2022年中考数学一轮复习第28讲《尺规作图》讲学案

中考数学一轮复习第28讲《尺规作图》

【考点解析】

知识点一   基本作图

【例题】 (年浙江丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】作图—复杂作图．

【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．

【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；

B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；

C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；

D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．

故选：D．

【变式】

（广东深圳）如图，在□ABCD中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_________.

答案：.2

考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。

解析：依题意，可知，BE为角平分线，所以，∠ABE＝∠CBE，

又AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE＝AB＝3，

AD＝BC＝5，所以，DE＝5－3＝2。

知识点二  基本作图的实际应用

【例题】（吉林长春）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为　10　．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，可以证明△ADC的周长=AC+AB，由此即可解决问题．

【解答】解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，

∵点D在直线MN上，

∴DC=DB，

∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，

∵AB=6，AC=4，

∴△ACD的周长为10．

故答案为10．

【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把△ADC的周长转化为求AC+AB来解决，属于基础题，中考常考题型．

【变式】

（,湖北宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　）

A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形

C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．

【解答】解：A、正确．∵EG=EH，

∴△EGH是等边三角形．

B、错误．∵EG=GF，

∴△EFG是等腰三角形，

若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．

C、正确．∵EG=EH=HF=FG，

∴四边形EHFG是菱形．

D、正确．∵EH=FH，

∴△EFH是等边三角形．

故选B．

【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．

【典例解析】

【例题1】

（四川广安）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．

【考点】作图—相似变换．

【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为，另一条直角边分别为3，4，2的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．

【解答】解：如图1，三角形的周长=2+；

如图2，三角形的周长=4+2；

如图3，三角形的周长=5+；

如图4，三角形的周长=3+．

【例题2】

（四川达州）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．

（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．

【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．

【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；

（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BE=AB，

由（1）得：AF=AB，

∴BE=AF，

又∵BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF=AB，

∴四边形ABEF是菱形．

【中考热点】

【热点1】

（广东广州）如图，利用尺规，在的边上方做，在射线上截取，连接，并证明：

（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【难易】  容易

【考点】  尺规作图，平行线，平行四边形

【解析】  利用“等圆中，等弧所对的圆心角相等”可以完成等角的作图

再利用“内错角相等”可判定两直线平行，然后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定，最后利用平行四边形的性质进行平行的证明

【参考答案】］证明；如图AD,CD为所做

因为,

所以

因为

所以四边形ABCD为平行四边形

所以

【热点2】

（四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．

【热点3】

（湖北咸宁）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.

（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上！

①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；

②设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的范围. 当d1+d2=8时，求点P的坐标；

③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围.

               图1                                 图2

【考点】二次函数，一次函数，尺规作图，平面直角坐标系，勾股定理，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题.

【分析】（1）根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可，要标出字母；

（2）①分x＞0和x≤0两种情况讨论：当x＞0时，如图2，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E，可得出PA=PB=y；再在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1，由勾股定理，可求出y与x之间的关系式；当x≤0时，点P（x，y）同样满足y=x2+，曲线L就是二次函数y=x2+的图像，也就是说

曲线L是一条抛物线.

②首先用代数式表示出d1，d2：d1=x2+，d2=｜x｜，得出d1+d2=x2++｜x｜，可知当x=0时，d1+d2有最小值，因此d1+d2的范围是d1+d2≥；当d1+d2=8时，则x2++｜x｜=8. 将x从绝对值中开出来，故需分x≥0和x＜0两种情况讨论：当x≥0时，将原方程化为x2++x=8，

解出x1，x2即可；当x＜0时，将原方程化为x2+－x=8，解出x1，x2即可；最后将x=±3代入y=x2+，求得P的纵坐标，从而得出点P的坐标.

③直接写出k的取值范围即可.

【解答】解：（1）如图1所示（画垂直平分线，垂线，标出字母各1分）.

 E

               图1                                 图2

（2）①当x＞0时，如图2，连接AP，过点P作PE⊥y轴于点E.

       ∵l1垂直平分AB

∴PA=PB=y.

在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1.

由勾股定理，得 (y-1)2+x2=y2.    

整理得，y=x2+.

当x≤0时，点P（x，y）同样满足y=x2+.

∴曲线L就是二次函数y=x2+的图像.

即曲线L是一条抛物线.

     ②由题意可知，d1=x2+，d2=｜x｜.

       ∴d1+d2=x2++｜x｜.

       当x=0时，d1+d2有最小值.

       ∴d1+d2的范围是d1+d2≥.

       当d1+d2=8时，则x2++｜x｜=8.

       （Ⅰ）当x≥0时，原方程化为x2++x=8.

                        解得 x1=3，x2= -5（舍去）.

（Ⅱ）当x＜0时，原方程化为x2+－x=8.

                        解得 x1= -3，x2= 5（舍去）.

 将x=±3代入y=x2+，得 y=5.

 ∴点P的坐标为（3，5）或（-3，5）.

      ③k的取值范围是：－＜k＜.

        解答过程如下（过程不需写）：

把y=2代入y=x2+，得x1=－，x2=.

        ∴直线y=2与抛物线y=x2+两个交点的坐标为（－，2）和（，2）.

        当直线y=kx+3过点（－，2）时，可求得 k=；

        当直线y=kx+3过点（，2）时，可求得 k=－.

        故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是：－＜k＜.

【点评】本题是压轴题，综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题. 读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解题的关键. 近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。解决压轴题目的关键是找准切入点，如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等. 压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力。