第26讲 尺规作图（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关4
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测24
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 70
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分73
考点一 基本作图
1．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可．
【详解】解：如图，直线即为所求．
作，利用同位角相等，两直线平行可知．
2．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求；
（2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵由折叠可得，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数）
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
（1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
考点二 与三角形有关作图
1、基础前提：5种基本作图（必须掌握）
所有特殊三角形作图都由以下步骤组合而成：
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角（SSS全等原理）
作角平分线
作线段的垂直平分线
过定点作已知直线的垂线（点在线上点在线外）
2、等腰三角形的尺规作图
核心性质（作图后必用）
等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
等腰三角形两底角相等，两腰相等
垂直平分线是等腰三角形的对称轴
3、直角三角形的尺规作图
核心性质（作图后必用）
直角三角形两锐角互余
勾股定理：a2+b2=c2
斜边中线等于斜边的一半
30°角所对直角边等于斜边的一半
4、等边三角形的尺规作图
核心性质（作图后必用）
三边相等，三角均为 60∘
三线合一（顶角平分线、底边上的中线、高重合）
内心、外心、重心、垂心四心合一
5、三角形的“心”相关作图（特殊点）
A. 外心（外接圆圆心）
作图：作三角形两边的垂直平分线，交点即为外心
性质：到三个顶点距离相等（OA=OB=OC），是外接圆圆心
B. 内心（内切圆圆心）
作图：作三角形两个角的平分线，交点即为内心
性质：到三边距离相等，是内切圆圆心
C. 重心（三条中线交点）
作图：作两边的中点（垂直平分线找中点），连接顶点与中点得中线，两中线交点即为重心
性质：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍
1．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作．
【详解】解：如图，等腰即为所作：
2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，被墨迹污染了，请你重新作一个，使．(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)
【答案】见解析
【分析】本题主要考查限定工具作图，三角形全等的判定；根据已知三角形，利用进而得出全等三角形即可．
【详解】解：如图所示：，即为所求．

首先画一条射线并在其上截取，再分别以和为顶点作，，则与另一边的交点即为点，则即为所求作．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在钝角中，，请用尺规作图法，求作一个等边，使得顶点D，E均在的边上．（作出符合题意的一个等边三角形即可．保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，过点作的垂线，交于点，易得，再以为圆心，以的长为半径画弧，交于点，得到，即可得到等边．
【详解】解：如图，即为所求作．（作法不唯一）
考点三 与特殊四边形相关有关作图
1、基础依赖（必须先会）
作线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作角平分线
作线段垂直平分线
过点作直线的垂线
2、平行四边形尺规作图（必考）
（1）作图依据
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
对角线互相平分
（2）常考作图类型
已知三边/两边及夹角作平行四边形
已知一组对边和对角线作平行四边形
已知三个顶点，找第四个顶点
用作平行线的方法作平行四边形
3、矩形尺规作图（高频）
（1）作图依据
有一个角是直角的平行四边形
三个角是直角的四边形
对角线相等且互相平分
（2）常考作图
已知两邻边作矩形
已知一边和对角线作矩形
已知三个顶点作矩形
网格 / 坐标系中作矩形
（3）作图关键
用作垂线构造直角
对角线相等且互相平分 → 找中点、画等长对角线
4、菱形尺规作图（高频）
（1）作图依据
一组邻边相等的平行四边形
四条边都相等
对角线互相垂直平分
（2）常考作图
已知两邻边作菱形
已知一边和一个角作菱形
已知两条对角线作菱形（最常考）
作一个角的平分线 + 垂直平分线构造菱形
（3）作图关键
对角线互相垂直平分
四边相等 → 用圆规截取等长
5、正方形尺规作图（必考）
（1）作图依据
矩形 + 一组邻边相等
菱形 + 一个直角
对角线相等、垂直、互相平分
（2）常考作图
已知边长作正方形
已知对角线作正方形
作垂线 + 等线段构造正方形
（3）作图关键
先作直角 → 再截等长
对角线垂直、相等、平分
1．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，．
(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
2．（2024·江苏南京·中考真题）（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且．
（2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．
（1）作的中垂线即可；
（2）方法一：如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作垂线，过点作垂线，所得的四边形为所在的正方形；方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，四边形是所在的正方形，为该正方形点的边所在的直线．
【详解】解：（1）如图，分别以点为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点，交于点，点即为所求；
（2）方法一：如图，连接，过点作，取，连接，作，则为正方形点的边所在的直线，过点作的垂线，过点作的垂线，所得的四边形为所在的正方形；
方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，其中交于点，交于点；
连接，则，，
∴；
∵，
∴，；
同理，
∴都是等腰直角三角形，
∴四边形是正方形，
∴四边形是所在的正方形，
∴为该正方形点的边所在的直线．
3．（2025·江苏无锡·二模）（1）如图，在的正方形网格中，点，B，C均在格点上，请按要求作图．
①在图1中画一个格点，使（相似比不为1）．
②在图2中画一条格点线段，交于点Q，使．
（2）如图3，点A为上一点．
①请用不带刻度的直尺和圆规，在图3中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法）
②根据①中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和劣弧于点、，若的半径为，则的长为 ．
【答案】（1）①图见解析；②图见解析；（2）①图见解析；②；
【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定即性质，圆的性质，正方形的判定，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键．
（1）利用相似的性质作图即可；
（2）①：连接并延长，交于，过点作的垂线，分别交于，，即可．
②：利用勾股定理运算求解即可．
【详解】（1）①解：如图1所示，即为所求：
②：如图2所示，线段即为所求：
（2）①连接并延长，交于，过点作的垂线，分别交于，，则四边形即为所求如图3所示：
②∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
考点四 与圆有关作图
1、基础依赖（必须会）
作线段的垂直平分线
过点作直线的垂线
作一个角等于已知角
作角平分线
2、过不在同一直线上的三点作圆
知识点：
不在同一直线上的三点确定一个圆
圆心是任意两条线段的垂直平分线的交点
半径是圆心到任意一点的距离
作图：作两条垂直平分线 → 找圆心 → 画圆
3、作三角形的外接圆
知识点：
外接圆圆心 = 外心
外心 = 三角形三边垂直平分线的交点
外心性质：到三个顶点距离相等
作图：作两条垂直平分线 → 交点为圆心 → 画圆
4、作三角形的内切圆
知识点：
内切圆圆心 = 内心
内心 = 三角形三条角平分线的交点
内心性质：到三边距离相等
作图：作两条角平分线 → 交点为圆心 → 过圆心作一边的垂线，垂线段长为半径 → 画圆
5、过圆外一点作圆的切线（中考高频）
知识点：
切线与半径垂直
直径所对的圆周角是直角
作图：
连接圆外点 P 与圆心 O
作 PO 的垂直平分线，找中点 M
以 M 为圆心，MO 为半径画圆，交原圆于两点
