专题04 二次根式（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二次根式的定义
题型02 二次根式的性质及化简
题型03 最简二次根式
题型04 同类二次根式
题型05 二次根式的运算
题型06 二次根式大小比较
题型07 二次根式中的代数推理
题型08 二次根式的应用
题型09 二次根式新题型
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次根式的定义
典例引领
【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（2026·江苏徐州·一模）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏无锡·一模）若二次根式有意义，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2026·江苏徐州·一模）代数式有意义，则x的取值范围是______．
题型02 二次根式的性质及化简
典例引领
【典例01】（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（ ）
A．B．3C．D．
【典例02】（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （ ）
A．0B．C．2D．不能确定
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏苏州·二模）计算：．
【变式02】（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：．
题型03 最简二次根式
典例引领
【典例01】（25-26九年级上·四川资阳·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____．
【典例02】（2025·河北石家庄·二模）若是最简二次根式，则整数的最小值为______．
方法透视
变式演练
【变式01】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
题型04 同类二次根式
典例引领
【典例01】（25-26九年级上·重庆·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______.
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏南京·三模）计算的结果是___________．
题型05 二次根式运算
典例引领
【典例01】（2025·江苏·一模）计算：．
【典例02】（2025·江苏宿迁·三模）计算：．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏南京·二模）计算的结果是___________．
题型06 二次根式大小比较
典例引领
【典例01】（2025盐城模考）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ______．
【变式02】（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型07 二次根式中的代数推理
典例引领
【典例01】（2026·安徽马鞍山·一模）数学兴趣小组展开了“当与大小关系”的数学探究．
(1)【感知】①；②；③_____（填“”“”或“”）．
(2)【猜想】当，猜想_____（填“”“”或“”）．
(3)【证明】数学小组从代数变形和数形结合给出了两种思路，分别如下：
思路一：∵．∴
思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接．设．∵为直径，∴．∵，∴，∴，∴
任选一种补充证明．
(4)【应用】如果，直接写出的最小值为_____．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题：
①；
②；
③．
设（为正整数），当时，的值是________．
【变式02】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______．
；；……
题型08 二次根式中的应用
典例引领
【典例01】（25-26泰兴·模考）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______．
方法透视
变式演练
【变式01】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论：
∵，∴，∴．
对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值．
请利用上述结论，解决下列问题：
(1)当时，代数式的最小值为________；
(2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值；
(3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值．
题型09 二次根式的新题型
典例引领
【典例01】（25-26八年级下·河南周口·月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见的小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，）
(1)求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
(2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）×高度（单位：），某质量为的玩具被抛出，经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
题●型●训●练
1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________．
3．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________．
4．（2025·江苏南京·一模）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值______．
5．（2025·江苏南京·模拟预测）计算______．
6．（2025·云南文山·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·江苏连云港·模拟预测）计算：．
9．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______．
10．（22-23八年级下·江苏宿迁·月考）根据要求求值：
若x，y都是实数，且，求的值．
11．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务
任务：
(1)直接写出材料中的依据为：_________；
(2)写出求解长的解题过程；
(3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________．考向解读
核心知识:定义：形如a（a≥0）的式子叫二次根式。
会判断哪些式子是二次根式。
方法技能
有意义条件：被开方数 a≥0；若含分式 / 零指数，需同时满足分母≠0、底数≠0。
(1)列不等式（组）：被开方数≥0，分母≠0，零指数底数≠0。
(2)取各条件的公共解集。
考向解读
方法技能
考向解读
最简二次根式是二次根式章节的核心标准，中考不单独出大题，但处处都要用到，是化简、计算、求值的 “最后一步”，属于必拿分基础考点。
方法技能
一个二次根式是最简二次根式，必须同时满足 3 条： 被开方数不含分母（分母中不能有根号） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如：不含 4,9,16,a2,b4 等 被开方数的因数是整数，因式是整式.
口诀：无分母，无平方因子，因数为整数
考向解读
同类二次根式是中考二次根式模块的必考点，多以选择题、填空题出现，分值一般2～3 分，难度低、套路固定，属于必须稳拿的基础分。
方法技能
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数完全相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
关键点：
必须先化成最简，再判断;只看被开方数，不看根号外的系数
考向解读
考二次根式运算在中考里属于必考基础计算题，一般出现在解答题第 1 题或选择填空，分值4～6 分，难度低、套路固定，是必须拿满分的题型。
单纯加减运算（基础送分） 考法：多个根式相加减 步骤：① 全部化为最简② 合并同类二次根式
单纯加减运算（基础送分） 考法：多个根式相加减 步骤：① 全部化为最简② 合并同类二次根式
方法技能
关键点：结果分母无根号、根号内无分母
一步套一步，只要一步算错，整题失分。
运算顺序混乱，先加减后乘除 不用乘法公式，硬算导致出错 化简不彻底，结果不是最简二次根式 分母有理化漏乘、符号错 去绝对值或开方时忽略符号 不同类二次根式乱合并.
考向解读
二次根式大小比较在中考中属于小题考点，主要出现在选择题、填空题，分值一般2～3 分，难度中等偏基础，方法固定，掌握技巧就能秒解。
方法技能
易错警示:
比较时忘记两者都是正数，乱用平方导致错误
平方展开时计算错误（完全平方公式用错）
有理化时符号出错:
估值估错范围，导致大小判断反了
一句话总结:
二次根式大小比较在中考就考五种套路：比被开方数、平方、作差、倒数、估值
考向解读
这是近几年中考二次根式板块里明显变难、分值变重的一类考向，不再是单纯计算，而是侧重逻辑推理、式子变形、规律探究，多出现在填空压轴、选择压轴或简单解答推理题中，难度中档偏上，是拉开差距的考点。
方法技能
二次根式代数推理，中考就考四类：非负性推理、条件式变形推理、有理化裂项推理、规律归纳推理掌握变形套路，这类题就能从 “压轴” 变成 “稳拿分”。
考向解读
二次根式代数推理，中考就考四类：非负性推理、条件式变形推理、有理化裂项推理、规律归纳推理掌握变形套路，这类题就能从 “压轴” 变成 “稳拿分”。
方法技能
纯计算减少，几何应用明显增多 结合网格、坐标系、折叠图形考查 强调 “结果最简”，不化简直接扣分 难度稳定，属于必须拿满分的中档应用题型
考向解读
这部分是二次根式真正的拔高考向，多出现在选择 / 填空压轴、小综合解答题，侧重建模能力 + 代数运算 + 几何直观，是中考区分中档生与优生的关键考点。
方法技能
二次根式与物理结合，披着物理外衣，考的还是数学二次根式：
· 二次根式 + 物理：简单综合，考基础：有意义、化简、计算。
· 二次根式 + 几何最值：真正压轴，考建模 + 构图 + 运算，是拉分点。
共同特点：列式不难，但结果必须是最简二次根式，否则直接扣分。
数形结合解决二次根式求和问题
求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？
下面我们讨论一种新的方法——数形结合法
【例题】求的最小值
【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，，
，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则，
将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据）