2024年中考数学复习讲义 第02讲 整式与因式分解(含答案)

这是一份2024年中考数学复习讲义 第02讲 整式与因式分解(含答案)，共56页。学案主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
考点一 代数式的相关概念4
题型01 列代数式4
题型02 代数式的实际意义5
考点二 整式的相关概念5
题型01 判断单项式的系数、次数6
题型02 与单项式有关的规律题7
题型03 判断多项式的项、项数、次数9
考点三 整式的运算10
题型01 判断同类项14
题型02 合并同类项15
题型03 添（去）括号15
题型04 整式的加减16
题型05 整式加减的应用18
题型06 幂的基本运算22
题型07 幂的逆向运算24
题型08 幂的混合运算26
题型09 整式的乘法27
题型10 整式的除法28
题型11 利用乘法公式计算29
题型12 通过对完全平方公式变形求值30
题型13 乘法公式的几何验证32
考点四 整式化简求值（高频考点）36
题型01 整式化简-直接代入法37
题型02 整式化简-间接代入法37
题型03 整式化简-整体代入法38
题型04 整式化简-赋值法39
题型05 整式化简-隐含条件求值41
题型06 整式化简-利用“无关”求值42
题型07 整式化简-配方法44
题型08 整式化简-平方法44
题型09 整式化简-特殊值法45
题型10 整式化简-设参法46
题型11 整式化简-利用根与系数关系求值46
题型12 整式化简-消元法求值47
题型13 整式化简-倒数法求值48
考点五 因式分解49
题型01 判断因式分解50
题型02 选用合适的方法因式分解50
题型03 与因式分解有关的探究题52
考点一 代数式的相关概念
代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
1. 代数式中不含有=、、≠等.
2. 单独的一个数或一个字母也是代数式.
3. 列代数式时注意事项：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
题型01 列代数式
【例1】（2023吉林长春中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】（7.5-10x） QUOTE 7.5-10x
【提示】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为7.5-10x．
故答案为：7.5-10x．
【点拨】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
【变式1-1】（2023江苏中考真题）若圆柱的底面半径和高均为 QUOTE a a，则它的体积是 （用含 QUOTE a a的代数式表示）．
【答案】πa3
【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，可得
V=πa2a=πa3．
故答案为：πa3．
【点拨】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．
题型02 代数式的实际意义
【例2】（2023河北中考真题）代数式 QUOTE -7x -7x的意义可以是（ ）
A． -7与x的和B．-7与x的差C．-7与x的积D．-7与x的商
【答案】C
【提示】根据代数式赋予实际意义即可解答．
【详解】解：-7x的意义可以是-7与x的积．
故选C．
【点拨】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键．
【变式2-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是( )
A． QUOTE 2a 2a是2个数a的和B． QUOTE 2a 2a是2和数a的积
C． QUOTE 2a 2a是单项式D． QUOTE 2a 2a是偶数
【答案】D
【提示】根据2a的意义，分别判断各项即可.
【详解】解：A.2a=a+a，是2个数a的和，故选项正确；
B.2a=2×a，是2和数a的积，故选项正确；
C.2a是单项式，故选项正确；
D.当a为无理数时，2a是无理数，不是偶数，故选项错误；
故选D.
【点拨】本题考查了代数式的意义，注意a不一定为整数是解题的关键.
考点二 整式的相关概念
1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算.
2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3.
3.圆周率 SKIPIF 1 < 0 π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母.
4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14.
5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算.
6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数.
7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式.