连接 P 与交点，即为切线
6、作圆的内接正方形
知识点：
正方形对角线 = 圆的直径
对角线互相垂直且相等
作图：
作一条直径
作这条直径的垂直平分线（另一条直径）
顺次连接四个端点
7、作圆的内接正六边形
知识点：
边长 = 圆的半径
中心角 = 60°
作图：
以圆上任意一点为圆心，半径长为半径画弧，依次截取 6 个点
顺次连接
8、作已知圆弧的圆心（常考识图）
知识点：
圆心在弦的垂直平分线上
作图：
在弧上取两条不平行的弦
分别作垂直平分线
交点就是圆心
1．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
(1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”；
(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)七
(2)见解析
【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识．
（1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案；
（2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧．
【详解】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”，
故答案为：七
（2）如图所示，即为所求，
2．（2025·江苏无锡·二模）已知及外一点．
(1)用直尺和圆规过点作的切线，切点为．（只需作一条切线）；
(2)在（1）中，线段交于点，延长交于点，若，，则__________．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为直径作圆，根据直径所对的圆周角等于90度，即可得到（或）为的切线；
（2）根据题意作出图形，利用勾股定理得到，进而得到，作于点，结合解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质得到，最后根据求解，即可解题．
【详解】（1）解：所作的切线（或）如下图所示：
（2）解：为的直径，
⸫，
，，
，
，
，
同理可得，
⸫，
，
作于点，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
3．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】(1)
(2)①符合，图见详解；②图见详解
【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；
（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．
【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：
命题点一 基本作图
►题型01作满足要求的点或线
【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）尺规作图问题：如图1，点是边上一点（不包含，），连接．
(1)尺规作图：在边上找一点，使．
(2)小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；连接，则．
小明：小雨，你的作法有问题，
小丽：哦……我明白了!
指出小丽作法中存在的问题．
【答案】(1)见详解
(2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，
（1）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则；
（2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
又根据作图可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
【变式】
1．（2025·江苏盐城·三模）已知，如图中，于点
(1)如图①，若是边上一点，将绕点H顺时针旋转，得到，连接．求证：
(2)如图②，，利用直尺和圆规，分别在上作点使．(要求∶保留作图痕迹，并写出简要作法．)
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键．
（1）只需要证明，即可证明
（2）以H为圆心，的长为半径画弧，交于G，作交于B，过点H作交于A，则点A和点B即为所求．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解：如图所示，以H为圆心，的长为半径画弧，交于G，作交于B，过点H作交于A，则点A和点B即为所求；
由作图方法可得，
同理可证明，则，则．
2．（2025·江苏扬州·二模）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究：
(1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点；
(2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)图见解析
(3)当为的中点时，的面积最小，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图—作平行线，作线段：
（1）证明，得到即可；
（2）作射线，截取，作，交于点，连接并延长，交于点即可；
（3）过点的另一条直线，分别交于点，过点作，交于点，当为的中点时，可得，进而推出，根据，推出，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴点E是的中点；
（2）如图，即为所求；
由作图可知：，，
同（1）法可得：，
∴，
∴点P是线段的中点；
（3）当为的中点时，的面积最小，理由如下：
过点的另一条直线，分别交于点，不妨设，如图，
过点作，交于点，
当为的中点时，同（1）法可知：，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
故当为的中点时，的面积最小．
►题型02作满足要求的角
【典例】．（2025·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接．
(1)请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，则的长为 ．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）由于和分别在正方形一组对边上，所以考虑先在边上作，最后利用“两直线平行，内错角相等”，易得；
（2）延长交的延长线于点，过点作于点，根据已知边长，易求出正方形的边长，根据正方形对边平行，利用平行的性质易证，即可求出的长；设，则，求出的长，再根据“等角对等边”证得，再证四边形为矩形，得出直角三角形两直角边长，最后根据勾股定理列方程即可求出的长．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，延长交的延长线于点，过点作于点，
，
，，
四边形是正方形，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
即， 解得，即．
故答案为：．
【变式】
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解(3)
【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴；
点O即为所求
（2）解：如图所示，
连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，
∵是直径，
∴，即，
根据作图可得，
∴，即，是点到的距离，
∵，
∴，
∴，
点即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得，，连接，
∴在中，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
解得，（负值舍去），
∴，
在中，．
2．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可．
【详解】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
命题点二 与三角形有关的作图
►题型03作满足要求的等腰三角形
【典例】．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知角，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长；
(2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．（用两种不同的方法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角．
（1）根据给定的线段长度作出底边，分别以、为顶点，作两底角都等于的角，这两个角的另一边相交于点，即得所求；
（2）方法：先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求；方法：先作一个两底角为的等腰三角形，作底边上的高，在上截取，过点作，分别交、于点、点，即为所求．
【详解】（1）解：作法：①作，
②在上取点，使，
③在的上方作，交于点，
则如图，即为所求；
（2）作法：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角，
