（5分）已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A'BD，使得线段A'C长为3，则异面直线A'B与CD所成角的余弦值为（ ）
A．34B．54C．49D．89
7．（5分）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则D（X）的最大值是（ ）
A．3281B．49C．1736D．4781
8．（5分）若实数x，y满足4lnx+2lny≥x2+4y﹣4，则（ ）
A．xy=22B．x+y=2C．x+y=1+2D．x3y＝1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012～2022近十年来的数据（xi，yi，zi）（i＝1，2，…，10）绘制了散点图，并得到经验回归方程ẑ=7.54+0.33x，ŷ=2.88﹣0.41x，对应的决定系数分别为R12，R22，则（ ）
A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关
B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C．R12＜R22
D．未来三年总和生育率将继续降低
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，x∈R，则（ ）
A．函数f（x）有且只有2个零点
B．函数f（x）的递减区间为（﹣3，1）
C．函数f（x）存在最大值和最小值
D．若方程f（x）＝a有三个实数解，则a∈（﹣2e，6e﹣3）
（多选）11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1，则（ ）
A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点
B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等
C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分
D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段CC1上的动点，AM⊥平面α，则（ ）
A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为[33，22]
B．已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，MCDN=2-2
C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（1+x）10﹣（1﹣x）9展开式中x2的系数为 ．
14．（5分）从0，1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为A，B，则方程Ax+By＝0所表示的不同直线共有 条．
15．（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，则双曲线的离心率是 ．
16．（5分）正方形ABCD位于平面直角坐标系上，其中A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L：逆时针旋转90°．（2）R：顺时针旋转90°．（3）S：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A，B，C，D四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R之后，顶点A从（1，1）移动到（1，﹣1），然后再作一次变换S之后，A移动到（﹣1，1）．对原来的正方形按a1，a2，⋯，ak的顺序作k次变换记为a1a2⋯ak，其中ai∈{L，R，S}，i＝1，2，⋯，k．如果经过k次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k﹣恒等变换．例如，RRS是一个3﹣恒等变换．则3﹣恒等变换共 种；对于正整数n，n﹣恒等变换共 种．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）数列{an}满足a1＝2，an+1＝λan+2n（n∈N*），λ为常数．
（1）是否存在实数λ，使得数列{an}成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说明理由；
（2）当λ＝2时，记bn=an2n，求数列{bn}的前n项和．
18．（12分）下表是某单位在2023年1～5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；
（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为：b̂=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，â=y-b̂x．
19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）证明：四边形BB1ED是矩形；
（2）求平面ABB1和平面BB1E夹角的余弦值．
20．（12分）已知点(1，32)在椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上，且E的离心率为12．
（1）求E的方程；
（2）设F为椭圆E的右焦点，点P（m，n）是E上的任意一点，直线PF与直线3mx+4ny＝0相交于点Q，求|PQ|的值．
21．（12分）某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的56，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的13．
