第02讲 整式与因式分解（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

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01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
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04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测10
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考点一 代数式及代数式的值
1.代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫作代数式。
2.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。
（1）当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同；
（2）一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应．
3.代数式的值求法一般有两种常用的：
直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算；
整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。
1．（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
2．（2025·江苏南通·一模）当时，代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握代数式的运算．
把代入进行计算，即可解答．
【详解】解：，
．
故选D．
3．（2025·江苏苏州·二模）如果，那么 ．
【答案】5
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确变形是解题的关键．
将原式变形为，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：5．
考点二 整式的加减
1.单项式、多项式、整式
单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.
（1）单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；
（2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.
整式：单项式和多项式统称为整式.
2.同类项
同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
3.整式的加减
整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
1．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类项的判断
【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键．
【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若关于x，y的单项式与和是一个单项式，则a的值为 ．
【答案】3
【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】本题考查了同类项的定义：字母相同且相同字母的指数也相同的两个单项式为同类项，据此解答即可．
【详解】解：∵单顼式与和是一个单项式，
∴与是同类项，
∴．
故答案为：3．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则进行判断即可．
【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意；
B、，原运算错误，故本选项不符合题意；
C、，原运算错误，故本选项不符合题意；
D、，运算正确，故本选项符合题意，
故选：D．
考点三 整式的乘除
1.幂的运算：
am·an=am+n； amn=amn； abn=anbn； am÷an=am−n.
2.整式的乘法
（1）整式的乘法：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘：.
3.整式的除法：
单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
1．（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、负整数指数幂
【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断即可．
【详解】解：A、，正确，故本选项符合题意；
B、，原选项错误，故本选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，故本选项不符合题意；
D、，原选项错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2025·江苏常州·中考真题）计算： ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算
【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的法则，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
3．（2025·江苏苏州·二模）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方，以及同底数幂的乘法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．
根据积的乘方，同底数幂的乘法运算法则，计算求解，即可解题．
【详解】解：，
故答案为：．
考点四 乘法公式
乘法公式：
平方差公式：.
完全平方公式：.
1．（2025·江苏南通·模拟预测）若，，则 ．
【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，根据完全平方公式得出，代入求出即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
2．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，
原式．
3．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘法混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查代数式化简求值.用整式乘法和乘法公式将代数式展开，然后合并同类项，得出化简结果，最后将代入求值即可.
【详解】解：
，
当时，原式．
考点五 因式分解
1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法：.
（2）公式法：平方差公式：.完全平方公式：.
3．因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
简单记为“一提二套三检查”。

1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：.
故选：C
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）分解因式：
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：
3．（2025·江苏南通·中考真题）分解因式 ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键．
【详解】解：
故答案为： ．
命题点一 求代数式的值
►题型01 直接代入法求代数式的值
【典例】．（2025·江苏南通·一模）当时，代数式的值是（ ）
A．B．3C．10D．11
【答案】D
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了代数式求值，代入数值时注意符号，负数相乘结果为正，
把直接代入代数式计算即可．
【详解】解：当时，，
故选D．
【变式】
1．（2025·江苏淮安·一模）和互为相反数，那么 ．
【答案】1
【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】根据相反数的性质，得，整理，得，代入求值即可．
本题考查了相反数的性质，求代数式的值，熟练掌握相反数的性质，整体计算是解题的关键．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴，
∴．
故答案为：1．
2．（2023·江苏无锡·模拟预测）当时，代数式的值为（ ）
A．13B．27C．D．
【答案】A
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了求代数式的值，将代入式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
故选：A．
►题型02 整体代入法求代数式的值
【典例】．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ．
【答案】1
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式】
1．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ．
【答案】4
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了求代数式的值，把整体代入化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：4．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
【答案】2
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
命题点二 整式的加减
►题型01 合并同类项
【典例】．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式】
1．（2025·江苏宿迁·一模）计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】合并同类项
【分析】根据合并同类项的法则：系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，进行计算即可．
本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）计算： ．
【答案】2a
【知识点】合并同类项
【分析】根据合并同类项原理：系数相加减字母不变即可解题.
【详解】解：.