②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即，
③作，
④作的角平分线，
⑤在上取点，使，
⑥过点作，分别交、于点、点，
则如图，即为所求；
作法：①作一条线段，
②分别以、为顶点，作，，交于点，
③过点作于，
④在上截取，使，
⑤过点作，分别交、于点、点，
则如图，即为所求．
【变式】
1．（2025·河南南阳·二模） 如图， 在 中， ，现需要在上作一点D，使将 分割成两个等腰三角形．
(1)点D是否为的中点？ （填“是”或“不是”）；
(2)请用无刻度的直尺和圆规找出点D；（不写作法，保留作图痕迹）
(3)根据 （2）中的尺规作图，写出这两个等腰三角形，并说明理由．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)和为等腰三角形；理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质．
（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，进行解答即可；
（2）作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求作的点；
（3）根据垂直平分，得出，根据直角三角形的性质得出，即可证明结论．
【详解】（1）解：∵斜边的中线等于斜边的一半，
∴当点D是为的中点时，，
∴此时将 分割成两个等腰三角形．
故答案为：是
（2）解：如图，点D即为所求作的点；
（3）解：和为等腰三角形；理由如下：
如图，连接，
根据作图可知：垂直平分，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∴和为等腰三角形．
2．（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践．
【活动主题】分割三角形．
【问题驱动】有没有这样的三角形，用剪刀只剪一刀，就可以将其剪成两个等腰三角形？如果有，试描述符合题意的三角形的特征．
【特例感知】（1）如题图，在中，，，用剪刀只剪一刀，将分割成两个等腰三角形，如何剪？请用尺规作图作出所有的剪痕；（不写作法，保留作图痕迹）
【深入探究】（2）如图，在中，，若满足用剪刀只剪一刀（过点B），可以分割成两个等腰三角形，试探究的内角满足的数量关系（要求探究两个内角的数量关系，并直接写出的度数范围），并说明理由；
【迁移应用】（3）如图，在中，，点G在腰上（异于点A，C），连接，如果将割为两个等腰三角形，试探究的值．
【答案】（1）见解析；（2）的内角满足或时，用剪刀只剪一刀（过点B），可以分割成两个等腰三角形，理由见解析；（3）或
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二方程等知识，分类讨论和准确画图是解题的关键．
（1）根据题意作图即可；
（2）分三种情况讨论即可得到解答；
（3）分两种情况：①当时，证明,则，设，由得到，进一步即可求出答案．②当时，求出角的度数，进而根据三角函数的定义求解
【详解】解：（1）情况一：如图1，即为所求，
情况二：如图2，即为所求，
（2）如图3，在边上取一点E，使得，
则为等腰三角形，
∴若为等腰三角形，则满足条件，有以下情况：
情况一：若
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
解得；
情况二：若
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
情况三：若
∴，
∵，即，
∴，
∴，
此时，，不符合题意，
∴的内角满足或时，用剪刀只剪一刀（过点B），可以分割成两个等腰三角形；
（3）①当时，
∵是等腰三角形，
∴,
∴
设，
∵是等腰三角形，
∴，
由上可得，，
∴，
解得（负值已舍去）
∴；
②当时，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
过点C作，
∴，
∴，
∴
►题型04 作满足要求的直角三角形
【典例】．（2025·江苏无锡·一模）如图，在直角三角形中，．
(1)利用无刻度的直尺和圆规，按要求在图（1）中作图；（不写作法，保留作图痕迹，并标记字母）
①作的垂直平分线l；
②在边上作一点M，使A关于的对称点落在l上．
(2)在（1）的条件下，若，则 ．（如需画草图，请使用图2）
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查尺规作图作垂直平分线，角平分线，勾股定理等知识点．
（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤，作的垂直平分线，再作，交直线于，然后作的角平分线，交于，即可求解；
（2）令直线交于，由作图可知，直线垂直平分，得，由勾股定理可得，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：直线和点即为所求；
（2）令直线交于，
由作图可知，直线垂直平分，
∴，
则，
∴，
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·二模）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹）
(1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”．
(2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设，则，由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例定理可得，即可得解；
（2）在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，同（1）证明即可．
【详解】（1）解：因为是“型三角形”，
所以．
设，则，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，
所以是“型三角形”；
（2）解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，
，
因为是“型三角形”，
所以．
设，则，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，
所以是“型三角形”．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知线段和直线，请用尺规作图法，在直线上作一点，使得为直角三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的作法，垂线的作法，作线段的垂直平分线，交于点O，得到点O是线段的中点，再以点O为圆心，长为直径画圆交直线于点，连接，根据直径所对圆周角为，得到，即可得到是直角三角形，再分别过点作的垂线，分别交直线于点，连接，即，即可得到是直角三角形．
【详解】解：如图所示为所求：
命题点三 与特殊四边形有关的作图
►题型05与矩形有关的尺规作图
【典例】．（2025·江苏镇江·二模）矩形纸片中，点，分别在边和上，点，分别在边和上．
【特例感知】
（1）如图1，当矩形纸片是正方形时，，则线段和的数量关系为__________；
【初步探究】
如图2，矩形纸片中，．
（2）若，则线段和的数量关系为__________；
（3）若，那么一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例；
（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【拓展提升】
（4）如图3，若，点是边的中点，将矩形纸片折叠，使得点落处，则折痕落在纸片上的线段的长为__________；（用含的代数式表示）
（5）已知点的位置如图4所示，求作一点，使得点一定分别在一个长宽比为2∶1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）；（2）；（3）不一定，见解析；（4）；（5）见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线的尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）过点E作于H，过点F作于G，设交于K，则四边形和四边形都是矩形，可得，导角证明，则可证明，得到；
（2）过点E作于H，过点F作于G，设交于K，则四边形和四边形都是矩形，可得，导角证明，则可证明，利用相似三角形的性质即可得到答案；
（3）如图所示，，此时满足，但是不满足；
（4）设折痕为，由折叠的性质可得，由（2）可知；求出，则，可得，即；
（5）如图所示，作线段的垂直平分线，交于H，过点P作垂直且使得，则点S即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H，过点F作于G，设交于K，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，过点E作于H，过点F作于G，设交于K，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）不一定成立，作图如下：
如图所示，，
此时满足，但是不满足；
（4）如图所示，设折痕为，
由折叠的性质可得，
∴由（2）可知；
由矩形的性质可得，
∵F为的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴折痕落在纸片上的线段的长为；
（5）如图所示，作线段的垂直平分线，交于H，过点P作垂直且使得，则点S即为所求；
此时，且，分别过作的平行线，再则点过作的平行线，则必在这个新作的长宽比为的矩形的边上.