（1）若依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物．两个团队各至多排2个接种周期进行试验．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p（0＜p＜1），每人每次接种花费m（m＞0）元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体测终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体概率为q（0＜q＜1），每人每次花费n（n＞0）元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期、假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．当n=23m，p＝q时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的．
参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+c+d为样本容量）
参考数据：已知函数
22．（12分）已知函数f（x）＝x3+klnx（k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．
（1）当k＝6时，求函数g(x)=f(x)-f'(x)+9x的单调区间和极值；
（2）当k≥﹣3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有f'(x1)+f'(x2)2＞f(x1)-f(x2)x1-x2．
2022-2023学年福建省厦门一中高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）定义abcd=ad-bc，已知数列{an}为等比数列，且a3＝1，a688a8=0，则a7＝（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【解答】解：数列{an}为等比数列，且a3＝1，a688a8=0，
所以a6•a8﹣8×8＝0，
所以a6•a8＝64，
则a7＝±8，
因为a7与a3符号一致，
故a7＝8．
故选：C．
2．（5分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：由题意得：F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
设A（m，n），则AF中点的横坐标为m+12，
故m+12=2，解得：m＝3，
由抛物线的焦半径可知：|AF|＝3+1＝4．
故选：B．
3．（5分）某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（ ）
A．150种B．540种C．900种D．1440种
【解答】解：先从6名教授中任选1名教授到A高中，有C61=6种不同的方法，
再将其余5名教授分配到B，C，D三所高中，可分两类：
①B，C，D三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有C51C42C22A22⋅A33=90种方法；
②B，C，D三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有C53C21C11A22⋅A33=60种不同的方法，
∴不同的分配方案共有6×（90+60）＝900种．
故选：C．
4．（5分）3月15日是国际消费者权益日．中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识．一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话．通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客．假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（ ）
A．0.103B．0.301C．0.897D．0.699
【解答】解：由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率为（1﹣0.4）×25%+（1﹣0.004）×75%＝0.897．
故选：C．
5．（5分）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y～B（n，p），当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p=12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）
（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
A．0.1587B．0.0228C．0.0027D．0.0014
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，
设硬币正面向上次数为X，
则X～B（100，12），
故E（X）＝np=100×12=50，D（X）＝np（1﹣p）=100×12×(1-12)=25，
由题意可得，X～N（μ，σ2），且μ＝E（X）＝50，σ2＝D（X）＝25，
∵P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，
∴用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为P（X＞60）＝P（X＞50+2×5）=1-0.95452≈0.0228．
故选：B．
6．（5分）已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A'BD，使得线段A'C长为3，则异面直线A'B与CD所成角的余弦值为（ ）
A．34B．54C．49D．89
【解答】解：如图，因为A′C＝A′D＝CD＝3，