【点睛】本题考查了整式的加减,属于简单题,熟悉合并同类项的原理是解题关键.
►题型02 整式的加减
【典例】．（2025·江苏常州·二模）计算： ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题主要考查了整式加减．先去括号，再合并同类项即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·二模）计算： ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题考查了整式的加减运算．先去括号，然后合并同类项，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
2．（2025·江苏泰州·二模）若代数式，，则P和Q的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【知识点】整式的加减运算、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，作差法比较大小，先求出，然后根据非负数的性质判断即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
命题点三 整式的乘除
►题型01 幂的运算
【典例】．（2025·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项正确，符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式】
1．（2025·江苏徐州·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选D．
2．（2024·江苏苏州·一模）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方的计算法则进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
►题型02 整式的化简及其求值
【典例】．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键．
首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式】
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式的混合运算及求值，先计算完全平方、单项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
2．（2025·江苏盐城·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
命题点四 乘法公式
►题型01 运用乘法公式计算
【典例】．（2025·江苏南京·一模）两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的（ ）
A．和B．差C．积D．差的平方
【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】设两个连续的自然数为n，，利用平方差公式化简即可得到结论．本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：设两个连续的自然数为n，，则有：
．
∴两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的和．
故选：A．
【变式】
1．（2025·江苏南京·一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这100个数中，“神秘数”的个数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可
【详解】∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差，
∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律，
，
∴，
∴，
∴，
∴在这个数中，“神秘数”的个数是
故选：D．
2．（2025·江苏南通·模拟预测）化简：．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练运用运算法则．
先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解．
【详解】解：
．
►题型02 乘法公式与图形综合
【典例】．（2025·江苏南通·一模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（ ）
A．B．C．8D．10
【答案】C
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知图1可得，进而求出，再由甲乙两个正方形的面积和为10列方程求出当时，，即可求解．
【详解】解：甲乙两个正方形的边长分别为，，且
依题意得：，
由图1得：，
∴，
∴，（不合题意舍去）
∴，
∴，
解得：，，
当时，，，
当时，，不合题意舍去，
综上所述：按图2放置，阴影部分面积为8，
故选C．
【变式】
1．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
2．（2024·江苏南京·一模）小丽在半径为的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、圆周角定理
【分析】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点处，则是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为，进而求解即可．
【详解】解：根据题意图形如下：
设，
∵，
∴此时当最大时，才能取得最大值，
∵，
∴为直径时，，，
，
，
，
即，
，
即：，
，
为正数，
，
故选：C．
命题点五 因式分解
►题型01 因式分解
【典例】
（2025·江苏扬州·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏连云港·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
2．（2025·江苏南京·模拟预测）分解因式的结果是 ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
►题型02 因式分解的应用
【典例】
（2025·江苏宿迁·一模）若，则的值是（ ）
A．15B．C．2D．
【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先将代数式因式分解，然后将已知式子的值整体代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：A．
【变式】
1．（2025·江苏徐州·一模）若，则代数式的值等于 ．
【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的变形为，然后把整体代入计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：2．
2．（2025·江苏苏州·一模）若m，n互为相反数，则 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查的是利用因式分解求代数式的值，掌握因式分解的方法是解题的关键．
由互为相反数的定义得到： 再利用因式分解可得答案．
【详解】解：互为相反数，

，
故答案为：．
突破一 利用整体思维求代数式的值
【典例】．（2025·江苏宿迁·二模）已知，求代数式的值．
【答案】3
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了代数式的求值、平方差公式，利用整体代入法求值是解题的关键．由题意得，再利用整式的乘法和平方差公式化简式子，再整体代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
代数式的值为3．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·一模）已知．求下列各式的值：
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)7