【变式】
1．（2025·江苏扬州·三模）尺规作图：（保留作图痕迹即可）
(1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可）
(2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可）
(3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，，则四边形为所求；
（2）以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、，则四边形为所求；
（3）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解．
【详解】（1）解：如图，菱形为所求．
证明如下：∵是的垂直平分线，
∴，，
设与的交点为O，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）如图，菱形即为所求．
证明如下：由作图可得，
∴四边形是菱形．
（3）解：如图，
①作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得；
②以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E；
③作，作直线，分别交于点、．
∴点、即为所求．
证明如下：设与交于点G，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
由作图可知，
∴，，
由作图可知，
∴，
∴，
∴．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知矩形．
(1)请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，连接；
②作的平分线交于点F；
③连接；
(2)在（1）作出的图形中，若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查基本作图，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）先证，推出，再由勾股定理解和即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由作图知，，
又，
，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
．
►题型06与正方形有关的尺规作图
【典例】．（2025·江苏淮安·一模）已知是等边三角形
(1)正方形内接于（正方形四个顶点都在三角形的边上，其中在上），请在图中作出点、，尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作图步骤；
(2)写出（1）中的的边长与正方形的边长比值为______．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）作的平分线交于点，再作的平分线交于点，然后以点为圆心，以为半径作交于点，则点，为所求作的点；
（2）在中，设，根据得，则，进而得，由此即可得出的边长与正方形的边长比值．
【详解】（1）①作的平分线交于点，
②作的平分线交于点，
③以点为圆心，以为半径作交于点，
则点，为所求作的点，如图1所示：
理由如下：
过点，作的垂线交于点，交于点，连接，如图2所示：
，，
是等边三角形，
，
是的平分线，
，，，
由作图可知：，
，
，
在△和△中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形是矩形，，
是等边三角形，
，
是的平分线，
，
在中，，
，
，
，
，
矩形是正方形，
点，为所求作的点；
（2）在中，设，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
．
的边长与正方形的边长比值为．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏·一模）用直尺和圆规作出下列图形．
(1)如图②，点是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点，使它们将正方形的面积四等分；
(2)如图③，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，请过点作一条直线将四边形的面积平分，并简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接相交于点，作直线分别交于两点，过点作用的垂线分别交于、两点，则直线将正方形的面积四等分．可应用得出结论．
（2）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解．
【详解】（1）解：如图②，连接相交于点，作直线分别交于两点，过点作用的垂线分别交于、两点，则直线将正方形的面积四等分．
理由如下：
∵点是正方形对角线的交点，
∴点是正方形的对称中心．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
设点O到正方形一边的距离为．
∴
∴．
∴直线将正方形面积四等分．
（2）如图③，在上截取，作直线，直线即为所求作：
延长至点E，使，延长至点F，使，连接．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形．
连接交于点，则．
∴，即点、重合．
∴点是菱形对角线的交点．
∵在上截取，
∴．
设点到菱形一边的距离为，连接，
∴．
∴当时，直线将四边形的面积分成相等的两部分．
2．（2025·江苏扬州·一模）用直尺和圆规作出下列图形．
(1)请在图①中作两条直线，使它们将圆面四等分；
(2)如图②，点是正方形内一定点，请在图中作出两条直线，其中有一条直线必须经过点，使它们将正方形的面积四等分；
(3)如图③，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，请过点作一条直线将四边形的面积平分，并简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）圆内两条互相垂直的直径即达到目的．
（2）连接相交于点O，作直线分别交于两点，过点O作用的垂线分别交于E、F两点，则直线将正方形的面积四等分．可应用得出结论．
（3）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，互相垂直的直径即为所求：
（2）解：如图②，连接相交于点O，作直线分别交于两点，过点O作用的垂线分别交于E、F两点，则直线将正方形的面积四等分．
理由如下：
∵点O是正方形对角线的交点，
∴点O是正方形的对称中心．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
设点O到正方形一边的距离为．
∴
∴．
∴直线将正方形面积四等分．
（3）解：如图③，在上截取，作直线，直线即为所求作：
延长至点E，使，延长至点F，使，连接．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形．
连接交于点M，则．
∴，即点P、M重合．
∴点P是菱形对角线的交点．
∵在上截取，
∴．
设点P到菱形一边的距离为，连接，
∴．
∴当时，直线将四边形的面积分成相等的两部分．
►题型07与菱形有关的尺规作图
【典例】．（2025·江苏徐州·模拟预测）在三角形纸片中，仅折叠该纸片两次，就能分别在上得到点，使四边形为菱形．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作出菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的角平分线，交于，作的垂直平分线，分别交、于、，四边形即为所求．
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质，利用勾股定理求出，利用菱形的性质证明，根据相似三角形的性质得出，，即可求出，根据菱形面积公式即可得答案．
【详解】（1）解：如图，作的角平分线，交于，作的垂直平分线，分别交、于、，
四边形即为所求．
∵垂直平分，
∴，，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，过点作于，过点作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，
∴菱形的面积．
【变式】
1．（2025·江苏扬州·二模）已知：如图，矩形中，是对角线上一点．
(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得、、分别在、、上（保留作图痕迹，并写出必要的作图说明）；
(2)请证明你所作的四边形是菱形；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，垂线的尺规作图，熟知菱形的判定定理和矩形的性质是解题的关键．
（1）连接交于O，过点O作分别交于H、F，以F为圆心，的长为半径画弧交于G，连接，则四边形即为所求；
（2）由矩形的性质得到，证明，得到，证明，得到，再证明，得到，即可证明四边形是菱形；
（3）连接，可证明垂直平分，得到，设，则，由勾股定理得，，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解；如图所示，连接交于O，过点O作分别交于H、F，以F为圆心，的长为半径画弧交于G，连接，则四边形即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）解：如图所示，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
2．（2025·江苏连云港·一模）如图，四边形是平行四边形．
(1)尺规作图：作菱形，使点在线段上，点在线段上（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交线段于点E，交线段于点F，则四边形即为所求作的线段；
（2）根据，，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，根据菱形的性质求出，，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求作的四边形；
根据作图可知：垂直平分，
则，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴、互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：，
在中，，
又，
，
在中，，
四边形是菱形，
，，
．
命题点四 与圆有关的作图
►题型08作圆的切线
【典例】．（2025·河南·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，与相交于点E．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作的切线，交延长线于点F；
(2)当的半径为5，时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）延长，以点为圆心，取合适长度画弧与及延长线交于两点，再分别以此两点为圆心，取大于的一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点O，延长交这条直线于点F，由此作图即可；