所以2A'C→⋅CD→=(A'C→+CD→)2-A→'C2-CD→2=A→'D→2-A→'C→2-CD→2=-9，
因为CB＝CD＝3，BD＝5，
所以2CB→⋅CD→=CB→2+CD→2-(CB→-CD→)2=CB→2+CD→2-DB→2=9+9-25=-7，
所以A'B→⋅CD→=(A'C→+CB→)⋅CD→=A'C→⋅CD→+CB→⋅CD→=-92-72=-8，
即cs〈A'B→，CD→〉=A'B→⋅CD→|A'B→|⋅|CD→|=-83×3=-89
所以异面直线A'B与CD所成角的余弦值为89．
故选：D．
7．（5分）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则D（X）的最大值是（ ）
A．3281B．49C．1736D．4781
【解答】解：由已知得a+b=89，E（X）＝b+29，E（X2）＝b+49，
所以D（X）＝E（X2）﹣[E（X）]2
=(b+49)-(b+29)2=-(b-518)2+1736，
又因为b∈(0，89)，所以b=518时，D（X）min=1736．
故选：C．
8．（5分）若实数x，y满足4lnx+2lny≥x2+4y﹣4，则（ ）
A．xy=22B．x+y=2C．x+y=1+2D．x3y＝1
【解答】解：∵4lnx+2lny≥x2+4y﹣4（x＞0，y＞0），
∴2[ln（x2）+lny]≥x2+4y﹣4，
即ln（x2）+lny≥12x2+2y﹣2，
∴ln[（12x2）•（2y）]≥12x2+2y﹣2，
设a=12x2，b＝2y（a＞0，b＞0），
则有lnab≥a+b﹣2，
即lna+lnb≥a+b﹣2，
∴lna﹣a+1+（lnb﹣b+1）≥0，
令g（x）＝lnx﹣x+1，
则g'（x）=1x-1=1-xx，
∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
∴g（x）max＝g（1）＝0，
要使g（a）+g（b）≥0成立，
只有当a＝b＝1时即g（a）＝g（b）＝0时才满足，
∴x=2，y=12，经检验选项A符合题意．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012～2022近十年来的数据（xi，yi，zi）（i＝1，2，…，10）绘制了散点图，并得到经验回归方程ẑ=7.54+0.33x，ŷ=2.88﹣0.41x，对应的决定系数分别为R12，R22，则（ ）
A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关
B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C．R12＜R22
D．未来三年总和生育率将继续降低
【解答】解：由回归方程ẑ=7.54+0.33x可知，人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确；
因为ẑ=7.54+0.33x，ŷ=2.88﹣0.41x，所以女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为ŷ=2.88﹣0.41×ẑ-，
所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确；
由散点图可知，回归方程ẑ=7.54+0.33x相对ŷ=2.88﹣0.41x拟合效果更好，所以R1²＞R2²，故C错误；
根据回归方程ŷ=2.88﹣0.41x预测，未来总和生育率预测值有可能降低，但实际值不一定会降低，故D错误．
故选：AB．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，x∈R，则（ ）
A．函数f（x）有且只有2个零点
B．函数f（x）的递减区间为（﹣3，1）
C．函数f（x）存在最大值和最小值
D．若方程f（x）＝a有三个实数解，则a∈（﹣2e，6e﹣3）
【解答】解：对于A：由f（x）＝0得x＝±3，即函数f（x）有且只有2个零点，故A正确；
对于B：f（x）＝（x2﹣3）ex，x∈R，
则f'（x）＝（x2+2x﹣3）ex，
由f'（x）＝0得x＝﹣3或x＝1，由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，由f'（x）＜0得﹣3＜x＜1，
∴f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，
故B正确；
对于C：由选项B得f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，
∴当x＝﹣3时，f（x）取得极大值f（﹣3）＝6e﹣3，当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝﹣2e，
作出草图，如图所示：
\
∴由图象得f（x）min＝f（1）＝﹣2e，无最大值，故C错误；
对于D：由图象得若方程f（x）＝a有三个实数解，则a∈（0，6e﹣3），故D错误．
故选：AB．
（多选）11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1，则（ ）
A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点
B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等
C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分
D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1的圆心坐标为（a，ea），半径为1，
对于A：设圆C过原点（0，0），则a2+（ea）2＝1，
方程a2+（ea）2＝1的解的个数等价于函数y＝ex的图象与曲线x2+y2＝1的交点个数，
作函数y＝ex与圆x2+y2＝1的图象可得：
所以函数y＝ex的图象与曲线x2+y2＝1的交点个数为2，
所以存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点，A正确；