题型01 判断单项式的系数、次数
【例1】（2023·江西·统考中考真题）单项式 QUOTE -5ab -5ab的系数为 ．
【答案】-5
【提示】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．
【详解】解：单项式-5ab的系数是-5．
故答案是：-5．
【点拨】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．
【变式1-1】（2023·广东·模拟预测）单项式-πxy32的系数是 ．
【答案】-π2
【提示】根据单项式系数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式中的数字因数即系数，
∴单项式-πxy32的系数是-π2 ．
故答案为：-π2．
【点拨】本题考查了单项式系数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
【变式1-2】（2023·广东·统考模拟预测）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．-2xy2B．3x2C．2xy3D．
【答案】D
【详解】试题提示：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A．-2xy2系数是﹣2，错误；
B．3x2系数是3，错误；
C．2xy3次数是4，错误；
D．2x3符合系数是2，次数是3，正确；
故选D．
题型02 与单项式有关的规律题
【例2】（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（ ）
A．nB．C．D．
【答案】C
【提示】根据单项式的规律可得，系数为n，字母为a，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是，
故选：C．
【点拨】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
【变式2-1】（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．(2n-1)xnB．(2n+1)xnC．(n-1)xnD．(n+1)xn
【答案】A
【提示】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．
【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，
故选：A．
【点拨】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
【变式2-2】（2022·云南昆明·统考三模）按一定规律排列的代数式：2，-4x2，8x4，-16x6，32x8，……，第n个单项式是（ ）
A．-1n2nx2n-2B．-1n-12nx2n-2C．-1n-12nx2nD．-1n-12nx2n-2
【答案】B
【提示】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：∵2=21x2-2，
∴按一定规律排列的代数式为：21x2-2，-22x2×2-2，23x2×3-2，-24x2×4-2，25x2×5-2，…，
∴第n个单项式是(-1)n-12nx2n-2，
故选：B．
【点拨】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．
【变式2-3】（2022·云南昆明·昆明市一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2B．17a8b4C．15a7b14D．152a14b2
【答案】A
【提示】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是：17a14b2．
故选：A．
【点拨】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．
【变式2-4】（2022·云南文山·统考二模）一组按规律排列的单项式：-4x，7x2，，13x4，-16x5，…，根据其中的规律，第12个单项式是（ ）
A．-31x12B．34x12C．37x12D．-40x11
【答案】C
【提示】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为负号，n为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是3n+1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．
【详解】解：根据提示的规律，得
第12个单项式是(3×12+1)x12=37x12．故选：C．
【点拨】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关 通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
键．
题型03 判断多项式的项、项数、次数
【例3】（2023·广东茂名·一模）多项式a3+2ab+a-3的次数和常数项分别是( )
A．6，3B．6，-3C．3，-3D．3，
【答案】C
【提示】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【详解】解：多项式a3+2ab+a-3的次数和常数项分别是3，-3
故选：C．
【点拨】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2023·江西赣州市模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．2πmn的系数是2πB．-82ab2的次数是5次
C．xy3+3x2y-4的常数项为4D．11x2-6x+5是三次三项式
【答案】A
【提示】根据单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义可解决此题．
【详解】解：A.2πmn的系数是2π，故选项正确；
B.-82ab2的次数是3次，故选项错误；
C.xy3+3x2y-4的常数项为-4，故选项错误；
D.11x2-6x+5是二次三项式，故选项错误；
故选A．
【点拨】本题主要考查单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义，熟练掌握单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义是解决本题的关键．
【变式3-2】（2023·广东茂名·校考一模）多项式ab-13πa2b+3最高次项的系数是 ，次数是 ．
【答案】 ﹣13π 3
【提示】先找到此多项式的最高次项，再根据单项式的系数与次数的定义求解．
【详解】解：多项式最高次项是﹣πa2b，
所以最高次项的系数是﹣π，次数是3．
故答案为：﹣π，3．
【点拨】本题考查了同学们对多项式的有关定义的理解．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
考点三 整式的运算
1.所有常数项都是同类项.
2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项.
“两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可.
“两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.
“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变.
3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式.
4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”．
2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆．
3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系．
4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意.
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
完全平方公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
2. 常见验证完全平方公式的几何图形
结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
平方差公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
2. 常见验证平方差公式的几何图形
结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
题型01 判断同类项
【例1】（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2bB．-2ab2C．abD．
【答案】B
【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A.a的指数是2，b的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意；
B.a的指数是1，b的指数是2，与ab2是同类项,故选项符合题意；
C.a的指数是1，b的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意；
D.a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
【变式1-1】（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）
A．7a2b和3ab2B．37x2y和-2x2yC．x2yz和x2yD．3x2和3y2
【答案】B
【提示】根据同类项的定义：几个单项式的字母和字母的指数均相同，进行判断即可．
【详解】解：A.不是同类项，不符合题意；
B.是同类项，符合题意；
C.不是同类项，不符合题意；
D.不是同类项，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查同类项的识别．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．
题型02 合并同类项
【例2】（2023·四川自贡·中考真题）计算： ．
【答案】3a2
【提示】直接合并同类项即可求解．
【详解】解：7a2-4a2=3a2．
故答案为：3a2．
【点拨】此题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2-1】（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
【答案】C
【提示】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【详解】解：原式，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则．
题型03 添（去）括号
【例3】（2023·河北衡水·校考模拟预测）关于-a-b进行的变形或运算：
①-a-b=-a+b；②-a-b2=a+b2；③-a-b=a-b；④-a-b3=-a-b3．
其中不正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【提示】根据去括号法则进行变形即可．
【详解】解：①-a-b=-a+b，变形正确；
②-a-b2=-a+b2=a+b2，变形正确；
③-a-b=-a+b=a+b=a+ba+b≥0,-a-ba+b