(2)8
(3)47
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用配方法对整式进行整理，解题的关键是熟练掌握配方法，并灵活应用．
（1）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可；
（2）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可；
（3）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可．
【详解】（1）解：，
将代入上式得：
原式；
（2）解：，
将代入上式得：
原式；
（3）解：
，
将代入上式得：
原式．
2．（2023·江苏苏州·三模）已知，求的值．
【答案】，
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．
突破二 乘法公式的综合应用
【典例】．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”．
如：，，则0和1都是“树人数”．
(1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由．
(2)下列说法正确的序号有______．
任何一个奇数都是“树人数”；
任何一个偶数都是“树人数”；
任何一个被4整除的数是“树人数”；
任何一个被4除余2的数是“树人数”．
(3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”．
【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点
（1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”；
（2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件；
（3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式．
【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”，
理由：假设存在整数a，b，使得，则：，
因数分解可能为或，
或，解得：或非整数，矛盾，
不是“树人数”，
，
是“树人数”；
（2）①设奇数，令，，则：，故①正确，
②由（1）中2不是“树人数”得出②错误，
③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确，
④设被4除余2的数是，若存在a，b使得，
∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误，
故答案为：①③；
（3）证明：，b是“树人数”．
设，是整数
或
，n，p，q是整数．
，，，都是整数．
能写成两个整数的平方差的形式．
是“树人数”．
【变式】
1．（2024·江苏盐城·三模）观察下面的等式：，，，
(1)根据题目中规律的格式，写出的结果为 ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)
(3)推理说明见解析
【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）根据前4个等式，写出结果即可；
（2）根据上述等式，可得一般规律：第个等式为；
（3）证明等式左边等式右边即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：根据上述等式，可得一般规律：第个等式为；
（3）解：推理如下：
等式左边
等式右边，
故等式成立．
2．（2024·江苏南通·二模）已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ．
【答案】
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为，再将配方为，利用平方式的非负性求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
，
当时取等号，
∴p的最小值为，
故答案为：．
1．（2025·江苏扬州·三模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（2025·江苏徐州·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，单项式除以单项式，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．（2025·江苏泰州·二模）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，满足的式子即为符合题意的式子，据此求解即可．
【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
C、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选：D．
5．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除B．被5整除C．被6整除D．被8整除
【答案】D
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，
根据题意，得
，
当时，，都能成立；
当时，则，则，
故，
故，
故一定能被8整除，
故选：D．
6．（2025·江苏南京·二模）若，，则的值是 ．
【答案】15
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，代数式的值，运用整体代入法，关键是正确分解因式．
首先提公因式进行分解，再代入，即可．
【详解】解：，，
，
故答案为．
7．（2024·江苏南京·三模）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】合并同类项、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式和合并同类项，先根据运算法则进行化简，然后整体代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
∵，
∴原式．
8．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可．
【详解】解：依题意这个多项式为：
，
故答案为：．
9．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足．
【答案】，
【知识点】绝对值非负性、整式的混合运算
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可．
【详解】解：
∵，即，
∴，，
解得，，
将，，代入原式．
10．（2025·江苏盐城·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的化简求值，利用完全平方公式，平方差公式化简，再把代入求解即可，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
1．（2025·江苏盐城·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键．
把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，即，
则，
故选：D．
2．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ）
A．B．0C．1D．6
【答案】C
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者，
∴．
对化简：
，即，，
∴，也就是．
对变形可得．
把代入上式，得．
故选：C
3．（2025·江苏徐州·三模）已知，则 ．
【答案】10
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号
【分析】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确理解已知代数式与所求代数式的关系正确变形代入是解题的关键．
将多项式变形代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