对于B：圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等等价于21-a2=21-(ea)2，
即a2＝（ea）2，即ea±a＝0，
方程ea±a＝0的解的个数函数g（x）＝ex+x和h（x）＝ex﹣x的零点的个数和相等，
因为g′（x）＝ex+1＞0，又g（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，g（0）＝1﹣0＞0，
所以函数g（x）在区间（0，1）上存在一个零点，即函数g（x）存在一个零点，
因为h′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
又h（0）＝1＞0，所以h（x）＞0，故函数h（x）没有零点，
所以方程ea±a＝0的解的个数为1，
即存在一个a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等，B错误；
对于C：圆C的面积被直线y＝ex平分等价于y＝ex过圆心，
所以ea＝ea，令f（a）＝ea﹣ea，
求导可得f′（a）＝ea﹣e，令f′（a）＝0，可得a＝1，
当a＞1时，f′（a）＞0，函数f（a）在（1，+∞）上单调递增，
当a＜1时，f′（a）＜0，函数f（a）在（﹣∞，1）上单调递减，
又f（1）＝0，所以函数f（a）＝ea﹣ea只有一个零点，
即方程ea＝ea只有一解，
所以存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分，C正确；
对于D：圆C与x轴或y轴相切等价于|a|＝1或|ea|＝1，
则a＝±1或a＝0，共3解，
所以存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切，D正确；
故选：ACD．
（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段CC1上的动点，AM⊥平面α，则（ ）
A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为[33，22]
B．已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，MCDN=2-2
C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
【解答】解：对于A：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），
设M（0，2，a）（0≤a≤2），
因为AM⊥面α，则AM→为平面α的一个法向量，且AM→=（﹣2，2，a），AB→=（0，2，0），
所以|cs＜AB→，AM→＞|=|AB→⋅AM→||AB→||AM→|=42a2+8=2a2+8∈[33，22]，
所以直线AB与平面α所成角的正弦值取值分范围为[33，22]，故A正确；
对于B：将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D延展为一个平面，如图所示，
若AM+MN最短，则A，M，N三点共线，
因为CC1∥DD1，
所以MCDN=ACAD=2222+2=2-2，故B正确；
对于C：设平面α交棱A1D1于点E（b，0，2），点M（0，2，1），AM→=（﹣2，2，1），
因为AM⊥面α，DC⊂面α，
所以AM⊥DE，即AM→•DE→=-2b+2＝0，
得b＝1，
所以E（1，0，2），
所以点E为棱A1D1的中点，
同理可得，点F为棱A1B1的中点，F（2，1，2），EF→=（1，1，0），
又DB→=（2，2，0），
所以EF→=12DB→，
所以EF∥DB且EF≠DB，
由空间中两点的距离公式可得DE=22+02+12=5，BF=(2-2)2+(1-2)2+(2-0)2=5，
所以DE＝BF，
所以四边形BDEF为等腰梯形，故C正确；
对于D：当M与CC1重合时，连接A1D，BD，A1B，AC，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥面ABCD，
因为BD⊂面ABCD，
所以BD⊥CC1，
因为四边形ABCD是正方形，
所以BD⊥AC，
因为CC1∩AC＝C，
所以BD⊥面ACC1，
因为AC1⊂面ACC1，
所以AC1⊥BD，同理可证AC1⊥A1D，
因为A1D∩BD＝D，
所以AC1⊥面A1BD，
由题知△A1BD是边长为22的等边三角形，面积为S△A1BD=34×（22）2＝23，
周长为22×3＝62，
设E，F，Q，N，G，H为棱A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中点，
所以六边形EFQNGH是边长为12的正六边形，且面EFQNGH∥面A1BD，
所以六边形EFQNGH的周长为62，面积为6×34×（2）2＝33，
所以△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，故D错误，
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（1+x）10﹣（1﹣x）9展开式中x2的系数为 9 ．
【解答】解：∵（1+x）10的展开式的通项为Tk+1=C10kxk，
∴令k＝2，可得展开式中x2的系数为C102=45，
∵（1﹣x）9的展开式的通项为Tr+1=C9r(-x)r=(-1)rC9rxr，
∴令r＝2，可得展开式中x2的系数为(-1)2C92=36，
故（1+x）10﹣（1﹣x）9展开式中x2的系数为45﹣36＝9．
故答案为：9．
14．（5分）从0，1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为A，B，则方程Ax+By＝0所表示的不同直线共有 20 条．
【解答】解：（1）当A或B中有一个取0时，另一个不论取何值，方程都只能表示2条直线x＝0和y＝0，
即选中0时，Ax+By＝0共能表示2条直线；