（2）由角平分线定义和圆周角定理可证得，再由为的切线可得，根据圆周角定理可知，由此证得，在和中分别解直角三角形求出的长，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线为所求；
（2）平分，
，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
则的长为．
【变式】
1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于．
【答案】见解析
【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P．
【详解】解：如图，点P即为所作．
2．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点．
(1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接．求证：．
【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求；
（2）连接，设，根据切线的性质，得到，进而得到，根据，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图：
由作图可得：，
∴，
∴为的切线；
（2）解：连接，如图：
设，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
►题型09作满足条件的圆
【典例】．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，请用尺规作图法求作，使圆心在上，且圆经过点，与交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图—作圆，解题的关键是确定圆心的位置．
根据经过A，B两点，且圆心在上，得到圆心O为线段的中点，作线段的中垂线，垂足为O，以为圆心，的长为半径，画圆即可．
【详解】解：如图，即为所求．
【变式】
1．（2025·江苏扬州·三模）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
(1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件：
圆心O在上；经过点P；与边相切；
(2)【不可及点的作图】如图2，从墙边上引两条不平行的射线、（交点在墙的另一侧，画不到，即和不可延长），作这两条射线所形成角的平分线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了圆的基本性质，角平分线的性质与判定．
（1）要作一个满足条件的圆，关键在于确定圆心和半径．因为圆心在上且圆经过点 P 并与相切过圆心作的垂线，垂线段长度即为半径；
（2）根据三角形三条角平分线交于同一点作图即可．
【详解】（1）解：①过点P作的垂线交于点E，
②在上截取，
③作交于点O（或作的平分线交于点O）；
④以点O为圆心，长为半径作圆；
则为所求的图形．
（2）解：①在上任取一点M（除F外），在上任取一点N（除E外），连接；
②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点G；
③同样方法，得点H；
④作直线，则直线为所求的图形．
2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点B与边上的点P重合，为折痕，点M，N分别在边，上．
(1)请用尺规在图中作出过点M，D，P的；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若直线与过M，D，P三点的相切，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连结，作的垂直平分线，与交于点O，再以点O为圆心，为半径画圆即可；
（2）过O作交于E 、交于F ，连接 ，根据切线性质，正方形性质及翻折，可得，从而求解．
【详解】（1）解：在矩形中，由，
则的外接圆是以斜边为直径的圆，作图如下图1：
①分别以A，B为圆心，大于的长度为半径，上下画弧，两弧上下各交于一点，连接这两个点，与交于点O，
②以点O为圆心，为半径画圆，
则圆O即为所作图形．
（2）解：过作交于、交于，连接，如图（2）所示：
则四边形是矩形，
是的切线，
，
四边形是矩形，，
，
，
由题意，把矩形折叠，为折痕，
垂直平分，
，
在和中
，
，，
，
，
的半径为．
突破一 只用无刻度直尺作图
【典例】．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点；
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
连接，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点．
【详解】解：连接的对角线交于点，连接的对角线交于点，连接与的交点即为的中点．
点即为求作的点；
理由：中，，
，
四边形是平行四边形，
，同理，
是的中位线，
，
，
，
，
即点为的中点．
【变式】
1．（2025·江西吉安·模拟预测）如图矩形中，点在上，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）
(1)在图1中，画出的平分线；
(2)在图2中，画出的平分线．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，无刻度直尺作图；
（1）作射线，由矩形的性质得，由等腰三角形的性质得 ，即可求解；
（2）连接、交于，作射线，由矩形的性质得，由等腰三角形的性质得平分，即可求解；
能熟练利用矩形的性质及等腰三角形的性质进行作图是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
射线为所求作；
作射线，
在矩形中，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图，
射线为所求作．
连接、交于，作射线，
，
，
平分．
2．（2025·江西新余·三模）如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图．
(1)在图1中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称；
(2)在图2中，在正方形的内部取点，使．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查基本作图，涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、轴对称的性质等知识，正确作出图形是解答的关键．
（1）延长交延长线于M，根据正六边形的性质得，，，进而可得，是等边三角形，则，即点与点关于直线对称；
（2）连接交延长线于P，由正方形的性质得，进而利用三角形的内角和定理推导出，根据等角对等边可得．
【详解】（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：如图2，点即为所求．
1．（2025·江苏盐城·二模）用尺规法过直线外一点作此直线的垂线，作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了作图，线段垂直平分线的判定，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A．根据作图可得，故该选项不符合题意；
B．根据作图可得垂直平分，故该选项不符合题意；
C．如图，根据作图可得，，
∴，，又，
∴，
∴，
∴，
则垂直平分，即，故该选项不符合题意；
D．无法判断，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（2025·江苏南通·二模）在平行四边形中作出菱形，对于以下两种作法，根据作图痕迹可以判断（ ）
A．①②都正确B．①②都不正确
C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质及线段和垂直平分线的作法，根据作图方法结合平行四边形的性质利用菱形的判定定理逐一判定即可．
【详解】解：在作法①中，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
由作图可知垂直平分，
则，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，①正确；
在作法②中，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
由作图可知，
则，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵不一定相等，则不一定相等，
∴不能判定 四边形是菱形，②不正确；
故选：C．
3．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ）
A．6B．10C．12D．20
【答案】C
【分析】过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可．
本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵的面积为6，
∴，
故选：C．
4．（2025·江苏连云港·模拟预测）小明借助尺规作图，在线段上作一点．若，则___________．
【答案】32
【分析】本题考查平行线分线段成比例，由作图痕迹可得，，，得出，即可得解．
【详解】解：由作图痕迹可得，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：32．
5．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，P是边的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交、于点D、E；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线，交线段于点Q．则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由中点定义可得，由作图过程可得，可得，从而证明．
【详解】解：∵中，P是边的中点，
∴．
由作图过程可得，，
∵，
∴，
，
故选：D．
6．（2025·广西梧州·一模）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙正确B．只有甲、丙正确
C．只有乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
【答案】A
【分析】方案一，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，即可判断；
方案二，通过证明，，，即可判断；
方案三，举反例，设，并按方案三的操作，推理出点P可以不在的平分线上，从而判断方案的正误．
【详解】解：方案一：
是的平分线
故方案一正确；
方案二：
，，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，，
，
，
是的平分线，
故方案二正确；
方案三：
举反例：如图，设，
按题中的操作步骤可知，，
，
，
过点N作，交于点P，
，
，
显然，点P不在的平分线上，
故方案三错误；
只有方案一和方案二正确．
故选：A．
7．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】
