中考数学一轮复习考点过关练习专题26 尺规作图的核心知识点精讲（讲义）（2份打包，原卷版+含解析）

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1.了解基本作图的概念．
2.掌握五种基本作图的方法，并会按要求作出图形．
3.会写已知、求作和作法，掌握准确的作图语言．
4.能运用尺规基本作图解决有关的作图简单应用
考点1：尺规作图
1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．
2．步骤：
(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；
(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法．
考点2：五种基本作图
考点3：基本作图的应用
1．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．
【题型1： 根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论及计算】
【典例1】（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 ．
【变式1-1】（2023•德州）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（ ）
A．5B．6C．D．8
【变式1-2】（2023•长春）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD＝AEB．AD＝DFC．DF＝EFD．AF⊥DE
【变式1-3】（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-4】（2023•新疆）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【题型2：尺规作图及相关证明与计算】
【典例2】（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 ．
【变式2-1】（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式2-2】（2023•陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2-3】（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
【变式2-4】（2023•济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
一．选择题（共8小题）
1．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC，则△DOC≌△EOC的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE交AB于点F．若∠B＝55°，则∠ACF的大小是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
3．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．58°C．60°D．64°
5．如图是一个钝角△ABC，利用一个直角三角板作边AC上的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P，作射线BP恰好交AC于点E．若AB＝8，BC＝12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为（ ）
A．9B．12C．30D．27
7．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若∠ACB＝72°，则∠DMA的大小为（ ）
A．72°B．54°C．36°D．22°
8．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（ ）
A．7cmB．10cmC．16cmD．19cm
二．填空题（共2小题）
9．如图，已知线段AB＝8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为 ．
10．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
三．解答题（共6小题）
11．如图，已知线段a和线段AB．
（1）尺规作图：延长线段AB到点C，使BC＝a（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，求线段AC的长．
12．如图，在△ABC中，BC＞AB，△ABC的周长为27cm．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，分别交BC、AC于点D、E，连接AD；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若AE＝3cm，求△ABD的周长．
13．如图，已知锐角∠AOC，按照下面给出的画法补全图形，并回答问题．
（1）画法：
①画∠AOC的角平分线OP，在射线OP上任意取一点E；
②过点E画EM∥OA，交射线OC于点G．
（2）问题：请通过观察、度量，判断你画出的图形中与∠AOP相等的角．直接写出两个即可．（∠AOP除外）
14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
（1）利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．
15．如图，在锐角三角形ABC中，D为BC边上一点，∠B＝∠BAD＝∠CAD，在AD上求作一点P，使得∠APC＝∠ADB．
（1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）；
（2）证明满足此作图的点P即为所求．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，画直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连结AE．
（1）由作图可知，直线MN是线段AB的 ；
（2）当AC＝3，BC＝6时，求△ACE的周长；
（3）若∠CAE的度数是15°，求∠B的度数．
一．选择题（共11小题）
1．如图，BD为▱ABCD的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交AD，BC于点E，F，交BD于点O，连接BE，DF．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ）
A．点O为▱ABCD的对称中心
B．BE平分∠ABD
C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED
D．四边形BEDF为菱形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．5
3．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B．D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AB＝3，BC＝6，则四边形MBND的周长为（ ）
A．15B．9C．D．
4．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（ ）
A．B．1C．D．
5．如图，▱ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．若∠BAD＝120°，AE＝1，AB＝2，则线段BF的长是（ ）
A．B．C．3D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，交BC于点D；③以点D为圆心，DC的长为半径画圆弧，交AB于点E，连结CE，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
7．观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
9．如图，▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上．以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E；画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点P，作射线BP交AC于点D，若AC＝2BC，则S△BCD：S△ABD的值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB，BC于D，E两点，再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，射线BF交AC于点G，则tan∠CBG＝（ ）
A．B．C．D．
二．解答题（共2小题）
12．如图所示，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝BC＝6．
（1）求△ABC的面积以及的值；
（2）作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
13．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．
（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．
1．（2022•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（ ）
A．B．4C．6D．
3．（2023•成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
4．（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．
5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为 ．
6．（2023•滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
7．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
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8．（2023•广东）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
9．（2023•绥化）已知：点P是⊙O外一点．
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数．