（2）当A、B从1，3，5，7，9五个数字中取值时，共有A52=5×4=20，
但当取值为（1，3）和（3，9）以及（3，1）和（9，3）时表示同一条直线，
当A、B从1，3，5，7，9五个数字中取值时，Ax+By＝0共能表示20﹣2＝18条直线．
综上所述，表示成不同直线的条数是2+18＝20条．
故答案为：20．
15．（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，则双曲线的离心率是 5 ．
【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，
双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，|FQ|=|bc|a2+b2=b，|OF|＝c，
在直角三角形QOF中，cs∠QFO=bc，①
设|QN|＝t，则|QM|＝3t，|FN|＝b﹣t，
由双曲线的定义可得|NF'|＝b﹣t+2a，|MF'|＝b+3t﹣2a，
在三角形FNF'中，可得csNFF'=4c2+(b-t)2-(b-t+2a)22×2c(b-t)，②
在三角形FMF'中，可得cs∠MFF'=4c2+(b+3t)2-(b+3t-2a)22×2c(b+3t)，③
由①②化简可得t=ab3b-3a，
由①③化简可得t=aba+b，
所以a+b＝3b﹣3a，
即b＝2a，
则e=ca=1+b2a2=1+4=5．
故答案为：5．
16．（5分）正方形ABCD位于平面直角坐标系上，其中A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L：逆时针旋转90°．（2）R：顺时针旋转90°．（3）S：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A，B，C，D四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R之后，顶点A从（1，1）移动到（1，﹣1），然后再作一次变换S之后，A移动到（﹣1，1）．对原来的正方形按a1，a2，⋯，ak的顺序作k次变换记为a1a2⋯ak，其中ai∈{L，R，S}，i＝1，2，⋯，k．如果经过k次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k﹣恒等变换．例如，RRS是一个3﹣恒等变换．则3﹣恒等变换共 6 种；对于正整数n，n﹣恒等变换共 3⋅(-1)n+3n4 种．
【解答】解：3﹣恒等变换必定含S，所以一共有LLS，LSL，SLL，RRS，RSR，SRR这6种3﹣恒等变换；
注意到，作用一次S变换相当于两次L变换；作用一次R变换相当于三次L变换．
我们记L为数字1，S为数字2，R为数字3，作用相应的变化就增加相应的数字．
那么如果作了n次变换a1a2⋯an（其中包含p个L、q个S、r个R），当p+2q+3r是4的倍数时，就能得到一个n﹣恒等变换．
我们假设作了n次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0，1，2，3的情况数分别为an，bn，cn，dn．
把这n次变换分解成n﹣1次变换和第n次变换，
假设经过n次变换之后余数为0．如果经过n﹣1次变换后的余数是0，则第n次变换余数不可能为0；
如果经过n﹣1次变换后的余数分别是1，2，3，则第n次变换余数必须分别为3，2，1．其他完全类似，
因此an＝bn﹣1+cn﹣1+dn﹣1，
bn＝an﹣1+cn﹣1+dn﹣1，
cn＝an﹣1+bn﹣1+dn﹣1，
dn＝an﹣1+bn﹣1+cn﹣1．
把后三个式子相加可得bn+cn+dn＝3an﹣1+2（bn﹣1+cn﹣1+dn﹣1），
代入第一个式子可得an+1＝2an+3an﹣1，⇔an+1+an＝3（an+an﹣1）．
所以{an+1+an}是公比为3的等比数列．
已经算出a3＝6，而2﹣恒等变换有LR，RL，SS这三种，故a2＝3．
因此，a3+a2＝9，从而an+1+an=(a3+a2)×3n-2=9×3n-2=3n．
两边同乘（﹣1）n+1，可得(-1)n+1an+1-(-1)nan=-(-3)n．
根据累加法可得(-1)nan-(-1)2a2=-k=2n-1(-3)k=-9(1-(-3)n-2)1-(-3)=-9-(-3)n4．
于是an=3⋅(-1)n+3n4．
故答案为：6；3⋅(-1)n+3n4．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）数列{an}满足a1＝2，an+1＝λan+2n（n∈N*），λ为常数．
（1）是否存在实数λ，使得数列{an}成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说明理由；
（2）当λ＝2时，记bn=an2n，求数列{bn}的前n项和．
【解答】解：（1）假设存在实数λ，使得数列{an}成为等比数列，
则a22=a1a3，
∵a1＝2，
a2＝λa1+21＝2λ+2，
a3＝λa2+22＝λ（2λ+2）+2＝2λ2+2λ+4，
∴（2λ+2）2＝2（2λ2+2λ+4），
解得λ＝1，
则an+1＝an+2n，即an+1﹣an＝2n，
故a1＝2，a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，…，an﹣an﹣1＝2n﹣1，
各项相加，
可得an＝2+21+22+…+2n﹣1
＝1+（1+21+22+…+2n﹣1）
＝1+1-2n1-2
＝2n
＝2•2n﹣1，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴存在实数λ＝1，使得数列{an}成为等比数列，
且an＝2n，n∈N*．
（2）由题意，当λ＝2时，an+1＝2an+2n，
两边同时乘以12n+1，可得an+12n+1=an2n+12，
即bn+1＝bn+12，
∵b1=a121=1，
∴数列{bn}是以1为首项，12为公差的等差数列，
∴数列{bn}的前n项和为1•n+n(n-1)2•12=n(n+3)4．