如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：．
【模型应用】
（1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________；
（2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键．
【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论；
（1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解；
（2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求．
【详解】【模型探究】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴故答案为：．
（2）如图，点、即为所求．
8．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点；
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
连接，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点．
【详解】解：连接的对角线交于点，连接的对角线交于点，连接与的交点即为的中点．
点即为求作的点；
理由：中，，
，
四边形是平行四边形，
，同理，
是的中位线，
，
，
，
，
即点为的中点．
9．（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①，过点P作的一条切线；
(2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分；
(3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求；
（2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求；
（3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求．
【详解】（1）解：如图①，直线即为所求；
（2）解：如图②，点Q即为所求；
（3）解：如图③，直线即为所求．
10．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上．
小明的作法如下：
如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，，
又因为，
所以 ．
所以，
所以平分，
即点为所求点；
【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析．
【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键．
[任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证；
[实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证．
【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，，
又因为，
所以，
所以，
所以平分，
即点为所求点，
故答案为：；
[实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；
理由：连接,
由作图可知，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点为所求．
1．（2025·江苏徐州·三模）如图，在三角形纸片中，，．
(1)将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求；
（2）设与交于点O．由平行线的性质得到，，；由折叠的性质得到，，证明，得到．过点M作于点E．解，得到，再解，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求；
由平行线的性质可得，
由折叠的性质可得，垂直平分，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设与交于点O．
，
，，；
为折痕，
垂直平分，
，，
，
．
过点M作于点E．
在中，，
在中，，
．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键．
（1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求；
（2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
（3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可；
（4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可．
【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接；
②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心；
③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求；
（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强；
故答案为：变强；
（3），理由如下：
连接，则：，
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
3．（2025·江苏南京·三模）（1）如图①，点A在外，求作的一条直径，使；
（2）如图②，点A，B都在外，求作的一条直径，使．
要求：用直尺和圈规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线和中心对称，垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作线段垂平分线和线段是解题的关键．
（1）如图，连接，过点O做的垂线，与交于C、D两点；
（2）如图②，作点B关于点O的对称点，连接，作的垂直平分线，与的交点即为点E，则可证明，进而证明（右图作点A关于点O的对称点也可）．
【详解】（1）解：作图如图
（2）作图如图
4．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知．
(1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）条件下，若，，则的半径为__________．
【答案】(1)作图见详解(2)
【分析】（1）运用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线交于点，交于点，作的角平分线与线段交于点，以点为圆心，以为半径画圆即可；
（2）根据题意得到，如图所示，过点作，设圆的半径为，即，在中，，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据角平分线的性质定理得到角平分线上的点到角两边的距离相等，结合内切圆的特点得到即为所求点位置；
（2）解：∵，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
设圆的半径为，即，
在中，，即，
解得，，
∴的半径为，
故答案为：．
5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，是它的一条对角线，
(1)请借助无刻度的直尺和圆规画出矩形，使点、在上（点在点的左下方）（保留作图痕迹，不写画法）；
(2)在（1）的条件下，过点作于点，若，．求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：
（1）连接交于O，以O为圆心，为半径画弧，交于E、F，连接、、、即可；
（2）根据矩形的性质得出，，证明，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
由作图知：，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴
6．（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，．
(1)实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A、C两点，并与线段交于另一点D．小盐在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全；
(2)推理与计算：在（1）的条件下，若．
① 求证：直线是的切线；
② 若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)①见解析②
【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理是解题的关键．
（1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可；
（2）①连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，即可求证；
②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出r，即可．
【详解】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
7．（2025·江苏扬州·三模）（1）如图1，以点A为顶点，以射线为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作角（保留作图痕迹，写出必要的作图说明）．
（2）如图2，请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点P，使（保留作图痕迹，写出必要的作图说明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图；
（1）根据等边三角形的每一个内角等于，构造角，再作角平分线即可；
（2）与（1）同理作出，与交于点，则，作的平分线交于点．由可知：，再由角平分线的点到角两边距离相等可知．
【详解】（1）如图：作等边，作平分，即即为所求．
（2）与（1）同理作出，与交于点，作的平分线交于点．
点P即为所求．
8．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，、相交于点O．
(1)证明：；
(2)请你利用无刻度直尺和圆规作，交于H（不写作法，保留作图痕迹），若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)图见解析，
【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，由作图可得，，平分，得到，利用平行四边形的性质和菱形的判定证明四边形是菱形，再利用菱形的性质即可证明；
（2）利用尺规作，交于H，由（1）得四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形的边长，利用面积公式求出菱形的面积，由可得是菱形的高，再利用等面积法即可求出线段的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