=
，
故答案为：．
4．（2025·江苏·一模）已知代数式的值为3，则代数式的值为 ．
【答案】9
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，由题意可得，再将整体代入所求式子，结合完全平方公式计算即可得解．
【详解】解：∵代数式的值为3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2025·江苏泰州·三模）如果，那么 ．
【答案】9
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解．
【详解】解：，
∵
∴，
∴，
∴
，
故答案为：9．
6．（2025·江苏常州·二模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算
【分析】本题考查整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，正确的计算，是解题的关键．先计算完全平方公式，平方差公式，再合并同类项，化简后代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可．
【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
2．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】合并同类项、去括号、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】同底数幂相乘
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解．
【详解】解：，
，
故选：A．
4．（2025·广西·中考真题）因式分解：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
故选：A
5．（2025·北京·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取7，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
7．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
8．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
9．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
【答案】，13
【知识点】整式的加减中的化简求值、计算单项式乘多项式及求值
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
10.计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
10．（2025·陕西汉中·模拟预测）先化简，再求值，其中
【答案】，
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，化简求值，先根据多项式乘多项式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，得，最后把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
，
把代入，
得原式
．
11．（2025·陕西西安·模拟预测）已知．试从或中任选一组进行整式化简．
【答案】
【知识点】合并同类项、整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据题意列式计算即可．
【详解】解：已知，
若选，
原式
；
若选，
原式
．
12．（2025·河北唐山·三模）已知、是多项式，是单项式，，，且是单项式．
(1)求单项式；
(2)嘉嘉给的是，请你通过计算推断嘉嘉给出的能否使成为完全平方式．
【答案】(1)
(2)嘉嘉给出的能使成为完全平方式
【知识点】整式的加减运算、整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）计算后根据其结果为单项式即可求得答案；
（2）结合中所求计算，判断结果是否为完全平方式即可．
【详解】（1）解：，，
，
、是多项式，是单项式，是单项式，
；
（2）解：，，，
，
嘉嘉给出的能使成为完全平方式．
13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些矩形纸片A，B，C…，其面积分别为．图中的虚线为裁剪纸，试用含x的式子解决下列问题．
(1)求；若，求矩形C落在边l上的长；
(2)在（1）的前提下，若矩形D在边l上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由．
【答案】(1)；x
(2)，见解析
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据面积等于长乘宽，先表示，因为，故，即可作答．
（2）依题意，，，结合，即一定大于0，所以，即可作答．
【详解】（1）解：结合图形，；
∵
∴，
∴矩形C落在边l上的长为x；
（2）解：，理由如下：
依题意，，
∴
∵，
∴一定大于0，
∴，
即．
命题点一 代数式的值
题型01 求代数式的值
命题点二 整式的加减
题型01 合并同类项
题型02 整式的加减
命题点三 整式的乘除
题型01幂的运算
题型02 整式的化简及其求值
命题点四 乘法公式
题型01 运用平方差公式、完全平方公式计算
题型02 乘法公式与图形综合
命题点五 因式分解
题型01 因式分解
题型02 因式分解的应用
突破一 利用整体思维求代数式的值
突破二 乘法公式的综合应用
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
求代数式的值
苏州T11
扬州T12
苏州T10
徐州T11
南通T6
无锡T3
泰州T10
①了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
②会把具体数代入代数式进行计算。
整式的加减
无锡T13
连云港T9
常州 T3
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理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；
整式的乘除
徐州T4
常州T10
宿迁T2
淮安 T4
镇江T3
无锡T3
苏州T4
苏州 T9
无锡T3
宿迁T2
徐州T2
淮安 T2
盐城T3
连云港T3
镇江T14
镇江T18、T14
宿迁T3
无锡T4
扬州T2
能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）。
乘法公式
盐城T19
常州T19
无锡T11、T19
南京T2
南通T8
常州T20
扬州T3
无锡T19
盐城T19
宿迁T17
泰州T17
理解乘法公式，a+ba−b=a2−b2,a±b2=a2±2ab+b2,了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
因式分解
无锡T7
苏州T9
常州T11
宿迁T10
镇江T13
连云港T10
扬州T10
南通T11、20
无锡T11
南通T11
盐城T10
淮安T10
扬州T10
镇江T14
常州T10
宿迁T10
无锡T19
南通T12
盐城T10
常州T10
苏州T10
无锡T11
扬州T10
镇江T3
南京T10
宿迁T11
无锡T11
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）
命题预测
江苏省 13 市中考中，本部分内容平均占总分约 10-15 分，考查频率极高，几乎是每年必考内容。求代数式的值、幂的运算、因式分解这三个考点以填空为主，整式的加减、合并同类项、整式的乘除以选择、解答为主。对2026年中考预测：稳定为主，稳中求变，将继续作为基础核心考点，分值保持 10-15 分，难度属于较容易的一类题型；夯实基础，提高运算能力，核心考点：代数式求值 (整体代入)、整式运算、乘法公式、因式分解 (必考)。提分关键：① 基础计算零失误 ② 公式应用灵活 ③ 解题步骤规范。
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