18．（12分）下表是某单位在2023年1～5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；
（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为：b̂=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，â=y-b̂x．
【解答】解：（1）从这5个月中任取2个月，包含的基本事件有C52=10个，
其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的基本事件有以下4个：
（2.5，3），（2.5，4），（2.5，4.5），（3，4），
故所求概率P=410=25；
（2）由数据得x=1+2+3+44=2.5，y=2.5+3+4+4.52=3.5，
由公式计算得b̂=i=14 xiyi-4xyi=14 xi2-4x2=2.5+6+12+18-351+4+9+16-25=0.7，â=y-b̂x=1.75，
所以y关于x的经验回归方程为y＝0.7x+1.75，
当x＝5时，得估计值y＝0.7×5+1.75＝5.25，而|5.2﹣5.25|＝0.05≤0.05，
所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的．
19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）证明：四边形BB1ED是矩形；
（2）求平面ABB1和平面BB1E夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连接B1E，DE，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形，
所以B1B∥A1A，因为B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1，
所以B1B∥平面A1ACC1，
因为B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，
所以B1B∥DE，因此A1A∥DE，
因为点D是AC的中点，所以E为A1C1中点，所以B1B＝DE，
所以四边形BB1ED为平行四边形，
在正△ABC中，因为D是AC的中点，所以BD⊥AC，
由题意可知，A1D⊥平面ABC，又BD，BC⊂平面ABC，
所以A1D⊥BD，A1D⊥AC，又AC∩A1D＝D，
所以BD⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面ACC1A1，则BD⊥DE，
故四边形BB1ED为矩形；
（2）由（1）可知，DB，AC，A1D两两垂直，
以DB，AC，A1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
设AD＝1，则BD=3，
在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，所以A1D=3，
故D（0，0，0），A（0，﹣1，0），A1(0，0，3)，B(3，0，0)，
所以AB→=(3，1，0)，DB→=(3，0，0)，AA1→=BB1→=(0，1，3)，
设平面DBB1E的法向量为m→=(a，b，c)，
则m→⋅DB→=0m→⋅BB1→=0，即3a=0b+3c=0，
令c＝﹣1，则m→=(0，3，-1)，
设平面ABB1A1的法向量为n→=(x，y，z)，
则n→⋅AB→=0n→⋅AA1→=0，即3x+y=0y+3z=0，
令x＝1，则n→=(1，-3，1)，
设平面ABB1和平面BB1E夹角为θ，
则csθ=|cs〈m→，n→〉|=425=255，
故所求平面ABB1和平面BB1E夹角的余弦值为255．
20．（12分）已知点(1，32)在椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上，且E的离心率为12．
（1）求E的方程；
（2）设F为椭圆E的右焦点，点P（m，n）是E上的任意一点，直线PF与直线3mx+4ny＝0相交于点Q，求|PQ|的值．
【解答】解：（1）由题意得1a2+94b2=1，ca=12，a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1．
所以椭圆E的方程为x24+y23=1．
（2）因为点P（m，n）是E上的任意一点，所以3m2+4n2＝12．
①当m＝1时，点P(1，32)或P(1，-32)．
当点P(1，32)时，直线PF与直线x+2y＝0相交于点Q(1，-12)，此时|PQ|＝2．
当点P(1，-32)时，直线PF与直线x﹣2y＝0相交于点Q(1，12)，此时|PQ|＝2．
②当m≠1时，直线PF的方程为y=nm-1(x-1)，
由y=nm-1(x-1)3mx+4ny=0，可得x=4n212-3my=-mn4-m，所以Q(4n212-3m，-mn4-m)．
所以|PQ|2=(m-4n212-3m)2+(n--mn4-m)2=(12m-3m2-4n212-3m)2+(4n-mn+mn4-m)2
=(4m-44-m)2+(4n4-m)2=(4m-4)2+16n2(4-m)2=(4m-4)2+4(12-3m2)(4-m)2
=4(m2-8m+16)(4-m)2=4(m-4)2(4-m)2=4，
所以|PQ|＝2．
综上所述，|PQ|＝2．
21．（12分）某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的56，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的13．