由作图可得，，平分，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是菱形，
．
（2）解：如图所示，图形即为所求：
由（1）得，四边形是菱形，
，，
，，，
，
，
是菱形的高，
．
9．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，．
(1)求作满足条件的点要求尺规作图，保留作图痕迹）
(2)延长交的延长线于点，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)画图见解析(2)①②③(3)
【分析】（1）作线段的垂直平分线垂足为，连接，利用直角三角形斜边的中线性质可得点E即为所求；
（2）①正确，利用全等三角形的性质证明即可；②正确，利用三角形中位线定理证明；③正确，根据线段的垂直平分线的判定判断即可；④错误，根据等边三角形的定义判断即可；
（3）过点作于点．首先证明，求出，，，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
；
由作图可得：，
而为的直径，
∴，
∴．
（2）在和中，
，
∴，
∴，
∴是的切线，故①正确；
由作图可知，，
∴，故②正确；
∵，，
∴垂直平分线段，故③正确；
∵不一定是，
∴无法判断是等边三角形，故④错误．
故答案为：①②③；
（3）解：过点作于点．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
10．（2025·江苏苏州·二模）矩形中，与相交于点，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切．
(1)在图①中，利用无刻度直尺和圆规作出（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求的长；
(3)如图②，连接，与相交于点．若点恰好在对角线上，求证：点是线段的黄金分割点．
【答案】(1)作图见解析(2)(3)证明见解析
【分析】（1）如图，在上截取，过作，交于，以为圆心，为半径作圆即可；
（2）求解，，设，则，，结合，从而可得答案；
（3）如图，延长交于，连接，而点恰好在对角线上，由作图可得：，，是的垂直平分线，，设，证明，可得，可得，求解，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，在上截取，过作，交于，以为圆心，为半径作圆即可；
理由如下：
由作图及矩形性质可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：∵矩形，，，
∴，，
由（1）得：，，，
∴，，
设，则，，
∴，
解得：，
∴；
（3）证明：如图，延长交于，连接，而点恰好在对角线上，
由作图可得：，，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴点是线段的黄金分割点．
1．（2025·甘肃·一模）如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点为圆心，点为上一点．
(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和于点，，若的半径为，则的长为______________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理和正方形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）连接并延长，交于C，过点O作的垂线，分别交于B、D，则四边形即为所求；
（2）由正方形的性质和勾股定理求出的长，由垂径定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解；如图所示，连接并延长，交于C，过点O作的垂线，分别交于B、D，则四边形即为所求；
分别为的直径，则相等且互相垂直平分，则四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高．
(1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，．求外接圆的半径．
【答案】(1)画图见解析(2)
【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求；
（）连接，由等腰三角形的性质得，即由勾股定理得，设的半径为，则，在中由勾股定理得，解方程即可求解；
本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接，
∵，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴外接圆的半径为．
3．（2025·广西来宾·一模）如图，是等腰三角形，，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母）
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握角平分线的尺规作图是解题关键．
（1）根据角平分线的尺规作图画出图形即可；
（2）通过等腰三角形的性质结合角平分线的定义得，将、代入计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求．
（2）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，，
∴的周长为．
4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为．
【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析
【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键．
[初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线；
[拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形的面积与扇形半径之比为，只要画出或的中点即可．方法一：作扇形半径的垂直平分线找到中点，然后以为半径作弧交半径于点．方法二：扇形的圆心角为，根据含的直角三角形是斜边的一半，过点作出的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．
【详解】解：[初步尝试]
作法一：如图所示
①连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧交于点，标注出点
②画直线
③直线即为所求
作法二：如图所示
①以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，标注出点.
③画直线，直线即为所求
[拓展探究]
扇形的面积与扇形的面积比为，设扇形的半径为，扇形的半径为
扇形的面积∶扇形的面积
只要画出或的中点即可
作法一：
①作的垂直平分线交于点，标注出点
②以为圆心长为半径画弧，交于点，标注出点
③弧即为所求．（同理作的垂直平分线也可得分）
作法二：
过点作出的垂线或者过点作的垂线，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．（依据：含的直角三角形是斜边的一半）
5．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
（1）运用尺规作直径的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵是直径，
∴运用尺规作直径的垂直平分线交于点，
∴点即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，即，
∴四边形是平行四边形．
6．（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，圆周角定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
（1）四边形是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可；
（2）分别作的中垂线，得到点，连接，作的中垂线，得到的中点，以为圆心，的长为半径画圆，与的交点即为点；
【详解】解：（1）四边形是矩形，理由如下：
由折叠的性质可知，，，
，
，
，即，
同理可得：，
∴四边形是矩形；
（2）由（1）可知：，
故分别为的中点，点在以为直径的圆上，
同理：点分别为的中点，点在以为直径的圆上，
如图，即为所求．
7．（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为D；
②在射线上截取；
③连接，作线段的垂直平分线交于点O；
④以点O为圆心，的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下，即为所求；
8．（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆．
(1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2，若的半径为，求证：；
(3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解．
（2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图2，作的直径，连接，
∴，，
∵是的高，
∴．
∵，
∴．
∴，即，
∴．
（3）如图3，连接，
∵为的切线，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴．
在中，，，，
∴，，
在中，，
在中，，
代入，得，
即．
9．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，点在边上，连接，过点在右侧作射线．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】本题考查相似三角形的尺规作图，涉及知识点：相似三角形的判定（两角对应相等）、尺规作角．解题方法是利用 “两角对应相等的三角形相似”，通过尺规作角使与的角对应相等；解题关键是确定相似三角形的对应角，易错点是作角时的对应关系错误．解题思路：由且，通过尺规作，其与射线的交点即为点．
【详解】解：要使，已知，只需使（两角对应相等，三角形相似）．
通过尺规作，射线与射线的交点，满足．
如图所示，
作图步骤：
1、以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
2、取为半径，以为圆心画弧，与步骤1的弧交于点；
3、连接并延长交于点；
10．（2025·广东·模拟预测）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，．
求作：，使圆心在边的中线上，且与、边相切．
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作图——垂直平分线、角平分线.先找到的中点D，连接即为边的中线，圆与、边相切，根据切线的性质：圆心到、距离相等，所以圆心还在的平分线上，即圆心为中线和角平分线的交点，最后找到圆心到边的距离，以此距离为半径画圆，即为所求.
【详解】解：如图，先作线段的垂直平分线，交于点，连接，再作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，交于点E，以点E为圆心，以长为半径画弧分别交、于点G、F，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求．
命题点一 基本作图
题型01 作满足要求的点、线段、直线、射线
题型02 作满足要求的角
命题点二 与三角形有关作图
题型03 作满足要求的等腰三角形
题型04 作满足要求的直角三角形
命题点三 与特殊四边形有关作图
题型05 与矩形有关的尺规作图
题型06 与正方形有关的尺规作图
题型07 与菱形有关的尺规作图
命题点四 与圆有关的作图
题型08 作圆的切线
题型09 作满足条件的圆
突破一 只用无刻度直尺作图
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
基本作图
淮安T24
南京T18
宿迁T24
无锡T24
常州T24
扬州T26
常州T26
扬州T26
镇江T28
宿迁T16
无锡T24
苏州T20
苏州T20
镇江T10
盐城T21
常州T23
扬州T17
会作一条线段等于已知线段；会作一个角等于已知角；会作一个角的平分线；会作一条线段的垂直平分线，会过一点作已知直线的直线；会过直线外一点作这条直线的平行线；能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。
能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线；
与三角形有关作图
/
徐州T27
南京T27
与四边形有关作图
淮安T24
无锡T24
南京T26
连云港T20
南京T27
与圆有关的作图
徐州T26
连云港T26
/
连云港T23
淮安T24
徐州T26
命题预测
2023 - 2025 年尺规作图的考查情况分析：
尺规作图为必考内容，每年每市均有考查，题型以解答题为主，少数地区在选择题、填空题中考查作图痕迹识别。分值稳定在3-8 分，多为独立小题，也常融入几何综合题中，作为解题步骤或条件构造。
2026年中考数学关于尺规作图的命题预测：
地位不变：仍为必考内容，分值3-8分，题型以解答题为主，选填题考查痕迹识别为辅。
难度稳定：以中档为主，复杂作图考查概率低，压轴题中仅可能以简单形式出现。
复习建议：
夯实基础：掌握 5 大基本作图（核心）
分类突破：掌握常见作图类型
强化应用：作图 + 推理 + 计算
 结合性质：作图后立即联想对应性质（如垂直平分线→等线段；角平分线→等距离）。
 真题训练：刷江苏近 3 年各市中考尺规作图题，重点练 “作图 + 计算 / 证明” 题型，总结解题思路。
 易错点规避：
作垂直平分线时，弧半径必须大于 1/2 线段长，且交点在直线两侧。
作角平分线时，弧需与角两边相交，后续弧半径大于两交点间距的一半。
不遗漏作图痕迹，不跳步，不使用刻度工具。
答题规范（得分关键）
严格按要求：“保留作图痕迹，不写作法” 时，痕迹清晰；“写作法” 时，步骤简洁、对应痕迹。
标注字母：所有点、线、角标注规范，与题干一致。
书写结论：明确写出 “XX 即为所求作的图形”。
基本作图
作图方法
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作角的平分线
作已知直线的垂线
过直线外一点过直线上一点
作已知线段的垂直平分线
已知条件
作图思路
关键原理
已知底边 a 和顶角 ∠α
1. 作底边 BC=a
2. 分别以 B、C 为顶点作底角 180∘−α2
3. 两角边交于 A
三角形内角和、作等角
已知底边 a 和底边上的高 ℎ
1. 作底边 BC=a；
2. 作 BC 的垂直平分线，取中点 M；
3. 在垂直平分线上截取 MA=ℎ
4. 连接 AB、AC
垂直平分线性质（AB=AC）、作垂线
已知腰长 b 和顶角 ∠α
1. 作顶角 ∠A=∠α
2. 在角两边截取 AB=AC=b
3. 连接 BC
作等角、截取线段
已知腰长 b 和底角 ∠β
1. 作底角 ∠B=∠β，截取 BC 任意长
2. 作 ∠C=∠β，两边交于 A
3. 验证 AB=AC=b
等腰三角形“等角对等边”
已知条件
作图思路
关键原理
已知两直角边 a、b
1. 作直角 ∠C=90∘
2. 截取 CA=b、CB=a
3. 连接 AB
作垂线（构造直角）、截取线段
已知一直角边 a 和斜边 c（HL）
1. 作直角 ∠C=90∘
2. 截取 CB=a
3. 以 B 为圆心，c 为半径画弧，交另一直角边于 A
4. 连接 AB
HL全等判定、作垂线
已知斜边 c 和一锐角 ∠α
1. 作斜边 AB=c
2. 以 A 为顶点作 ∠A=∠α
3. 过 B 作 AB 的垂线，交角边于 C
直角三角形两锐角互余、作垂线
已知条件
作图思路
关键原理
已知边长 a
1. 作线段 AB=a；
2. 分别以 A、B 为圆心，a 为半径画弧，交于 C；
3. 连接 AC、BC；
SSS全等、三边相等
已知高 ℎ
1. 作高 AD=ℎ；
2. 过 D 作 AD 的垂线
3. 以 A 为顶点，作 30∘ 角，交垂线于 B、C
4. 连接 AB、AC
等边三角形高与边长关系：ℎ=32a、作30°角
/
/
/
/
/
/
/
/
/
甲①利用直尺和三角板画；
②在上截取；
③作射线，即为所求．
乙①利用圆规截取，；
②连接，，相交于点P；
③作射线，即为所求．
丙①在上取点M，利用圆规截取；
②过点M，N作；
③作射线，即为所求．