（1）若依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物．两个团队各至多排2个接种周期进行试验．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p（0＜p＜1），每人每次接种花费m（m＞0）元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体测终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体概率为q（0＜q＜1），每人每次花费n（n＞0）元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期、假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．当n=23m，p＝q时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的．
参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+c+d为样本容量）
参考数据：已知函数
【解答】解：（1）设男性患者有x人，则女性患者有2x人，
列联表如下：
要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
此时K2=3x(5x6×4x3-x6×2x3)23x2×3x2×2x×x=2x3＞7.897，
解得x＞11.955，
因为x6∈Z，x3∈Z，
所以x的最小值为12，
则男性患者至少有12人．
（2）证明：不妨设甲研发团队试验总花费为X元，则z的所有取值为4m，5m，6m，
因为p（X＝4m）＝p2•p2＝p4，
P（X＝5m）＝p2•（1﹣p2）•p2＝2（p2﹣p4），
P（X＝6m）＝（1﹣p2）2＝p4﹣2p2+1，
所以E（X）＝4mp4+5m×2（p2﹣p4）+6m（p4﹣2p2+1）＝﹣2mp2+6m，
不妨设f（p）＝﹣2mp2+6m，函数定义域为（0，1），
该函数是开口向下的二次函数，对称轴x＝0，
当0＜p＜1时，f（p）单调递减，
所以E（X）＞4m；
不妨设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的所有取值为3n，6n，
因为P（Y＝3n）=C32q2（1﹣q）+q3＝﹣2q3+3q2，
P（Y＝6n）＝1+2q3﹣3q2，
所以E（Y）＝3n（﹣2q3+3q2）+6n（1+2q3﹣3q2）＝6nq3﹣9nq2+6n，
不妨设f（q）＝6nq3﹣9nq2+6n，函数定义域为（0，1），
可得g′（q）＝18nq2﹣18nq＝18nq（q﹣1），
当0＜q＜1时，g′（q）＜0，g（q）单调递减，
所以E（Y）＜6n＝4m，
则E（X）＞E（Y）恒成立，
所以该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的．
22．（12分）已知函数f（x）＝x3+klnx（k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．
（1）当k＝6时，求函数g(x)=f(x)-f'(x)+9x的单调区间和极值；
（2）当k≥﹣3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有f'(x1)+f'(x2)2＞f(x1)-f(x2)x1-x2．
【解答】解：（1）当k＝6时，f（x）＝x3+6lnx，故f′（x）＝3x2+6x，
所以g（x）＝x3﹣3x2+6lnx+3x，x∈（0，+∞），
从而可得g′（x）＝3x2﹣6x+6x-3x2，
整理可得g′（x）=3(x-1)3(x+1)x2，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以，函数g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），
g（x）的极小值为g（1）＝1，无极大值；
（2）证明：由f（x）＝x3+klnx，得f′（x）＝3x2+kx，
对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，令x1x2=t（t＞1），
则（x1﹣x2）[f′（x1）+f′（x2）]﹣2[f（x1）﹣f（x2）]
＝（x1﹣x2）（3x12+kx1+3x22+kx2）﹣2（x13-x23+klnx1x2）
=x13-x23-3x12x2+3x1x22+k（x1x2-x2x1）﹣2klnx1x2
=x23（t3﹣3t2+3t﹣1）+k（t-1t-2lnt）……①，
令h（x）＝x-1x-2lnx，x∈[1，+∞），
当x＞1时，h′（x）＝1+1x2-2x=（1-1x）2＞0，
由此可得h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以当t＞1时，h（t）＞h（1），即t-1t-2lnt＞0，
因为x2≥1，t3﹣3t2+3t﹣1＝（t﹣1）3＞0，k≥﹣3，
所以x23（t3﹣3t2+3t﹣1）+k（t-1t-2lnt）
≥（t3﹣3t2+3t﹣1）﹣3（t-1t-2lnt）
＝t3﹣3t2+6lnt+3t-1……②，
由①②可知，当t＞1时，g（t）＞g（1），
即t3﹣3t2+6lnt+3t＞1，故t3﹣3t2+6lnt+3t-1＞0……③，
由①②③可得（x1﹣x2）[f′（x1）+f′（x2）]﹣2[f（x1）﹣f（x2）]＞0，
所以，当k≥﹣3时，对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，
有f'(x1)+f'(x2)2＞f(x1)-f(x2)x1-x2．X
0
1
2
P
a
b
19
月份x
1
2
3
4
5
用水量y
2.5
3
4
4.5
5.2
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.897
10.828
X
0
1
2
P
a
b
19
月份x
1
2
3
4
5
用水量y
2.5
3
4
4.5
5.2
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.897
10.828
Ⅰ型病
Ⅱ型病
总计
男
5x6
x6
x
女
2x3
4x3
2x
总计
3x2
3x2
3x